數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題——離散型隨機變量分布列(新課標(biāo))

1、耗用子彈數(shù)的分布列例 某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列分析：確定取哪些值以及各值所代表的隨機事件概率，分布列即獲得解：本題要求我們給出耗用子彈數(shù)的概率分布列我們知道只有5發(fā)子彈，所以的取值只有1，2，3，4，5當(dāng)時，即；當(dāng)時，要求第一次沒射中，第二次射中，故；同理，時，要求前兩次沒有射中，第三次射中，；類似地，；第5次射擊不同，只要前四次射不中，都要射第5發(fā)子彈，也不考慮是否射中，所以，所以耗用子彈數(shù)的分布列為：01230.90.090.0090.0001 說明：搞清的含義，防止這步出錯時，可分兩種情況：一是前4發(fā)都沒射中

2、，恰第5發(fā)射中，概率為0.140.9；二是這5發(fā)都沒射中，概率為0.15，所以，當(dāng)然，還有一種算法：即獨立重復(fù)試驗?zāi)呈录l(fā)生偶數(shù)次的概率例 如果在一次試驗中，某事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，這件事A發(fā)生偶數(shù)次的概率為_分析：發(fā)生事件A的次數(shù)，所以，其中的k取偶數(shù)0，2，4，時，為二項式 展開式的奇數(shù)項的和，由此入手，可獲結(jié)論解：由題，因為且取不同值時事件互斥，所以，（因為，所以）說明：如何獲得二項展開式中的偶數(shù)次的和？這需要抓住與展開式的特點：聯(lián)系與區(qū)分，從而達到去除p奇次，留下p偶次的目的根據(jù)分布列求隨機變量組合的分布列例 已知隨機變量的分布列為210123P分別求出隨機變

3、量的分布列 解： 由于對于不同的有不同的取值，即，所以的分布列為101P對于的不同取值2，2及1，1，分別取相同的值4與1，即取4這個值的概率應(yīng)是取2與2值的概率與合并的結(jié)果，取1這個值的概率就是取1與1值的概率與合并的結(jié)果，故的分布列為0149P說明：在得到的或的分布列中，或的取值行中無重復(fù)數(shù)，概率得中各項必須非負(fù)，且各項之和一定等于1成功咨詢?nèi)藬?shù)的分布列 例 某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話接通率為，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問題詢問該服務(wù)中心且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)的分布列分析：3個人各做一次試驗，看成三次獨立重復(fù)試驗，撥通這一電話的人數(shù)即為事件的發(fā)生次數(shù)，故符合二項分

4、布解：由題：，所以，分布列為0123 說明：關(guān)鍵是理解二項分布的特點：即某同一事件，在n次獨立重復(fù)實驗中，以事件發(fā)生的次數(shù)為隨機變量盒中球上標(biāo)數(shù)于5關(guān)系的概率分布列例 盒中裝有大小相等的球10個，編號分別為0，1，2，9，從中任取1個，觀察號碼是“小于5”“等于5”“大于5”三類情況之一規(guī)定一個隨機變量，并求其概率分布列分析：要求其概率的分布列可以先求個小球所對應(yīng)的概率解：分別用表示題設(shè)中的三類情況的結(jié)果：表示“小于5”的情況，表示“等于5”的情況，表示“大于5”的情況設(shè)隨機變量為，它可能取的值為取每個值的概率為（取出的球號碼小于5），（取出的球號碼等于5），（取出的球號碼大于5）故的分布列為

5、P小結(jié)：分布列是我們進一步解決隨機變量有關(guān)問題的基礎(chǔ)，因此準(zhǔn)確寫出隨機變量的分布列是很重要的，但是我們不能保證它的準(zhǔn)確性，這時我們要注意運算的準(zhǔn)確性外，還可以利用進行檢驗求隨機變量的分布列例 一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量的分布列分析：由于任取三個球，就不是任意排列，而要有固定的順序，其中球上的最大號碼只有可能是3，4，5，可以利用組合的方法計算其概率解：隨機變量的取值為3，4，5當(dāng)3時，即取出的三只球中最大號碼為3，則其他二球的編號只能是1，2，故有當(dāng)4時，即取出的三只球中最大號碼為4，則其他二球只能在編號為1，2，

6、3的3球中取2個，故有當(dāng)5時，即取出的三只球中最大號碼為5，則其他二球只能在編號為1，2，3，4的4球中取2個，故有因此，的分布列為345P說明：對于隨機變量取值較多或無窮多時，應(yīng)由簡單情況先導(dǎo)出一般的通式，從而簡化過程取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的分布列例 一批零件中有9個合格品與3個不合格品安裝機器時，從這批零件中任取一個如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的分布列分析：取出不合格品數(shù)的可能值是0，1，2，3，從而確定確定隨機變量的可能值解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品數(shù)，則是一個隨機變量，由題設(shè)可能取的數(shù)值是0，1，2，3當(dāng)0時，即第一次就取

7、到合格品，其概率為當(dāng)1時，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率為當(dāng)2時，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率為當(dāng)3時，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率為所以的分布列為0123P0.7500.2040.0410.005說明：一般分布列的求法分三步：（1）首先確定隨機變量的取值喲哪些；（2）求出每種取值下的隨機事件的概率；（3）列表對應(yīng)，即為分布列關(guān)于取球的隨機變量的值和概率例 袋中有1個紅球，2個白球，3個黑球，現(xiàn)從中任取一球觀察其顏色確定這個隨機試驗中的隨機變量，并指出在這個隨機試驗中隨機變量可能取的值及取每個值的概率分析：隨機變量變量是表示隨機試驗結(jié)果的變量，隨機變量的可能取值是隨機試驗的所有可能的結(jié)果組成解： 設(shè)集合，其中為“取到的球為紅色的球”，為“取到的球為白色的球”，為“取到的球為黑色的球”我們規(guī)定：，即當(dāng)時，這樣，