必修四第二章 平面向量 第二講 向量的線性運算1 向量的加減法（學(xué)案含答案）

1、.高中數(shù)學(xué)向量的加減法向量的加法一、考點打破知識點課標(biāo)要求題型說明向量的加法1. 理解向量加法在物理學(xué)中的背景知識；2. 掌握向量加法的運算三角形法那么和平行四邊形法那么，理解向量加法的幾何意義；3. 會推導(dǎo)向量加法的交換律與結(jié)合律選擇填空高考必考向量的加法要注意向量的“形的應(yīng)用二、重難點提示重點：向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么；難點：向量加法的交換律與結(jié)合律的推導(dǎo)。向量的減法一、考點打破知識點課標(biāo)要求題型說明向量的減法1. 理解相反向量的概念；2. 理解差向量的概念和向量加法與減法間的關(guān)系；重點3. 掌握向量減法運算，并理解其幾何意義難點選擇填空高考必考向量的減法要注意向量的“形的

2、應(yīng)用二、重難點提示重點：相反向量的概念及向量的加法與減法之間的關(guān)系。難點：掌握向量減法運算，并理解其幾何意義。向量的加法一、向量加法的定義及運算法那么1. 求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。其中。2. 向量加法的運算法那么1三角形法那么：如圖1，向量a，b，在平面內(nèi)任取一點O，作a，b，那么向量叫做a與b的和，記做ab，即ab。圖12平行四邊形法那么：把向量a，b平移到同一點O，如圖2，作出平行四邊形，那么ab。圖2【核心歸納】準(zhǔn)確理解向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么1兩個法那么的使用條件不同三角形法那么適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法那么只適用于兩個不共線的向量求和，但是在

3、處理某些問題時，平行四邊形法那么有它一定的優(yōu)越性，因此向量加法的三角形法那么和它的平行四邊形法那么都應(yīng)該純熟掌握。2當(dāng)兩個向量不共線時，兩個法那么是一致的。3在使用三角形法那么時，應(yīng)注意“首尾連接；在使用平行四邊形法那么時應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量起點一樣。二、向量加法的運算律1交換律：abba；2結(jié)合律：abcabc。【核心打破】1兩個向量的和仍然是一個向量。2當(dāng)兩個非零向量a與b不共線時，ab的方向與a，b都不一樣，且。3特殊位置關(guān)系的兩向量的和向量a與b同向，那么ab與a、b方向一樣，那么；向量a與b反向，假設(shè)ab與b方向一樣，那么。4向量加法廣泛應(yīng)用于力的合成、速度的合成等。例如

4、：在四邊形ABCD中，試判斷四邊形的形狀。思路分析：要結(jié)合圖形中的三角形運用加、減法的法那么。答案：如下圖由向量加法的三角形法那么得即ABDC，且四邊形ABCD是平行四邊形。技巧點撥：假如再添上，那么四邊形ABCD是菱形；假如垂直，那么四邊形ABCD是矩形。向量的減法一、向量的減法定義假如，那么向量叫做與的差，記為，求兩個向量差的運算叫做向量的減法?！疽c詮釋】向量的減法是向量的加法的逆運算，利用相反向量的定義，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。二、向量減法的運算法那么三角形法那么在平面內(nèi)任取一點O，作，那么，即表示從減向量的終點指向被減向量的終點的向量?！疽c詮釋】1. 向量的減法運算與向量的加法運算

5、可以靈敏轉(zhuǎn)化，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量。2. 以向量為鄰邊作平行四邊形ABCD，那么兩條對角線，。向量的加法例題1 向量加法的化簡與運算 化簡或運算：如下圖，梯形ABCD中，8，10，試求。思路分析：利用三角形法那么，先求和向量，再求模。答案：如下圖，作，那么，結(jié)合圖形可知1082。技巧點撥：求向量的和要考慮用向量加法的運算律和運算法那么，求和的關(guān)鍵是利用向量加法的三角形法那么，在運用此法那么時，要注意“首尾相接，即求兩個向量的和是以第一個向量的終點為第二個向量的起點，和向量是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點。此類題要利用運算律將“首尾相接的兩個向量分在一組，多個向量求和也

6、要注意首尾相連。例題2 向量加法在平面幾何中的應(yīng)用如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且，。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。思路分析：要證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需證明，且A，B，C，D不在一條直線上即可。答案：由向量的加法法那么，知：又，A，B，C，D不在一條直線上，AD與BC平行且相等，四邊形ABCD是平行四邊形。技巧點撥：利用向量的加法可以得到線段的平行和相等，用向量法解幾何問題的關(guān)鍵是把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，通過向量的運算得到結(jié)論，然后再把向量問題復(fù)原成幾何問題。向量的減法例題1向量作和差向量如圖，向量a，b，c不共線，求作向量abc。思路分析：先將a，b首尾

7、相連，作出ab，然后根據(jù)向量減法的定義作ab與c的差向量。答案：作法一如圖1所示，在平面內(nèi)任取一點O，作a，b，那么ab，再作c，那么abc；作法二如圖2所示，在平面內(nèi)任取一點O，作a，b，那么ab，過點B作c，那么abc?！局匾崾尽?. 求作向量的和與差就是三角形法那么或平行四邊形法那么的運用。2. 求作向量的差可以轉(zhuǎn)化為兩個向量的和進(jìn)展，也可以直接用向量減法的三角形法那么，即把兩向量的起點重合，那么差向量就是連接兩個向量的終點，并指向被減向量。3. 作圖時一定要注意箭頭的方向。例題2 向量加減法的根本運算化簡：。思路分析：思路一：相反向量法，即把向量的減法轉(zhuǎn)化成向量的加法求解；思路二：利

8、用減法的幾何意義，即利用向量減法的三角形法那么求解；思路三：向量分解法，即把向量轉(zhuǎn)化成從一點出發(fā)的兩向量的差向量，如等。答案：方法一利用相反向量方法二利用向量減法的幾何意義方法三利用設(shè)O是平面內(nèi)任意一點，那么技巧點撥：1. 向量減法運算的常用方法：2. 注意在滿足以下兩種形式的情況下可以化簡：1首尾相連且為和；2起點一樣且為差。做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應(yīng)用。向量的加法無視零向量與數(shù)0的區(qū)別致誤化簡。【錯解】?！惧e因分析】錯解的原因是混淆了數(shù)0和零向量這兩個不同的概念，結(jié)果應(yīng)為零向量?！痉婪洞胧肯蛄肯嗉踊蛳鄿p，其結(jié)果仍然是向量，注意與0的不同。【正解】。向量的減法利用“形解決向量的模的求值問題非零向量a，b滿足|a|1，|b|1，且|ab|4，求|ab|的值。思路分析：解答此題可先由|a|，|b|及|ab|出發(fā)，找出三者之間的數(shù)量關(guān)系，從而進(jìn)一步判斷三角形的形狀，再求|ab|的值。答案：如圖，a，b，那么|ab|，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，那么|ab|，由于121242.故，所以AOB是AOB為90°的直角三角形，從而OAOB，所