動能定理及其應(yīng)用習(xí)題解

1、第10章 動能定理及其應(yīng)用101 計算圖示各系統(tǒng)的動能：1質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓盤在其自身平面內(nèi)作平面運動。在圖示位置時，若已知圓盤上A、B兩點的速度方向如圖示，B點的速度為vB，q = 45º（圖a）。2圖示質(zhì)量為m1的均質(zhì)桿OA，一端鉸接在質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤中心，另一端放在水平面上，圓盤在地面上作純滾動，圓心速度為v（圖b）。(a)vOwA習(xí)題101圖(b)(c)A3質(zhì)量為m的均質(zhì)細圓環(huán)半徑為R，其上固結(jié)一個質(zhì)量也為m的質(zhì)點A。細圓環(huán)在水平面上作純滾動，圖示瞬時角速度為w（圖c）。解：123習(xí)題102圖(a)102 圖示滑塊A重力為，可在滑道內(nèi)滑動，與滑塊A用鉸鏈連接的是重

2、力為、長為l的勻質(zhì)桿AB?，F(xiàn)已知道滑塊沿滑道的速度為，桿AB的角速度為。當(dāng)桿與鉛垂線的夾角為時，試求系統(tǒng)的動能。解：圖（a） 習(xí)題103圖(a)103 重力為、半徑為的齒輪II與半徑為的固定內(nèi)齒輪I相嚙合。齒輪II通過勻質(zhì)的曲柄OC帶動而運動。曲柄的重力為，角速度為，齒輪可視為勻質(zhì)圓盤。試求行星齒輪機構(gòu)的動能。解：104 圖示一重物A質(zhì)量為m1，當(dāng)其下降時，借一無重且不可伸長的繩索使?jié)L子C沿水平軌道滾動而不滑動。繩索跨過一不計質(zhì)量的定滑輪D并繞在滑輪B上?；咮的半徑為R，與半徑為r的滾子C固結(jié)，兩者總質(zhì)量為m2，其對O軸的回轉(zhuǎn)半徑為。試求重物A的加速度。習(xí)題104圖解： 將滾子C、滑輪D、物

3、塊A所組成的剛體系統(tǒng)作為研究對象，系統(tǒng)具有理想約束，由動能定理建立系統(tǒng)的運動與主動力之間的關(guān)系。設(shè)系統(tǒng)在物塊下降任意距離s時的動能動能：其中，力作的功：應(yīng)用動能定理：將上式對時間求導(dǎo)數(shù)：求得物塊的加速度為：習(xí)題105圖O105 圖示機構(gòu)中，均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為2m，兩端分別與質(zhì)量均為m的滑塊鉸接，兩光滑直槽相互垂直。設(shè)彈簧剛度為k，且當(dāng) = 0時，彈簧為原長。若機構(gòu)在 = 60時無初速開始運動，試求當(dāng)桿AB處于水平位置時的角速度和角加速度。解：應(yīng)用動能定理建立系統(tǒng)的運動與主動力之間的關(guān)系。動能：其中：；外力的功：T = W ； （1）當(dāng)時：；對式（1）求導(dǎo)：；其中：；當(dāng)時：習(xí)題106圖10

4、6 圖a與圖b分別為圓盤與圓環(huán)，二者質(zhì)量均為m，半徑均為r，均置于距地面為h的斜面上，斜面傾角為q，盤與環(huán)都從時間開始，在斜面上作純滾動。分析圓盤與圓環(huán)哪一個先到達地面？解：對圖（a）應(yīng)用動能定理：；求導(dǎo)后有設(shè)圓盤與圓環(huán)到達地面時質(zhì)心走過距離d，則； 對圖（b）應(yīng)用動能定理：；求導(dǎo)后有；習(xí)題107圖因為t1 < t2，所以圓盤（a）先到達地面。 107 兩勻質(zhì)桿AC和BC質(zhì)量均為m，長度均為l，在C點由光滑鉸鏈相連接，A、B端放置在光滑水平面上，如圖所示。桿系在鉛垂面內(nèi)的圖示位置由靜止開始運動，試求鉸鏈C落到地面時的速度。解：設(shè)鉸鏈C剛與地面相碰時速度。根據(jù)運動學(xué)分析點及點分別為及桿的速

5、度瞬心，如圖（a）(a)動能定理：習(xí)題108圖108 質(zhì)量為15kg的細桿可繞軸轉(zhuǎn)動，桿端A連接剛度系數(shù)為k=50N/m的彈簧。彈簧另一端固結(jié)于B點，彈簧原長1.5m。試求桿從水平位置以初角速度=0.1rad/s落到圖示位置時的角速度。解：， (a) rad/s習(xí)題109圖109 在圖示機構(gòu)中，已知：均質(zhì)圓盤的質(zhì)量為m 、半徑為r，可沿水平面作純滾動。剛性系數(shù)為k的彈簧一端固定于B，另一端與圓盤中心O相連。運動開始時，彈簧處于原長，此時圓盤角速度為w，試求：（1）圓盤向右運動到達最右位置時，彈簧的伸長量；（2）圓盤到達最右位置時的角加速度a及圓盤與水平面間的摩擦力。解：（1）設(shè)圓盤到達最右位置

6、時，彈簧的伸長量為d，則；OFOFAFN（a）amg；（2）如圖（a）：；習(xí)題1010圖1010 在圖示機構(gòu)中，鼓輪B質(zhì)量為m，內(nèi)、外半徑分別為r和R，對轉(zhuǎn)軸O的回轉(zhuǎn)半徑為，其上繞有細繩，一端吊一質(zhì)量為m的物塊A，另一端與質(zhì)量為M、半徑為r的均質(zhì)圓輪C相連，斜面傾角為j，繩的傾斜段與斜面平行。試求：（1）鼓輪的角加速度a；（2）斜面的摩擦力及連接物塊A的繩子的張力（表示為a的函數(shù)）。解：（1）應(yīng)用動能定理：T = W其中：；CFCFFN（a）aMgmgFT（b）aA設(shè)物塊A上升距離sA時：對動能定理的表達式求導(dǎo)：（2）如圖（a）：；如圖（b）：；1011 勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為、半徑為r，圓盤與處于

7、水平位置的彈簧一端鉸接且可繞固定軸O轉(zhuǎn)動，以起吊重物A，如圖所示。若重物A的質(zhì)量為；彈簧剛度系數(shù)為k。試求系統(tǒng)的固有頻率。解：設(shè)彈簧上OB位于鉛垂位置時為原長，則動能習(xí)題1011圖 ：(a) 1012 圖示圓盤質(zhì)量為m、半徑為r，在中心處與兩根水平放置的彈簧固結(jié)，且在平面上作無滑動滾動。彈簧剛度系數(shù)均為。試求系統(tǒng)作微振動的固有頻率。解：設(shè)靜止時彈簧的原長，則習(xí)題1012圖動能彈力功： ： 習(xí)題1013圖1013 測量機器功率的功率計，由膠帶ACDB和一杠桿BOF組成，如圖所示。膠帶具有鉛垂的兩段AC和DB，并套住受試驗機器和滑輪E的下半部，杠桿則以刀口擱在支點O上，借升高或降低支點，可以變更膠

8、帶的拉力，同時變更膠帶與滑輪間的摩擦力。在處掛一重錘，杠桿即可處于水平平衡位置。若用來平衡膠帶拉力的重錘的質(zhì)量m=3kg，500mm，試求發(fā)動機的轉(zhuǎn)速n=240r/min時發(fā)動機的功率。解：設(shè)發(fā)動機的角速度為。則（rad/s）(a)又 ，發(fā)動機作等速轉(zhuǎn)動?；咵的角加速度。滑輪E受力分析如圖（a）。由 得 （1）取杠桿為研究對象，受力如圖（b）。(b)由 得 （2）且 ， （3）綜合（1）、（2）、（3）可得： 發(fā)動機的功率=0.369(kW)1014 在圖示機構(gòu)中，物體A質(zhì)量為m1，放在光滑水平面上。均質(zhì)圓盤C、B質(zhì)量均為m，半徑均為R，物塊D質(zhì)量為m2。不計繩的質(zhì)量，設(shè)繩與滑輪之間無相對滑

9、動，繩的AE段與水平面平行，系統(tǒng)由靜止開始釋放。試求物體D的加速度以及BC段繩的張力。解：（1）設(shè)物塊D習(xí)題1014圖下降距離s時，速度為vD，則系統(tǒng)動能為：其中：；重力的功為：；應(yīng)用動能定理并求導(dǎo)：C（a）m2gmgFBCaDDFTO（2）如圖（a），應(yīng)用相對速度瞬心的動量矩定理：；其中：1015 圖示機構(gòu)中，物塊A、B質(zhì)量均為m，均質(zhì)圓盤C、D質(zhì)量均為2m，半徑均為R。C輪鉸接于長為3R的無重懸臂梁CK上，D為動滑輪，繩與輪之間無相對滑動。系統(tǒng)由靜止開始運動，試求（1）物塊A上升的加速度；（2）HE段繩的張力；（3）固定端K處的約束力。解：（1）設(shè)物塊A上升距離s時，速度為vA，則系統(tǒng)動能為：習(xí)題1015圖其中：；C（a）mg2mgFHEaADFC重力的功為：；應(yīng)用動能定理并求導(dǎo)：；（2）如圖（a），應(yīng)用動量矩定理：其中：C（b）MKFKxKFCFKy應(yīng)用動量定理：；（3）如圖（b），應(yīng)用平衡方程：；1016 兩個相同的滑輪，視為勻質(zhì)圓盤，質(zhì)量均為m，半徑均為R，用繩纏繞連接，如圖所示。如系統(tǒng)由靜止開始運動，試求動滑輪質(zhì)心C的速度v與下降距離h的關(guān)系，并確定AB段繩子的張力。習(xí)題1016圖解