動點問題最值

1、動點問題最值最值問題有四種情形：定點到動點的最值，動點在圓上或直線上，就是點到圓的最近距離，和點到直線的最近距離；三角形兩邊之和大于第三邊的問題，當兩邊成一直線最大；幾條線段之和構成一條線段最??；還有就是對稱點最小問題。一、定點到動點所在圓的最大或最小值，動點在一個定圓上運動，其實質是圓外一點到圓的最大或最小距離，就是定點與圓心所在直線與圓的交點的兩個距離。 方法：證明動點在圓上或者去找不變的特殊三角形，證明兩個三角形相似，求出某些邊的值。1如圖，ABC、EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M當EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最小值是（ ）ABCD提

2、示：點M在以AC為直徑的圓上2（2015咸寧）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E是邊BC上的動點，BFAE交CD于點F，垂足為G，連結CG下列說法：AGGE；AE=BF；點G運動的路徑長為；CG的最小值為1其中正確的說法是（把你認為正確的說法的序號都填上）提示：G在以AB為直徑的圓上：正確答案是：3、如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,正方形AEFG的邊長為1cm，如果正方形AEFG繞點A旋轉，那么C、F兩點之間的最小距離為 4、如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，A=60°,M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN，連接AC，則AC長度的最小值是

3、 5、如圖，等腰直角ACB，AC=BC=，等腰直角CDP，且PB=，將CDP繞C點旋轉.（1）求證：AD=PB（2）若CPB=135°，求BD；（3）PBC= 時，BD有最大值，并畫圖說明； PBC= 時，BD有最小值，并畫圖說明.分析：在ABD中有：BDAB+AD，當BD=AB+AD時BD最大，此時AB與AD在一條直線上，且AD在BA的延長線上，又ACB是等腰直角三角形，CAB=45°，由（1）知PBC=CAD=180°-45°=135°BDAB-AD，當BD=AB-AD時BD最小，此時，AB與AD在一條直線上，且AD在線段AB上，此時CAD

4、=45°，所以PBC=CAD=45°6、如圖，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACB=ADE=90°,BAE=135°,AD=1，AC=，F為BE中點.（1）求CF的長（2）將ADE繞A旋轉一周，求點F運動的路徑長；（3）ADE繞點A旋轉一周，求線段CF的范圍.提示：本題根據中點構造三角形相似，BOFBAE,且7、如圖，AB=4，O為AB中點，O的半徑為1，點P是O上一動點，以點P為直角頂點的等腰PBC（點P，B，C按逆時針方向排列）則線段AC的取值范圍 AP3 提示：發(fā)現定等腰直角AOC與等腰直角OBE，從而得到相似。BOPBEC CE= AE= 在

5、ACE中，AE-CEACAE+CE8、如圖，ABC是等邊三角形，邊長為2，D是AC邊上一動點，連接BD，O為ABD外接圓，過點A作AEBC交O于E，連接DE，BE.則ADE的周長的最小值為 2+ 9、如圖，正方形ABCD，AB=4，E為形外一點，且AED=900，連CE，F為CE的中點，求BF得最大值。連AC,取DC中點G，取AC中點H，則FGHEDA,又AD=4，GFH=DEA=90°，點F在以GH為直徑的圓上，BF的最大值為二、定點到動點所在定直線的最小值，動點在一條直線上運動，其實質是點到直線的最小距離。方法：1在平面直角坐標系中，已知A(2，4)、P(1，0)，B為y軸上的動

6、點，以AB為邊構造ABC，使點C在x軸上，BAC90°M為BC的中點，則PM的最小值為_取特殊位置考慮：當B在原點時，OC=10，此時M（5,0）當C在原點時，B（0,5），此時M（0，），所以點M在直線上運動PM PM=OM=AM，點M在OA的垂直平分線上。2、在平面直角坐標系中，A（-3,0），B（3,0），C（0，-），E為y軸上一動點，以BE為邊向左側作正BEF，則OF的最小值為 提示：點F在如圖所示的直線AF上運動。那兩個涂色的三角形始終是全等的FAO=30°3、如圖，點D在等邊ABC的邊BC的延長線上，點E、F分別是邊BC、AB上的點，且AF=BE，連接EF，以

7、EF為邊構造等邊EFG，連接DG，若BD=2，則DG的最小值是 考慮特殊位置：當當E與B重合時，F與A重合，此時BGAC，當E與C重合時，F與B重合，FGAC，所有點G在過點B且與AC平行的直線上，DBG=60°，當DG垂直于過B與AC平行的直線垂直時，DG最小是過E作EHAC，則有EFHEGB EBG=EHF=60°點G在平行于AC的直線GB上運動。4、如圖，OA=3，OAB=60°，P為射線BO上一動點，E為OB中點，以AP為邊作等邊APC,則點P運動過程中CE的最小值為 易證：APHACB（H為y軸負半軸上的那個點）AC=BC，點C在AB的垂直平分線上.三、

8、根據三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，最大值就是讓第三邊等于其他兩邊的和，最小值就是第三邊等于其他兩邊之差1、15、ACD中，AD8，CD，BCAC于C，AC=2BC，則BD的最大值是_.提示：過C作CECD使CE=2CD，連接AC，DE，則有BCDACE，則有 又AEDE+AD=13 BD=6.52、如圖，AB=4，O為AB中點，O的半徑為1，點P是O上一動點，以點P為直角頂點的等腰PBC（點P，B，C按逆時針方向排列）則線段AC的取值范圍 AP3 提示：發(fā)現定等腰直角AOC與等腰直角OBE，從而得到相似。BOPBEC CE= AE= 在ACE中，AE-CEACAE+CE5、如圖

9、，等腰直角ACB，AC=BC=，等腰直角CDP，且PB=，將CDP繞C點旋轉.（1）求證：AD=PB（2）若CPB=135°，求BD；（3）PBC= 時，BD有最大值，并畫圖說明； PBC= 時，BD有最小值，并畫圖說明.分析：在ABD中有：BDAB+AD，當BD=AB+AD時BD最大，此時AB與AD在一條直線上，且AD在BA的延長線上，又ACB是等腰直角三角形，CAB=45°，由（1）知PBC=CAD=180°-45°=135°BDAB-AD，當BD=AB-AD時BD最小，此時，AB與AD在一條直線上，且AD在線段AB上，此時CAD=45&#

10、176;，所以PBC=CAD=45°四、由三角形第三邊小于兩邊之和推廣可以得到，最小值問題，就是要兩條線段的和或多條線段的和構成一條線段，理由是兩點之間線段最短。1、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連AM、CM、EN.（1）求證：ABMENB；（2）當M點在何處時，AM+CM的值最??？ 當M點在何處時，AM+BM+CM的值最??？并說明理由.（3）當AM+BM+CM的值最小值為時，求正方形的邊長.2（2015天津）在每個小正方形的邊長為1的網格中點A，B，D均在格點上，點E、F分別為線段BC、D

11、B上的動點，且BE=DF（）如圖，當BE=時，計算AE+AF的值等于（）當AE+AF取得最小值時，請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出線段AE，AF，并簡要說明點E和點F的位置如何找到的（不要求證明）取格點H，K，連接BH，CK，相交于點P，連接AP，與BC相交，得點E，取格點M，N連接DM，CN，相交于點G，連接AG，與BD相交，得點F，線段AE，AF即為所求3、已知拋物線的頂點為P，直線分別交x，y軸于點M，N（1）若點P在直線MN上，求n的值； （2）是否存在過（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點（A點在B點的下方），使AB為定長，若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由；（3

12、）在（2）的條件下，當四邊形MABN的周長最小時，求n的值【意圖】本題綜合考查運用初中數學核心內容和重要的思想方法解決問題的能力【考點】拋物線的解析式求法，坐標的方法，直線與拋物線的交點問題，一元二次方程根與系數的關系等,坐標系中定值和最值問題第24題圖1【解析】(1)配方P（n，n）代入， 得n=(2)如圖1，設過（0，2）的直線為，設A()，B()聯立，消元得,要使AB為定長，則的值與n的取值無關，44k=0k=1存在直線y=x2，使AB為定長，且AB=第24題圖2(3)如圖2，易求M(3，0)，N(0，)，平移AB，使A點于M點重合，則B的對應點G剛好落在y軸上，因為AB=，所以G（0，

13、3）作點G關于直線y=x2的對稱點H(5，2)過G作GFy軸，交直線AB于F，連FH，所以FH=FG=5，又FGA=AFH=45°,連接NH交直線y=x2為點R（2，0）可證明當點B與R重合時，四邊形MABN的周長最小將 R（2，0）代入中，得（舍去）n=1 五、利用對稱求最值1如圖，AOB30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM1，ON3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是_2、已知拋物線的頂點為P，直線分別交x，y軸于點M，N（1）若點P在直線MN上，求n的值； （2）是否存在過（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點（A點在B點的下方），使AB為

14、定長，若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，當四邊形MABN的周長最小時，求n的值【意圖】本題綜合考查運用初中數學核心內容和重要的思想方法解決問題的能力【考點】拋物線的解析式求法，坐標的方法，直線與拋物線的交點問題，一元二次方程根與系數的關系等,坐標系中定值和最值問題第24題圖1【解析】(1)配方P（n，n）代入， 得n=(2)如圖1，設過（0，2）的直線為，設A()，B()聯立，消元得,要使AB為定長，則的值與n的取值無關，44k=0k=1存在直線y=x2，使AB為定長，且AB=(3)如圖2，易求M(3，0)，N(0，)，平移AB，使A點于M點重合，則B的對應點

15、G剛好落在y軸上，因為AB=，所以G（0，3）作點G關于直線y=x2的對稱點H(5，2)過G作GFy軸，交直線AB于F，連FH，所以FH=FG=5，又FGA=AFH=45°,連接NH交直線y=x2為點R（2，0）第24題圖2可證明當點B與R重合時，四邊形MABN的周長最小將 R（2，0）代入中，得（舍去）n=1 六、其他類最值1、如圖，在ABC中，C90°，點D是BC邊上一動點，過點B作BEAD交AD的延長線于E若 AC6，BC8，則的最大值為( B ) ABCD提示：比值構造相似三角形，于是過E作EFBC于F，則有ACDEFD，而AC=6，所以只要EF最大就比值最大，當E

16、在以AB為直徑的半圓弧中點時，EF最大是22如圖，在O中，BC是弦，AD過圓心O，ADBCE是O上一點F是AE延長線上一點，EF=AE若AD=9，BC=6設線段CF長度的最小值和最大值分別為m，n，則mn=( )A100 B90 C80 D703如圖，O的半徑為2，弦AB的長為，點P為優(yōu)弧AB上一動點，ACAP交直線PB于點C，則ABC的面積的最大值是（ B ）ABCD4、ABC中BC=，BAC=600，D為BC的中點，E為AD的中點，延長CE交AB于P,則的最大值為過D作DHCP交AB于H，則有BH=HP=AP，當BC邊上的高最大時，此時在優(yōu)弧BC中點，其值為9，P到BD的高也最大，此時為6，故SPBD最大值為反比例函數問題：1、如圖，矩形OABC的邊OA在x軸上，雙曲線與BC交于點D，與AB交于點E，矩形