幾何證明——線(xiàn)段和差模型(中級(jí))

1、幾何證明線(xiàn)段和差模型(中級(jí))【知識(shí)要點(diǎn)】在幾何證明中，我們經(jīng)常遇到要求證明兩條線(xiàn)段之和等于一條線(xiàn)段（），或者兩條線(xiàn)段之差等于一條線(xiàn)段（）。在處理這類(lèi)線(xiàn)段和差關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，我們常用“截長(zhǎng)”與“補(bǔ)短”的方法。截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線(xiàn)的添加方法，也是把幾何問(wèn)題化難為易的一種思想。截長(zhǎng)就是在一條線(xiàn)段上截取成兩段（一分為二），補(bǔ)短就是在一條邊上延長(zhǎng)，使其等于一條所求邊（合二為一）。截長(zhǎng)法：如果要證明線(xiàn)段等式，可以在長(zhǎng)的一條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段等于（或者），然后只需證明線(xiàn)段上去掉（或者）之后剩下的線(xiàn)段等于（或者）就行了。補(bǔ)短法：如果要證明線(xiàn)段等式，可以先將短的兩條線(xiàn)段和拼接在一起形成一條長(zhǎng)線(xiàn)

2、段，然后只需要證明就行了。截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法比較靈活，要根據(jù)具體的題目條件，作出相應(yīng)的輔助線(xiàn)。 對(duì)于一些經(jīng)典的截長(zhǎng)補(bǔ)短模型，希望同學(xué)們能記住并掌握其用法，以便在遇到類(lèi)似的幾何情境時(shí)能迅速作出反應(yīng)。【經(jīng)典例題】例1、（1）正方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，。求證：。（2）正方形中，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，。請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在又有什么數(shù)量關(guān)系？（3）正方形中，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，。請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在又有什么數(shù)量關(guān)系？例2、正三角形中，在上，在上。請(qǐng)問(wèn)有什么數(shù)量關(guān)系？例3、已知：平分，求證：。例4、正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于O，點(diǎn)E在BD上，AE平分DAC.求證：.例5、已知，如圖，在中，為上任一點(diǎn).求證：

3、。【提升訓(xùn)練】1、如圖，已知中，邊上的高為，求證：。2、已知：平分，求證：。3、已知，求證：。4、如圖，在中，是的平分線(xiàn)，且，求的度數(shù)。5、如圖，四邊形中，、分別平分、，且點(diǎn)在上。求證：。6、如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng)。7、如圖，在梯形中，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)。（1）求證：；（2）當(dāng)，且平分時(shí)，求的長(zhǎng)。 8、已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。9、己知，中，垂足為，是上任一點(diǎn)，垂足分別為.（1）求證： ；（2）若在延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：。 10、（1）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)。，且交正方形外角的平行線(xiàn)于點(diǎn)，求證：。（2）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上（除，外）的任意一點(diǎn)。，且交正方形外角的平行線(xiàn)于點(diǎn)，求證：。（3）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線(xiàn)上（除點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)。，且交正方形外角的平行線(xiàn)于點(diǎn)，求證：。11、在等邊的兩邊、所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)、，為外一點(diǎn)，且，。探究：當(dāng)、分別在直線(xiàn)、上移動(dòng)時(shí)，、之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的關(guān)系。（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)、邊、上，且時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系是_ ； 此時(shí) ； （2）如圖2，點(diǎn)、邊、上，且當(dāng)時(shí)，猜想