人教高中數(shù)學(xué)選修知識點(diǎn)

1、高中數(shù)學(xué)選修4-4知識點(diǎn)第一章 坐標(biāo)系1.1平面直角坐標(biāo)系一、平面直角坐標(biāo)系(1)數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系(2)平面直角坐標(biāo)系：定義：在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系；數(shù)軸的正方向：兩條數(shù)軸分別置于水平位置與豎直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向；坐標(biāo)軸水平的數(shù)軸叫做x軸或橫坐標(biāo)軸，豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱坐標(biāo)軸，x軸或y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸；坐標(biāo)原點(diǎn)：它們的公共原點(diǎn)稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；對應(yīng)關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(x，y)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系(3)距離公式與中

2、點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，填表：兩點(diǎn)間的距離公式中點(diǎn)P的坐標(biāo)公式|P1P2|二、.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換1.2極坐標(biāo)系一、極坐標(biāo)系(1)定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)系的四個(gè)要素：極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位及它的方向(

3、3)圖示二、極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)的定義：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)(2)極坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系：在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)O的極坐標(biāo)是(0，)，(R)，若點(diǎn)M的極坐標(biāo)是M(，)，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)也可寫成M(，2k)，(kZ)若規(guī)定>0，0<2，則除極點(diǎn)外極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對(，)之間才是一一對應(yīng)關(guān)系三、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如圖所示，把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，且長度單位相同，設(shè)任意一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與極坐

4、標(biāo)分別為(x，y)，(，)(1)極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)(2)直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)1.3簡單曲線的極坐標(biāo)方程一、曲線的極坐標(biāo)方程一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f(，)0，并且坐標(biāo)適合方程f(，)0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(，)0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程二、圓的極坐標(biāo)方程 (1)特殊情形如下表：圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)(0，0)r(0<2) 圓心在點(diǎn)(r，0)2rcos(<) 圓心在點(diǎn)(r，)2rsin(0<) 圓心在點(diǎn)(r，)2rcos(<) 圓心在點(diǎn)(r，)2rsin(<0) (2)一般情形：設(shè)圓心C(0，0)，半徑為r

5、，M(，)為圓上任意一點(diǎn)，則|CM|r，COM|0|，根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為220cos(0)r20即三、直線的極坐標(biāo)方程(1)特殊情形如下表：直線位置極坐標(biāo)方程圖形過極點(diǎn)，傾斜角為(1)(R) 或(R) (2)(0) 和(0)過點(diǎn)(a，0)，且與極軸垂直cosa過點(diǎn)，且與極軸平行sina(0<<)過點(diǎn)(a，0)傾斜角為sin()asin (0<<)(2)一般情形，設(shè)直線l過點(diǎn)P(0，0)，傾斜角為，M(，)為直線l上的動點(diǎn)，則在OPM中利用正弦定理可得直線l的極坐標(biāo)方程為sin()0sin(0) 1.4柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介一、柱坐標(biāo)系(1)定義：一般地，

6、如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，它在Oxy平面上的射影為Q，用(，)(0，0<2)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)的位置可用有序數(shù)組(zR)表示這樣，我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(，z)之間的一種對應(yīng)關(guān)系把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(，z)，其中0，0<2，zR(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與柱坐標(biāo)(，z)之間的變換公式為二、球坐標(biāo)系(1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP|r，OP與Oz軸正向所夾的角為，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)

7、針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角為，這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r，)表示，這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r，)之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r，)，叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作P(r，)，其中r0，0，0<2(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，)之間的變換公式為第二章 參數(shù)方程2.1曲線的參數(shù)方程一、參數(shù)方程的概念1參數(shù)方程的概念(1)定義：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：，并且對于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線

8、的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程(2)參數(shù)的意義：參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)2參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：普通方程F(x，y)0，直接給出了曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系，它含有x，y兩個(gè)變量；參數(shù)方程(t為參數(shù))間接給出了曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系，它含有三個(gè)變量t，x，y，其中x和y都是參數(shù)t的函數(shù)(2)聯(lián)系：普通方程中自變量有一個(gè)，而且給定其中任意一個(gè)變量的值，可以確定另一個(gè)變量的值；參數(shù)方程中自變量也只有一個(gè)，而且給定參數(shù)

9、t的一個(gè)值，就可以求出唯一對應(yīng)的x，y的值這兩種方程之間可以進(jìn)行互化，通過消去參數(shù)可以把參數(shù)方程化為普通方程，而通過引入?yún)?shù)，也可把普通方程化為參數(shù)方程二、圓的參數(shù)方程1圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程如圖圓O與x軸正半軸交點(diǎn)M0(r，0)(1)設(shè)M(x，y)為圓O上任一點(diǎn)，以O(shè)M為終邊的角設(shè)為，則以為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程是(為參數(shù))其中參數(shù)的幾何意義是OM0繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)轉(zhuǎn)過的角度(2)設(shè)動點(diǎn)M在圓上從M0點(diǎn)開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作勻速圓周運(yùn)動，角速度為，則OM0經(jīng)過時(shí)間t轉(zhuǎn)過的角t，則以t為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程為(t為參數(shù))其中參數(shù)t的物理意義是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的時(shí)間2圓心

10、為C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程圓心為(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程可以看成將圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓通過坐標(biāo)平移得到，所以其參數(shù)方程為(為參數(shù))三、參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是在同一平面直角坐標(biāo)系中表示曲線的方程的兩種不同形式，兩種方程是等價(jià)的可以互相轉(zhuǎn)化(2)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型參數(shù)方程通過消去參數(shù)就可得到普通方程(3)普通方程化參數(shù)方程，首先確定變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，其次將xf(t)代入普通方程解出yg(t)，則(t為參數(shù))就是曲線的參數(shù)方程(4)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取

11、值范圍保持一致2.2圓錐曲線的參數(shù)方程一、橢圓的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范圍是0，2)(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范圍是0，2)(3)中心在(h，k)的橢圓普通方程為，則其參數(shù)方程為(是參數(shù))二、雙曲線的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線1的參數(shù)方程是(為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范圍為0，2)且，(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線1的參數(shù)方程是(為參數(shù))三、拋物線的參數(shù)方程(1)拋物線y22px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2

12、)參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)2.3直線的參數(shù)方程一、直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))二、直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義(1)參數(shù)t的絕對值表示參數(shù)t所對應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離(2)當(dāng)與e(直線的單位方向向量)同向時(shí)，t取正數(shù)當(dāng)與e反向時(shí)，t取負(fù)數(shù)，當(dāng)M與M0重合時(shí)，t0三、直線參數(shù)方程的其他形式對于同一條直線的普通方程，選取的參數(shù)不同，會得到不同的參數(shù)方程我們把過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為的直線，選取參數(shù)tM0M得到的參數(shù)方程(t為參數(shù))稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，此時(shí)的參數(shù)t有明確的幾何意義一般地，過點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率k(a，b為常數(shù))的直線，參數(shù)方程為(t為參數(shù))，稱為直線參數(shù)方程的一般形式，此時(shí)的參數(shù)t不具有標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義2.4漸開線與擺線（了解）一、漸開線的概念及參數(shù)方程(1)漸開線的產(chǎn)生過程及定義把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，鉛筆畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)