人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形的常見(jiàn)模型總結(jié)

1、人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形常見(jiàn)模型總結(jié)要點(diǎn)梳理一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的判定與性質(zhì)類型一：角平分線模型應(yīng)用1. 角平分性質(zhì)模型：（利用角平分線的性質(zhì)） 輔助線：過(guò)點(diǎn)G作GE射線AC例題解析例：（1）如圖1，在ABC中，C=90°，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是 cm.（2）如圖2，已知，1=2，3=4，求證：A

2、P平分BAC.圖1圖2【答案】2 （提示：作DEAB交AB于點(diǎn)E），.類型二：角平分線模型應(yīng)用2. 角平分線，分兩邊，對(duì)稱全等(截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等) 兩個(gè)圖形的輔助線都是在射線OA上取點(diǎn)B，使OB=OA，從而使OACOBC.例題解析例1：在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。證明：如圖（1），過(guò)O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，    AD

3、O=AQO，又DAO=QAO，OA=AO， ADOAQO，    OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，    PBO=DOB，又PBO=DBO，    DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°，BOP=OBA+BAO=70°，BOP=BPO，BP=OB，   AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。     解題后的思考：（1）本題

4、也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖（5），過(guò)P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線添加方法，體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。例2：如圖所示，在中，是的外角平分線，是上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，試比較

5、與的大小，并說(shuō)明理由 ，理由如下如圖所示，在的延長(zhǎng)線上截取，連接因?yàn)槭堑耐饨瞧椒志€，故在和中，公用，因此，從而在中，而，故 例3：在中，是的平分線是上任意一點(diǎn)求證： 在上截取，連結(jié)，根據(jù)證得，又中，類型三：等腰直角三角形模型1、在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過(guò)程：（1）將ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使ACMABD，從而推出ADM為等腰直角三角形.（但是寫輔助線時(shí)不能這樣寫）（2）過(guò)點(diǎn)C作MCBC，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論.2、定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過(guò)程：連AD.（1）. 使BF=AE（AF=CE），導(dǎo)出BDFADE. （2）. 使EDF+BAC=180°

6、;，導(dǎo)出BDFADE. 例題解析例1：兩個(gè)全等的含30°，60°的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD得中點(diǎn)M，連接ME，MC，試判斷EMC的形狀，并證明。證明：連接AM，證明MDEMAC.特別注意證明MDE=MAC. 例2：已知：如圖所示，RtABC 中，AB=AC，O為BC中點(diǎn)，若M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持AN=CM. （1）是判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)時(shí)，四邊形AMON的面積如何變化？思路：兩種方法： 類型四：三垂直模型（弦圖模型） 由ABEBCD導(dǎo)

7、出 由ABEBCD導(dǎo) 由ABEBCD導(dǎo)出 ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD例題解析例1：已知：如圖所示，在ABC中，AB=AC，D為AC中點(diǎn)，AFBD于E，交BC于F，連接DF。求證：ADB=CDF. 思路：方法一: 過(guò)點(diǎn)C作MCAC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.先證ABDCAM，再證 CDF CMF即可. （一） （二） （三）方法二：過(guò)點(diǎn)A作AMBC分別交BD、BC于H、M.先證ABHCAF， 再證 CDF ADH即可.方法三：過(guò)點(diǎn)A作AMBC分別交BD、BC于H、M.先證RtAMF RtBMH，得出 HFAC. 由M、D分別為線段AC、BC的中點(diǎn)，可得MD為AB

8、C的中位線從而推出MDAB，又由于，故而MDAC，MDHF，所以MD為線段HF的中垂線. 所以1=2.再由ADB+1=CDF+2 ，則ADB=CDF .類型五：手拉手模型1.ABE和ACF均為等邊三角形 結(jié)論：（1）. ABFAEC （2）.BOE=BAE=60°（“八字模型證明”）（3）.OA平分EOF 拓展： 條件：ABC和CDE均為等邊三角形 結(jié)論：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ為等邊三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）2.ABD

9、和ACE均為等腰直角三角形 結(jié)論：（1）、BE=CD （2）BECD 3.ABEF和ACHD均為正方形 結(jié)論：（1）、BDCF （2）、BD=CF四、半角模型條件：a = 1 b, 且b+q=180°，b 兩邊相等 .2思路：1、補(bǔ)短（旋轉(zhuǎn)）輔助線：延長(zhǎng) CD 到 E，使 ED=BM，連 AE 或延長(zhǎng) CB 到 F，使 FB=DN，連 AF將ADN 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得ABF，注意：旋轉(zhuǎn)需證 F、B、M三點(diǎn)共線結(jié)論：（1）MNBMDN；（2） CVCMN =2 AB ；（3）AM、AN 分別平分BMN、MND .2、翻折（對(duì)稱）輔助線：作 APMN 交 MN 于點(diǎn) P將ADN、ABM 分別沿 AN、AM 翻折，但一定要證明 M、P、N 三點(diǎn)共線 .例 1、在正方形 ABCD 中，若 M、N 分別在邊 BC、CD 上移動(dòng)，且滿足 MNBMDN， 求證：（1）MAN45&#