三角形、四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、§ 1.三角形、四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【解題思路與方法】1 .關(guān)注變化因素和不變因素以及圖形的特殊性，尋找常量和變量；2 .化動(dòng)為靜(由一般到特殊)，以靜制動(dòng)；3 .數(shù)學(xué)建模：確定圖形運(yùn)動(dòng)中的變量關(guān)系時(shí)常常建立函數(shù)模型，確定圖形運(yùn)動(dòng)中的特殊位置關(guān)系時(shí)常常建立方程模型；4 .關(guān)注運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的三個(gè)要素：運(yùn)動(dòng)方向、速度、范圍(直線、射線、線段、折線)；5 .注重分類討論，通過(guò)分別畫(huà)圖與分離圖形使問(wèn)題簡(jiǎn)單化；6 .根據(jù)運(yùn)動(dòng)元素的不同分為動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、動(dòng)線問(wèn)題、動(dòng)圖問(wèn)題三大類型(包括點(diǎn)、線、圖同時(shí)運(yùn)動(dòng)).典例解析一、三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例1.已知，如圖 ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形.動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的

2、速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段 AB 向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (s),(1)如圖1,當(dāng)t為何值時(shí)， PBC是直角三角形？(2)如圖2,若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng).連接PQ交AC于D.如果動(dòng)點(diǎn)P、Q 都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).那么 當(dāng)t為何值時(shí)， DCCg等腰三角形？(3)如圖3,若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng).連接PQ交AC于D,連接PC.如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).請(qǐng)?zhí)骄浚涸邳c(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 PCDffi QCD勺面積是否相等?變式題：已知：如圖， ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn) P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿 AR BC方向勻速移動(dòng)

3、，它們的速度都是 1cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng) 時(shí)間為t (s),解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)， PBQ是直角三角形？(2)設(shè)四邊形APQC勺面積為y (cm2),求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻 t,使四邊形APQC 的面積是 ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例2.如圖，已知 ABC中，AB=AC=101米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).(1)若點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，1秒鐘時(shí)， BPM4CQ覺(jué)否全等，請(qǐng)說(shuō)

4、明理由； 若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使 BP® ACPQ (2)若點(diǎn)Q以(1)中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿 ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn) P與點(diǎn)Q第一次在 ABC的哪條邊上相遇?cB變式題：如圖(1) 4ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn) D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，若這兩點(diǎn)分別從 C B點(diǎn)同時(shí) 出發(fā)，以相同的速度由 C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)，連接AP, BD交于點(diǎn)Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 AP=BD 可通過(guò)證明 得到這個(gè)結(jié)論；(2)如果把原題中“動(dòng)點(diǎn) D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，”改為“動(dòng)點(diǎn)D, P在射線C

5、A和射線BC 上運(yùn)動(dòng)”，其他條件不變，如圖(2)所示，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中/ BQP勺大小保持不變.利用圖(2) 的情形，求證：/ BQP=60 ;(3)如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上”改為“動(dòng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，連接PD交BC于E”， 其他條件不變，如圖(3),則動(dòng)點(diǎn)D, P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE始終等于PE嗎？寫(xiě)出證明過(guò)程.二、特殊四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例 3.如圖，在等腰梯形 ABCD 中，AB II DC , AD =BC =5cm ,AB=12 cm,CD=6cm ,點(diǎn) P 從 A開(kāi)始沿AB邊向B以每秒3cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊向D以每秒1cm的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C

6、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒3 . 一_ (1)求證：當(dāng)t=3時(shí)，四邊形APQD是平行四邊形；(2) PQ是否可能平分對(duì)角線 BD?若能，求出當(dāng)t為何值時(shí)P分BD;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；變式題：如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,/B=90°,AB= 6j3cm,AD = 18cm,BC= 24cm。點(diǎn) p 從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，規(guī)定 其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s.(1) t為何值時(shí)，四邊形 ABQP為矩形？(2) t為何值時(shí)，四邊形 PQCD為平

7、行四邊形？(3)在其它條件不變的情況下，能否通過(guò)改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度，使得四邊形 PQCD為菱形？例4.如圖， ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O作直線MIN/ BC設(shè)MNK/ BCA的外角 平分線CF于點(diǎn)F,交/ ACB內(nèi)角平分線CE于E.(1)試說(shuō)明EO=FO(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AEC*矩形并證明你的結(jié)論；(3)若AC邊上存在點(diǎn)O,使四邊形AEC*正方形，猜想 ABC的形狀并證明你的結(jié)論.FEDACB變式題：1.如圖所示，有四個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、。E、F分別從正方形ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著 AB BC CD DA 以同樣的速度向B、C Dk A各點(diǎn)移動(dòng)。(1)試判斷四邊形

8、PQE鬼正方形并證明。(2) PE是否總過(guò)某一定點(diǎn)，并說(shuō)明理由。(3)四邊形PQEF勺頂點(diǎn)位于何處時(shí)，其面積最小，最大？各是多少？2.如圖所示，在 ABC,分別以AB AC BC為邊在BC的同側(cè)作等邊 ABD等邊八ACE等邊 BCF(1)求證：四邊形 DAE比平行四邊形；(2)探究下列問(wèn)題：(只填滿足的條件，不需證明)當(dāng)ABCW足條件時(shí)，四邊形 DAE甩矩形；當(dāng)ABCW足條件時(shí)，四邊形 DAE甩菱形；當(dāng)ABCW足條件時(shí)，以 H A E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在延伸課堂1 .如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB，BD,ED± BD,連接AC、EC,已知AB=5,DE=1, B

9、D=8,設(shè) CD=x(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最?。?3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式雇%+1瓶a的最小值.2 .直線y=- 3/4x+6與坐標(biāo)軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá) A點(diǎn)，運(yùn) 動(dòng)停止.點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P沿路線O? B? A運(yùn)動(dòng).(1)直接寫(xiě)出A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒)，OPQ勺面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)S=48/5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出以點(diǎn) Q P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo).上3 .梯形

10、 ABCB, AD/ BC /B=90° , AD=24cm AB=8cm BC=26cm 動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開(kāi)始，沿 AD邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始，沿CB邊以3厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 已知P、Q兩點(diǎn)分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。假設(shè)運(yùn) 動(dòng)時(shí)間為t秒，問(wèn)：(1) t為何值時(shí)，四邊形 PQCD1平行四邊形？(2) t為何值時(shí)，線段 AB與線段PQ相等？(3)在某個(gè)時(shí)刻，四邊形 PQCD!能是菱形嗎？為什么？(4)是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周長(zhǎng)相等的兩部分？若存在， 求出t的值；若不存在, 請(qǐng)你說(shuō)明理由.4.如圖，直角梯形 ABC前，AD/ BC /ABC=90 ,已知 AD=AB=3 BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿 線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DA向點(diǎn)A