概率學(xué)第二章 一維隨機(jī)變量及其分布

1、第二章 一維隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量 隨機(jī)試驗有各種不同的可能結(jié)果，有些情況下，這些可能的結(jié)果都可以用數(shù)量表示?！纠?】 在含有3件次品的20件產(chǎn)品中，任意抽取2件觀察出現(xiàn)的次品數(shù)。如果用表示出現(xiàn)的次品數(shù)，則可能取的值有0、1、2，取不同的值代表不同事件的發(fā)生?！啊北硎臼录皼]有次品”“”表示事件“有一件次品”“”表示事件“有兩件次品”。有些試驗結(jié)果并不直接表現(xiàn)為數(shù)量，但可以使其數(shù)量化。【例2】 拋擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面還是反面。我們規(guī)定：變量取值如下“”表示事件“出現(xiàn)反面”“”表示事件“出現(xiàn)正面”這樣便把試驗結(jié)果數(shù)量化了。 無論哪一種情形，都體現(xiàn)出這樣的共同點：對隨機(jī)試驗的每

2、一個可能結(jié)果，有唯一一個實數(shù)與它對應(yīng)。這種對應(yīng)關(guān)系實際上定義了樣板空間上的函數(shù)，通常記作，。定義 設(shè)隨機(jī)試驗的樣板空間為，是定義在樣板空間上的實單值函數(shù)，稱為一維隨機(jī)變量，通常用大寫字母等表示。隨機(jī)變量的取值隨試驗的結(jié)果而定，在試驗前不能預(yù)知它取什么值，即隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，具有偶然性；但隨機(jī)變量取某一值或某一范圍內(nèi)值的概率是確定的，具有必然性。如，例1中“有一件次品”；例2中(“出現(xiàn)正面”)。這顯示了隨機(jī)變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的差異。 引入隨機(jī)變量，可以將對隨機(jī)事件的研究轉(zhuǎn)化為對隨機(jī)變量的研究，進(jìn)一步有可能用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗的結(jié)果進(jìn)行深入的研究。根據(jù)隨機(jī)變量取值情況的不同，最常見

3、的隨機(jī)變量有離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩種。§2離散型隨機(jī)變量 定義 如果隨機(jī)變量的全部可能取值是有限個或可列無限多個，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。例如，“擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)”， “某班數(shù)學(xué)的及格人數(shù)”只能取有限個值，“命中目標(biāo)前的射擊次數(shù)”可取可列無窮多個值，它們都是離散型隨機(jī)變量。一、離散型隨機(jī)變量的概率分布對于離散型隨機(jī)變量，除了要知道它可能取哪些值外，更重要的是要知道它取這些值的概率。定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值為，取這些值的概率依次為，則稱 ， () 為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。概率分布也可以用如下表格的形式表示：由概率的定義，概率分布具有以下兩個性

4、質(zhì)：（1）， （2）。【例1】 若離散型隨機(jī)變量的概率分布為 求常數(shù)的值。解 由概率分布的性質(zhì)，有所以 ?！纠?】 在10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽取2件，求抽到次品數(shù)的概率分布和與的概率。解 由題意，的可能取值為0、1、2?！啊北硎尽皼]有抽到次品”，有“”表示“抽到1件次品”，有“”表示“抽到2件次品”，有因而，的概率分布為，或 0127/157/151/15所以， 。二、三種常見離散型隨機(jī)變量的分布1分布（或兩點分布）定義 設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個值，它的概率分布為 ，（） 即 ，或01則稱服從參數(shù)為的分布或兩點分布。只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗的概率分布都可用兩點分布表求，如產(chǎn)品

5、的“合格”與“不合格”；新生兒的“男”、“女”性別；射擊目標(biāo)“命中”與“沒命中”；以及擲硬幣的“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”等等。2二項分布定義 設(shè)隨機(jī)試驗只有兩種可能的結(jié)果：或，在相同條件下將重復(fù)進(jìn)行次，各次試驗結(jié)果互不影響，則稱該次試驗為重獨立試驗，又稱為重貝努利試驗。若試驗中，事件發(fā)生的概率，（），可以證明在重貝努利試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為 。定義 若隨機(jī)變量的概率分布為，（）其中，則稱服從參數(shù)為的二項分布，記為?？梢宰C明其滿足分布律的兩個條件。特別地，當(dāng)時，二項分布化為即為分布或兩點分布。注意到恰是二項展開式中的第項，二項分布由此得名。 滿足二項分布的隨機(jī)變量的取值就是事件在重貝努利

6、試驗中發(fā)生的次數(shù)。【例3】 已知某類產(chǎn)品的次品率為0.2，現(xiàn)從一大批這類產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查20件，問恰好有k (k=0,1,2,20)件次品的概率是多少？ 【例4】 已知有一批次品率為0.01的零件，現(xiàn)將5個零件包成一包出售，若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)有次品即可退貨，求某包零件次品個數(shù)的概率分布及售出的零件的退貨率。解 由于零件數(shù)量很大，每次抽到次品的概率可以認(rèn)為是不變的，因此，5個一包零件中的次品個數(shù)服從二項分布，即，這里。因而，次品個數(shù)的概率分布為 設(shè)表示“該包零件被退回”，則即退貨率為 5%?！纠?】 醫(yī)生對4個人進(jìn)行某疫苗接種試驗，已知試驗反應(yīng)呈陽性的概率為0.25，若記為反應(yīng)呈陽性的人數(shù)。（1）寫出

7、的概率分布；（2）求恰有3人反應(yīng)呈陽性的概率； （3）求至少有2人反應(yīng)呈陽性的概率。解 試驗只有 “呈陽性”與“呈陰性” 兩個結(jié)果，顯然。（1）的概率分布為 （2）恰有3個反應(yīng)呈陽性的概率為（3）至少有2個反應(yīng)呈陽性的概率為3泊松分布定義 設(shè)隨機(jī)變量所有可能取的值為，而取各個值的概率為，（）其中是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為。可以證明其滿足分布律的兩個條件。一般地，泊松分布可以作為描述大量重復(fù)試驗中稀有事件出現(xiàn)的頻數(shù)的概率分布情況的數(shù)學(xué)模型，即當(dāng)很大，很小，而乘積大小適中時，二項分布可以用泊松分布作近似，（）【例6】 為保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工。如果各臺設(shè)備發(fā)生故障是相互獨

8、立的，且每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01。 試求以下情況下，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時修理的概率。（1）1名維修工負(fù)責(zé)20臺設(shè)備；（2）3名維修工負(fù)責(zé)90臺設(shè)備；（3）10名維修工負(fù)責(zé)500臺設(shè)備。§3隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義 設(shè)是隨機(jī)變量，是任意實數(shù)，函數(shù)稱為的分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，其定義域是整個實數(shù)軸在幾何上，它表示隨機(jī)變量X的取值落在實數(shù)x左邊的概率分布函數(shù)具有性質(zhì)：1. ；2. 是的不減函數(shù)；3. ，；4. ，即是右連續(xù)的。若已知的分布函數(shù)，就可求出落在任一區(qū)間上的概率 【例1】 盛書p.38.例1。設(shè)隨機(jī)變量的分布律為求的分布函數(shù)，并求。設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律

9、為 ， () 由概率的可列可加性，得的分布函數(shù)為分布函數(shù)的圖形是一條階梯曲線，它在()處有跳躍，其跳躍值為。 【例2】 吳書p.49.例2。 在區(qū)間1,5上任意擲一個質(zhì)點，用X表示這個質(zhì)點與原點的距離，則X是一個隨機(jī)變量。如果這個質(zhì)點落在1,5上任一子區(qū)間內(nèi)的概率與這個區(qū)間的長度成正比，求X的分布函數(shù)。§4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度 一、連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度定義 對隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意實數(shù)，有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中稱為的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。顯然，改變概率密度在個別點的函數(shù)值不影響分布函數(shù)的取值。 概率密度具有性質(zhì)： 1. ； 2. ； 3.

10、 對于任意實數(shù)，有； 4. 若在點連續(xù)，則有。概率密度表示的不是隨機(jī)變量取值的概率，而是在處概率分布的密集程度，的大小能反映出在領(lǐng)域內(nèi)取值概率的大小，。 【例1】 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度 （1）確定常數(shù)；（2）求的分布函數(shù)；（3）求。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是的連續(xù)函數(shù)；取任一實數(shù)值的概率為0，即，因此有注意：，但不一定是不可能事件；同樣，但不一定是必然事件。二、三種常見連續(xù)型隨機(jī)變量1均勻分布定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱在區(qū)間服從均勻分布，記為。可以證明它滿足概率密度的兩個最基本性質(zhì)。它的分布函數(shù)為【例2】設(shè)隨機(jī)變量X在2，5上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨立觀測。試求至少

11、有兩次測值大于3的概率。解 依題意得X的密度函數(shù)為 設(shè)Y表示三次獨立觀測中其測值大于3的次數(shù)，則2指數(shù)分布定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為。可以證明它滿足概率密度的兩個最基本性質(zhì)。它的分布函數(shù)為 【例3】 已知某電子元件的壽命（單位：h）服從參數(shù)的指數(shù)分布，求3個這樣的元件各自獨立使用1000h至少有一個已損壞的概率。3正態(tài)分布定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為?？梢宰C明它滿足概率密度的兩個最基本性質(zhì)。它的分布函數(shù)為，當(dāng)時，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其概率密度和分布函數(shù)分別為，。易知 。對于一般正態(tài)分布和標(biāo)

12、準(zhǔn)正態(tài)分布，有以下關(guān)系：引理 若，則。由此得 【例4】 已知，求和。 【例5】 設(shè)，求落在區(qū)間內(nèi)的概率。定義 設(shè)，若滿足條件，則稱點為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點。顯然有 ，。 §5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 在實際問題中，不僅需要研究隨機(jī)變量，往往還要研究隨機(jī)變量的函數(shù)，即已知隨機(jī)變量X的概率分布，求其函數(shù)Y = g (X )的概率分布. 【例1】 設(shè)隨機(jī)變量具有以下分布，試求：（1），（2）的分布律小結(jié)：設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為 ， 其函數(shù)Y = g (X )的分布律可按如下步驟計算： （1）計算全部可能取的值：，有相同的只取其中之一，然后將它從小到大排列，記為； （2）計算取各個值的概率：如果 只與相同，則；如果與都相同，則。對每個都作同樣處理，就可確定取各個值的概率 【例2】 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度求隨機(jī)變量的概率密度?！纠?】 設(shè)隨機(jī)變量，試證明它的線性函數(shù) 也服從正態(tài)分布。 【例4】 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度，求的概率密度。小結(jié)：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，如何計算其函數(shù)Y = g (X )的概率密度？ （1）一般地，可先求的分布函數(shù)，由“”解出，得到一個與“”等價的的不等式，并以后者代替“”（這一步是關(guān)鍵），然后將對求導(dǎo)得到概率密度。 （2）如果在的區(qū)間上單調(diào)，且除個別點外處處可