斐波那契螺旋

1、斐波那契螺旋 異調(diào)斐波那契(Leonardo Fibonacci, 約1175-約1240)也許是在生活在丟番圖(Diophantos)之后費(fèi)爾馬(Pierre de Fermat)之前這2000年間歐洲最杰出的數(shù)論學(xué)家。我們對(duì)他的生平知道得很少。他出生在意大利那個(gè)后來因?yàn)橘だ锫宰鲞^落體實(shí)驗(yàn)而著名的斜塔所在的城市里，現(xiàn)在那里還有他的一座雕像。他年輕是跟隨經(jīng)商的父親在北非和歐洲旅行，大概就是由此而學(xué)習(xí)到了世界各地不同的算術(shù)體系。在他最重要的著作算盤書（Liber Abaci，寫于1202年）中，引進(jìn)了印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼（包括0）及其演算法則。數(shù)論方面他在丟番圖方程和同余方程方面有重要貢獻(xiàn)。坐落在意

2、大利比薩的斐波那契雕像數(shù)學(xué)中有一個(gè)以他的名字命名的著名數(shù)列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 從第三項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是數(shù)列中前兩項(xiàng)之和。這個(gè)數(shù)列是斐波那契在他的算盤書的“兔子問題”中提出的。在問題中他假設(shè)如果一對(duì)兔子每月能生一對(duì)小兔（一雄一雌），而每對(duì)小兔在它出生后的第三個(gè)月，又能開始生小兔，如果沒有死亡，由一對(duì)剛出生的小兔開始，一年后一共會(huì)有多少對(duì)兔子？將問題一般化后答案就是，第n個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)就是斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)。斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)有很密切的聯(lián)系。斐波那契并沒有把這個(gè)問題和這個(gè)數(shù)列看得特別重要，在算盤書中兔子問題只不過是

3、書里許多問題中并不特別的其中一個(gè)罷了。但是在此后的歲月中，這個(gè)數(shù)列似乎和題中的高產(chǎn)兔子一樣，引發(fā)了為數(shù)眾多的數(shù)學(xué)論文和介紹文章（本文似乎也在步此后塵）。不過在這里我不想介紹浩如煙海的有關(guān)斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)文章，只想欣賞大自然的造化。在現(xiàn)實(shí)的自然世界中，算盤書里那樣的神奇兔子自然是找不到的，但是這并不妨礙大自然使用斐波那契數(shù)列。本期封面上是起絨草橢球狀的花頭，你可以看見那上面有許多螺旋。很容易想像，如果從上面俯視下去的話，這些螺旋從中心向外盤旋，有些是順時(shí)針方向的，還有些是逆時(shí)針方向的。為了仔細(xì)觀察這些螺旋，我們挑選另一種具有類似特點(diǎn)的植物薊，它們的頭部幾乎呈球狀。在下面這個(gè)圖里，標(biāo)出了兩條不同

4、方向的螺旋。我們可以數(shù)一下，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部（和左邊那條旋轉(zhuǎn)方向相同）螺旋一共有13條，而逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的則有21條。而下面這幅圖中的順逆方向螺旋數(shù)目則恰好相反。具有13條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部以這樣的形式排列種子、花瓣或葉子的植物還有很多（最容易讓人想到的是向日葵），下面的圖片是一些看起來明顯的例子（可以點(diǎn)擊看大圖），事實(shí)上許多常見的植物，我們食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的葉子排列也具有這個(gè)特性，只是不容易觀察清楚。盡管這些順逆螺旋的數(shù)目并不固定，但它們也并不隨機(jī)，它們是斐波那契序列中的相鄰數(shù)字。這樣的螺旋被稱為斐波那契

5、螺旋。 自然界中各種各樣的斐波那契螺旋（點(diǎn)擊看大圖）這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對(duì)于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個(gè)角度稱為“黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360度之比是黃金分割數(shù)1.618033989的倒數(shù)，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時(shí)能達(dá)到89，甚至144條。由于是自然規(guī)律而并非抽象的數(shù)學(xué)或哲學(xué)原理決定了植物各種器官的排列圖樣；另外還有具體環(huán)境的影響，比如地形、氣候或病害，你并不總能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生長得很健康的植物，也難免有這樣那