必修四第二章 平面向量 第三講 向量的坐標(biāo)表示1 平面向量基本定理（學(xué)案含答案）

1、.高中數(shù)學(xué)平面向量根本定理一、考點(diǎn)打破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明平面向量根本定理1. 理解平面向量根本定理及其意義；2. 理解基底的含義；3. 會(huì)用任意一組基底表示指定的向量；4. 能應(yīng)用平面向量根本定理解決一些實(shí)際問題選擇填空平面向量根本定理表達(dá)了平面內(nèi)向量的“統(tǒng)一思想，是向量坐標(biāo)表示的根底，注意認(rèn)真掌握二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：平面向量根本定理及其意義；難點(diǎn)：平面向量根本定理的應(yīng)用?？键c(diǎn)一：基底的概念基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。【要點(diǎn)詮釋】1. 對(duì)基底的理解基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：基底是兩個(gè)不共線向量；基底的選擇是不唯一的，平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量

2、可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件。2. 零向量與任意向量共線，故不能作為基底?？键c(diǎn)二：平面向量根本定理定理：假如e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2。其中當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時(shí)，這種分解也稱為向量a的正交分解。【難點(diǎn)剖析】準(zhǔn)確理解平面向量根本定理1平面向量根本定理的本質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的。2平面向量根本定理中，實(shí)數(shù)1、2的唯一性是相對(duì)于基底e1，e2而言的，平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底，一旦選定一組基底，那么給定向量

3、沿著基底的分解是唯一的。3平面向量根本定理提醒了平面向量的根本構(gòu)造，即同一平面內(nèi)任意三個(gè)向量之間的關(guān)系是：其中任意一個(gè)向量都可以作為其他兩個(gè)不共線的向量的線性組合?！竞诵拇蚱啤筷P(guān)于基底的一個(gè)結(jié)論設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，當(dāng)0時(shí)，恒有120。注意：這個(gè)結(jié)論很有用，可以實(shí)現(xiàn)向量向代數(shù)值的轉(zhuǎn)化。【隨堂練習(xí)】向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足3x4ye12x3ye26e13e2，那么xy的值為_。思路分析：利用結(jié)論：“假設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，當(dāng)0時(shí)，恒有120解決。答案：33x4ye12x3ye26e13e2，且e1，e2不共線，解得xy633。技巧點(diǎn)撥：向量是數(shù)形結(jié)合的知識(shí)交匯，注

4、意掌握從向量向代數(shù)轉(zhuǎn)化的這個(gè)重要結(jié)論：“設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，當(dāng)0時(shí)，恒有120。例題1 用基底表示向量如下圖，以向量a，b為鄰邊作AOBD，又，用a，b表示，。思路分析：，再將各量轉(zhuǎn)化為，。答案：ab，ab，又ab，ab，ababab。技巧點(diǎn)撥：1. 假設(shè)題目中已給出了基底，求解此類問題時(shí)，常利用向量加法三角形法那么或平行四邊形法那么，結(jié)合數(shù)乘運(yùn)算，找到所求向量與基底的關(guān)系。2. 假設(shè)題目中沒有給出基底，常結(jié)合條件先尋找一組從同一點(diǎn)出發(fā)的兩不共線向量作為基底，而后用上述方法求解。例題2 平面向量根本定理的應(yīng)用如圖，在OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使ABAC，D是將分成21的一個(gè)分點(diǎn)靠近B

5、點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)a，b，1用a，b表示向量，；2假設(shè)，務(wù)實(shí)數(shù)的值。思路分析：1由題意可知A是BC的中點(diǎn)，利用平行四邊形法那么求，利用三角形法那么求；2利用C，D，E三點(diǎn)共線，結(jié)合共線向量定理求解。答案：1A為BC中點(diǎn)，2ab；2abb2ab，2設(shè)，那么a2ab2ab，與共線，存在實(shí)數(shù)m，使得，即2abm2ab，即2m2a1mb0，a，b不共線且為非零向量，解得。技巧點(diǎn)撥：1. 此類問題要結(jié)合圖形條件與所求證的問題，尋求解題思路。此題充分利用三點(diǎn)共線，即共線向量定理，共面向量定理，建立方程組求解，同時(shí)要恰中選擇基底簡(jiǎn)化運(yùn)算。2. 應(yīng)用平面向量根本定理來(lái)證明平面幾何問題的一般方法是：先選取一組基底，再根據(jù)幾何圖形的特征應(yīng)用向量的有關(guān)知識(shí)解題?！纠C】用向量法證明三角形的三條中線交于同一點(diǎn)。思路分析：令A(yù)BC的中線AD與中線BE交于點(diǎn)G1，中線AD與CF交于點(diǎn)G2，利用向量說(shuō)明G1與G2重合，證得三條中線交于一點(diǎn)。答案：如圖，AD，BE，CF是ABC的三條中線。令a，b，那么ab，ab，ab，令A(yù)D與BE交于點(diǎn)G1，并假設(shè)，那么有ab，ab，1a1b，由此可得，再令A(yù)D與CF相交于G2，同樣的方法可得AD，G1與G2重合，即AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)，三角形三條中線交于一點(diǎn)。技巧點(diǎn)撥：向量方法證明三線共點(diǎn)的