[推薦學(xué)習(xí)]2022屆廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)檢測(cè)試題31平面向量與三角形的應(yīng)用舉例

1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)平面向量與三角形的應(yīng)用舉例一、平面向量與三角形的心1、重心中線交點(diǎn)1是的重心2是的重心是平面上的點(diǎn)證明：是的重心，即由此可得。例如：向量，滿足條件，求證：是正三角形。 分析：對(duì)于此題中的條件，容易想到，點(diǎn)是的外心，而另一個(gè)條件說(shuō)明，點(diǎn)是的重心。故此題可描述為，假設(shè)存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心，那么該三角形一定是正三角形。又如，假設(shè)一個(gè)三角形的重心與外接圓圓心重合，那么此三角形為何種三角形？與此題實(shí)質(zhì)是相同的。 顯然，此題中的條件可改為。2、垂心高線交點(diǎn)1是的垂心由，同理，。故是的垂心。反之亦然。2是非直角三角形的垂心，那么有且。3、外心邊垂直平分線交點(diǎn)，外接圓圓心1是的

2、外心點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等2是的外心為三邊垂直平分線交點(diǎn)3是的外心，那么有且。4、內(nèi)心角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心1是的內(nèi)心2是的內(nèi)心3引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。記，的單位向量為，那么是的內(nèi)心4是的內(nèi)心，那么故或5是的內(nèi)心6向量所在直線過(guò)的內(nèi)心是的角平分線所在直線7設(shè)是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，為內(nèi)心例如：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足那么的軌跡一定通過(guò)的 A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心分析：等式即，設(shè)，顯然都是單位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，那么結(jié)果為菱形，故為的平分線，選。5、外心與重心：假設(shè)是的外心，是重心，那么6、外心與垂心：假設(shè)是的外心，是垂心，那么7、重

3、心與垂心：假設(shè)是的重心，是垂心，那么8、外心、重心、垂心：假設(shè)分別是銳角的外心、重心、垂心，那么證明：按重心定理：是的重心；按垂心定理：，由此可得：。9、三角形的外心、重心、垂心的位置關(guān)系：1三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線，即歐拉線；2三角形的重心在歐拉線上，且為外心、垂心連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例如：在中，分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：三點(diǎn)共線，且。證明：以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如上圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)、，分別為的中點(diǎn)，那么有：，由題設(shè)可設(shè)，即，故三點(diǎn)共線，且。二、應(yīng)用舉例1、在所在平面內(nèi)，且，且，那么點(diǎn)依次是的 C A、重心 外心 垂

4、心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心2、是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，那么點(diǎn)是的 D A、三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C、三條中線的交點(diǎn)D、三條高的交點(diǎn)解：由，得 是的垂心，即三條高的交點(diǎn)。3、在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式：，那么為的 D A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心4、，為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：，那么點(diǎn)為的 D A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心5、是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，那么是的 C A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心解：假設(shè)是的重心，那么有是的中點(diǎn)，。與重合，即是的重心。6、的頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)滿足：，那

5、么為的 C A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心7、是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，那么的軌跡一定通過(guò)的 C A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心8、，為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：，那么點(diǎn)為的 B A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心9、在中，動(dòng)點(diǎn)滿足：，那么點(diǎn)一定通過(guò)的 B A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心10、是平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，那么點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的 B A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心11、是平面上不共線的三點(diǎn)，是的重心，動(dòng)點(diǎn)滿足，那么點(diǎn)一定為的 B A、邊中線的中點(diǎn) B、邊中線的三等分點(diǎn)非重心 C、重心 D、邊

6、的中點(diǎn)分析：取邊的中點(diǎn)，那么，由，得3，即點(diǎn)為三角形中邊中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且不過(guò)重心。12、非零向量與滿足且，那么為 D A、三邊均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等邊三角形 D、等邊三角形13、的外接圓的圓心為，兩邊上的高的交點(diǎn)為，那么實(shí)數(shù) 。解：當(dāng)為時(shí)，不妨設(shè)，那么是的中點(diǎn)，是直角頂點(diǎn)，。14、假設(shè)是的外心，是三邊中點(diǎn)構(gòu)成的的外心，且，那么 。其實(shí)是的中點(diǎn)，；也可用特例時(shí)得15、在四邊形中，=，那么四邊形的面積是 。解析：由題知四邊形是菱形，其邊長(zhǎng)為，且對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍，所以，故，。16、如圖，點(diǎn)是的重心，過(guò)作直線與兩邊分別交于兩點(diǎn)，且，求證：。證明：點(diǎn)是的重心，得，有。又三點(diǎn)共線不在直線上，于是存在，使得，有，得，于是得。17、為的外心，求證：。分析：構(gòu)造坐標(biāo)系證明。如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸的正半軸，