必修2第2章 第三節(jié) 空間直角坐標(biāo)系1 空間直角坐標(biāo)系 （學(xué)案含答案）

1、.高中數(shù)學(xué)空間直角坐標(biāo)系一、考點(diǎn)打破知識點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明空間直角坐標(biāo)系1. 理解空間直角坐標(biāo)系的建系方式；2. 能在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo)或根據(jù)坐標(biāo)作出點(diǎn)。解答題在二維平面直角坐標(biāo)系根底上的推廣，是空間立體幾何的代數(shù)化，是以后學(xué)習(xí)“空間向量等內(nèi)容的根底，具有承前啟后的作用。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念、空間點(diǎn)的坐標(biāo)確實(shí)定方法。難點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生過程?？键c(diǎn)一：空間直角坐標(biāo)系1. 空間直角坐標(biāo)系的概念從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有一樣單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸和z軸叫作坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個(gè)坐

2、標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面。2. 右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，假設(shè)中指指向z軸的正方向，那么稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系?！疽c(diǎn)詮釋】通常，將空間直角坐標(biāo)系畫在紙上時(shí)，x軸與y軸、x軸與z軸均成135°角，而z軸垂直于y軸。y軸和z軸的單位長度一樣，x軸上的單位長度為y軸或z軸的單位長度的一半。3. 空間一點(diǎn)的坐標(biāo)對于空間任意一點(diǎn)A，作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即經(jīng)過點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P、Q、R。點(diǎn)P、Q、R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z，我們把有

3、序?qū)崝?shù)組x，y，z叫作點(diǎn)A的坐標(biāo)，記為Ax，y，z?！局匾崾尽刻厥馕恢玫狞c(diǎn)的坐標(biāo)： 原點(diǎn)坐標(biāo)； 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； 平面通過軸和軸的平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)； 平面通過軸和軸的平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)； 平面通過軸和軸的平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)?？键c(diǎn)二：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的讀取方法1. 投影法：即找到點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)。方法是過點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于軸、軸和軸于、三點(diǎn)、即為點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)，點(diǎn)、在軸、軸和軸上的坐標(biāo)分別為、，那么就是點(diǎn)的坐標(biāo)。2. 途徑法：

4、先從原點(diǎn)出發(fā)沿軸的正方向或負(fù)方向挪動(dòng)個(gè)單位，再沿軸的正方向或負(fù)方向挪動(dòng)個(gè)單位，最后沿軸的正方向或負(fù)方向挪動(dòng)個(gè)單位即可讀出此點(diǎn)坐標(biāo)。考點(diǎn)三：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是?！局匾崾尽靠臻g直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)求法，可用口訣“關(guān)于誰誰不變，其余的均相反來記憶。【隨堂練習(xí)】點(diǎn)Pa，b，c到坐標(biāo)平面xOy的間隔 是_。思路分析：過點(diǎn)P向xOy平面作垂線，該垂線上的所有點(diǎn)在軸上的投影一樣，在軸上的投影也一樣，只有在軸上的不同。答案：點(diǎn)P在

5、xOy平面的射影的坐標(biāo)是Pa，b，0，所以d|c|。技巧點(diǎn)撥：過Pa，b，c向xOy平面作垂線，那么垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為a，b，m其中m為變數(shù)；過Pa，b，c向xOz平面作垂線，那么垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為a，m，c其中m為變數(shù)；過Pa，b，c向yOz平面作垂線，那么垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為m，b，c其中m為變數(shù)。例題1 求空間內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD3，AB5，AA14，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，寫出此長方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。思路分析：以D為原點(diǎn)建系找各點(diǎn)在xOy平面內(nèi)的射影找各點(diǎn)在z軸上的正射影寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。答案：如圖，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸

6、，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz。由題意知長方體的棱長ADBC3，DCAB5，DD1AA14，顯然D0，0，0，A在x軸上，A3，0，0；C在y軸上，C0，5，0；D1在z軸上，D10，0，4；B在xOy平面內(nèi)，B3，5，0；A1在xOz平面內(nèi)，A13，0，4；C1在yOz平面內(nèi)，C10，5，4。由B1在xOy平面內(nèi)的射影為B3，5，0，B1的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為5。B1在z軸上的射影為D10，0，4，B1的豎坐標(biāo)為4，B13，5，4。技巧點(diǎn)撥：1. 建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循的兩個(gè)原那么1讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上。2充分利用幾何圖形的對稱性。2. 求某點(diǎn)M坐標(biāo)的方法過點(diǎn)M分別作三個(gè)

7、坐標(biāo)平面的平行平面或垂面，分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，確定x、y、z。詳細(xì)理解，可以以長方體為模型，要掌握一些特殊點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)和落在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示的特征。例題2 空間直角坐標(biāo)系中關(guān)于對稱點(diǎn)如下圖，長方體ABCDA1B1C1D1的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面分別平行于三個(gè)坐標(biāo)平面，頂點(diǎn)A2，3，1，求其他7個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。思路分析：充分運(yùn)用長方體是對稱的幾何圖形這一性質(zhì)求解。答案：設(shè)長方體的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A2，3，1，A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)C1的坐標(biāo)為2，3，1。C與C1關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對稱，C2，3，1。A1與C關(guān)于原點(diǎn)對稱，A12，3，1。點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于

8、yOz坐標(biāo)平面對稱，D2，3，1。點(diǎn)B1與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對稱，B12，3，1。同理可求得點(diǎn)D1的坐標(biāo)為2，3，1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為2，3，1，綜上知長方體其他7個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C12，3，1，C2，3，1，A12，3，1，B2，3，1，B12，3，1，D2，3，1，D12，3，1。 技巧點(diǎn)撥：空間對稱的特點(diǎn)是“關(guān)于誰對稱，誰不變，其余互為相反數(shù)，如關(guān)于x軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱、豎坐標(biāo)分別互為相反數(shù)；關(guān)于xOy平面對稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)。平時(shí)解題時(shí)要注意方法規(guī)律的總結(jié)。忽略空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸兩兩垂直導(dǎo)致建系錯(cuò)誤例題 在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面AB

9、C，所有的棱長都是1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)?！惧e(cuò)解】如下圖，分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么A0，0，0。各棱長均為1，且B、C、A1均在坐標(biāo)軸上，B1，0，0，C0，1，0，A10，0，1，B11，0，1，C10，1，1。【錯(cuò)因分析】三棱柱各棱長均為1，ABC為正三角形，即BAC60°，故此題做錯(cuò)的根本原因在于建立直角坐標(biāo)系時(shí)沒有抓住空間直角坐標(biāo)系三條坐標(biāo)軸兩兩垂直的本質(zhì)?！痉婪洞胧拷⒖臻g直角坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)選擇從一點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的線作為坐標(biāo)軸，假如圖中沒有滿足條件的直線，可以通過作“輔助線，到達(dá)建系的目的?！菊狻咳缦聢D，取AC的中點(diǎn)O和A1C1的中點(diǎn)O1，連接BO、OO1，可得BOAC，BOOO1