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1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)平面向量與三角形的應(yīng)用舉例一、平面向量與三角形的心1、重心中線交點(diǎn)1是的重心2是的重心是平面上的點(diǎn)證明:是的重心,即由此可得。例如:向量,滿足條件,求證:是正三角形。 分析:對(duì)于此題中的條件,容易想到,點(diǎn)是的外心,而另一個(gè)條件說(shuō)明,點(diǎn)是的重心。故此題可描述為,假設(shè)存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心,那么該三角形一定是正三角形。又如,假設(shè)一個(gè)三角形的重心與外接圓圓心重合,那么此三角形為何種三角形?與此題實(shí)質(zhì)是相同的。 顯然,此題中的條件可改為。2、垂心高線交點(diǎn)1是的垂心由,同理,。故是的垂心。反之亦然。2是非直角三角形的垂心,那么有且。3、外心邊垂直平分線交點(diǎn),外接圓圓心1是的
2、外心點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等2是的外心為三邊垂直平分線交點(diǎn)3是的外心,那么有且。4、內(nèi)心角平分線交點(diǎn),內(nèi)切圓圓心1是的內(nèi)心2是的內(nèi)心3引進(jìn)單位向量,使條件變得更簡(jiǎn)潔。記,的單位向量為,那么是的內(nèi)心4是的內(nèi)心,那么故或5是的內(nèi)心6向量所在直線過(guò)的內(nèi)心是的角平分線所在直線7設(shè)是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),為內(nèi)心例如:是平面上一定點(diǎn),是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足那么的軌跡一定通過(guò)的 A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心分析:等式即,設(shè),顯然都是單位向量,以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形,那么結(jié)果為菱形,故為的平分線,選。5、外心與重心:假設(shè)是的外心,是重心,那么6、外心與垂心:假設(shè)是的外心,是垂心,那么7、重
3、心與垂心:假設(shè)是的重心,是垂心,那么8、外心、重心、垂心:假設(shè)分別是銳角的外心、重心、垂心,那么證明:按重心定理:是的重心;按垂心定理:,由此可得:。9、三角形的外心、重心、垂心的位置關(guān)系:1三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線,即歐拉線;2三角形的重心在歐拉線上,且為外心、垂心連線的第一個(gè)三分點(diǎn),即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例如:在中,分別是三角形的外心、重心、垂心。求證:三點(diǎn)共線,且。證明:以為原點(diǎn),所在的直線為軸,建立如上圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)、,分別為的中點(diǎn),那么有:,由題設(shè)可設(shè),即,故三點(diǎn)共線,且。二、應(yīng)用舉例1、在所在平面內(nèi),且,且,那么點(diǎn)依次是的 C A、重心 外心 垂
4、心 B、重心 外心 內(nèi)心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 內(nèi)心2、是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足,那么點(diǎn)是的 D A、三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C、三條中線的交點(diǎn)D、三條高的交點(diǎn)解:由,得 是的垂心,即三條高的交點(diǎn)。3、在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式:,那么為的 D A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心4、,為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn),且滿足:,那么點(diǎn)為的 D A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心5、是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),且,那么是的 C A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心解:假設(shè)是的重心,那么有是的中點(diǎn),。與重合,即是的重心。6、的頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)滿足:,那
5、么為的 C A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心7、是平面上一定點(diǎn),是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足:,那么的軌跡一定通過(guò)的 C A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心8、,為三角形所在平面上的一點(diǎn),且點(diǎn)滿足:,那么點(diǎn)為的 B A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心9、在中,動(dòng)點(diǎn)滿足:,那么點(diǎn)一定通過(guò)的 B A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心10、是平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,那么點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的 B A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心11、是平面上不共線的三點(diǎn),是的重心,動(dòng)點(diǎn)滿足,那么點(diǎn)一定為的 B A、邊中線的中點(diǎn) B、邊中線的三等分點(diǎn)非重心 C、重心 D、邊
6、的中點(diǎn)分析:取邊的中點(diǎn),那么,由,得3,即點(diǎn)為三角形中邊中線的一個(gè)三等分點(diǎn),且不過(guò)重心。12、非零向量與滿足且,那么為 D A、三邊均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等邊三角形 D、等邊三角形13、的外接圓的圓心為,兩邊上的高的交點(diǎn)為,那么實(shí)數(shù) 。解:當(dāng)為時(shí),不妨設(shè),那么是的中點(diǎn),是直角頂點(diǎn),。14、假設(shè)是的外心,是三邊中點(diǎn)構(gòu)成的的外心,且,那么 。其實(shí)是的中點(diǎn),;也可用特例時(shí)得15、在四邊形中,=,那么四邊形的面積是 。解析:由題知四邊形是菱形,其邊長(zhǎng)為,且對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍,所以,故,。16、如圖,點(diǎn)是的重心,過(guò)作直線與兩邊分別交于兩點(diǎn),且,求證:。證明:點(diǎn)是的重心,得,有。又三點(diǎn)共線不在直線上,于是存在,使得,有,得,于是得。17、為的外心,求證:。分析:構(gòu)造坐標(biāo)系證明。如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),在軸的正半軸,
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