動(dòng)力學(xué)中臨界與極值問(wèn)題

1、動(dòng)力學(xué)中臨界與極值問(wèn)題一、分離問(wèn)題相互接觸的物體間可能存在彈力，在接觸面間彈力變?yōu)榱銜r(shí)，它們將要分離抓住相互接觸物體分離的這一條件，就可順利解答相關(guān)問(wèn)題.例1：一彈簧秤的秤盤(pán)質(zhì)量m1=15kg，盤(pán)內(nèi)放一質(zhì)量為m2=105kg的物體P，彈簧質(zhì)量不計(jì)，其勁度系數(shù)為k=800N/m，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖9所示?，F(xiàn)給P施加一個(gè)豎直向上的力F，使P從靜止開(kāi)始向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知在最初02s內(nèi)F是變化的，在02s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？思考：1 何時(shí)分離時(shí)？2分離時(shí)物體是否處于平衡態(tài)。彈簧是否處于原長(zhǎng)？3.如何求從開(kāi)始到分離的位移？4.盤(pán)對(duì)物體的支持力如何變化。練習(xí)1如圖332所

2、示，質(zhì)量都為m的A、B兩物體疊放在豎直彈簧上并保持靜止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，運(yùn)動(dòng)距離h時(shí)B與A分離則下列說(shuō)法中正確的是()AB和A剛分離時(shí)，彈簧為原長(zhǎng) BB和A剛分離時(shí)，它們的加速度為g C彈簧的勁度系數(shù)等于mg/h D在B與A分離之前，它們做勻加速運(yùn)動(dòng)2、如圖1所示，在傾角為的光滑斜面上端系有一勁度系數(shù)為k的彈簧，彈簧下端連一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球被一垂直斜面的擋板A擋住，此時(shí)彈簧沒(méi)有形變?nèi)魮醢錋以加速度a（a<gsin）沿斜面向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，求：（1）從擋板開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到小球與板分離所經(jīng)歷的時(shí)間；（2）從擋板開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到小球速度最大時(shí)，小球的位移3.如圖a所示，一輕質(zhì)彈簧的下

3、端固定在水平面上，上端放置一物體（物體與彈簧不連接）。初始時(shí)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)用豎直向上的拉力F作用物體上，使物體開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，拉力F與物體位移x的關(guān)系如圖b所示（g-10m/s2），則正確的結(jié)論是（ ）A物體與彈簧分離時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)B彈簧的勁度系數(shù)為7.5N/cmC物體的質(zhì)量為3kgD物體的加速度大小為5m/s2 4如圖所示，在光滑的水平面上放著緊靠在一起的A、B兩物體，B的質(zhì)量是A的2倍，B受到向右的恒力FB2 N，A受到的水平力FA(92t)N(t單位是s)從t0開(kāi)始計(jì)時(shí)，則 () AA物體在3 s末時(shí)刻的加速度是初始時(shí)刻的 倍Bt4 s后，B物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)Ct4.

4、5 s時(shí)，A物體的速度為零Dt4.5 s后，A、B的加速度方向相反5、在一正方形小盒內(nèi)裝一小圓球,盒與球一起沿傾角為的光滑斜面下滑,如圖所示. 若不計(jì)摩擦,當(dāng)角增大時(shí),下滑過(guò)程圓球?qū)Ψ胶星氨趬毫?及對(duì)方盒底面的壓力將如何變化 ( )A.N變小,N變小B.N變小,N為零C.N變小,N變大D.N不變,N變大二、相對(duì)滑動(dòng)問(wèn)題存在摩擦的物體產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是靜摩擦力取最大靜摩擦力，例2如圖所示，A、B兩物塊的質(zhì)量分別為2m和m，靜止疊放在水平地面上。 A、B 間 的動(dòng)摩擦因數(shù)為，B與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g?，F(xiàn)對(duì)A施加一水平拉力F，則A當(dāng)F < 2m

5、g 時(shí)，A、B 都相對(duì)地面靜止 B當(dāng)F =時(shí)，A的加速度為C當(dāng)F > 3 mg 時(shí)，A相對(duì)B滑動(dòng) D.無(wú)論F為何值，B的加速度不會(huì)超過(guò)6.如圖，在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長(zhǎng)的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等?，F(xiàn)給木塊施加一隨時(shí)間t增大的水平力F=kt（k是常數(shù)），木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2，下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是（ 7.如圖甲所示，在光滑水平面上疊放著A、B兩物體現(xiàn)對(duì)A施加水平向右的拉力F，通過(guò)傳感器可測(cè)得A的加速度a隨拉力F變化的關(guān)系如圖乙所示已知重力加速度g 10 m/s2，由圖線可知()A甲的質(zhì)量

6、mA2 kgB甲的質(zhì)量mA6 kgC甲、乙間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.2D甲、乙間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.68.如圖351所示，把長(zhǎng)方體切成質(zhì)量分別為m和M的兩部分，切面與底面的夾角為長(zhǎng)方體置于光滑的水平地面，設(shè)切面亦光滑，問(wèn)至少用多大的水平力推m，m才相對(duì)M滑動(dòng)?9.如圖所示，質(zhì)量為M，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板放在水平桌面上，木板右端放有一質(zhì)量為m長(zhǎng)度可忽略的小木塊，木塊與木板之間、木板與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為。開(kāi)始時(shí)木塊、木板均靜止，某時(shí)刻起給木板施加一大小為F方向水平向右的恒定拉力 ，若最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。 （1）要把長(zhǎng)木板從小木塊下拉出，拉力F應(yīng)滿足的條件；（2）若拉力F = 5(m + M

7、)g，求從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到木板從小木塊下拉出經(jīng)歷的時(shí)間。10.如圖337所示，在光滑水平面上疊放著A、B兩物體，已知mA6 kg、mB2 kg，A、B間動(dòng)摩擦因數(shù)0.2，在物體A上系一細(xì)線，細(xì)線所能承受的最大拉力是20 N，現(xiàn)水平向右拉細(xì)線，g取10 m/s2，則()A當(dāng)拉力F12 N時(shí)，A靜止不動(dòng)B當(dāng)拉力F12 N時(shí)，A相對(duì)B滑動(dòng)C當(dāng)拉力F16 N時(shí)，B受A的摩擦力等于4 ND無(wú)論拉力F多大，A相對(duì)B始終靜止11如圖所示，在光滑的桌面上疊放著一質(zhì)量為mA2.0kg的薄木板A和質(zhì)量為mB3kg的金屬塊B.A的長(zhǎng)度L2.0m.B上有輕線繞過(guò)定滑輪與質(zhì)量為mC1.0kg的物塊C相連B與A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)

8、0.10，最大靜摩擦力可視為等于滑動(dòng)摩擦力忽略滑輪質(zhì)量及與軸間的摩擦起始時(shí)令各物體都處于靜止?fàn)顟B(tài)，繩被拉直，B位于A的左端(如圖)，然后放手，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間B從A的右端脫離(設(shè)A的右端距離滑輪足夠遠(yuǎn)，取g10m/s2)12.質(zhì)量為m=1.0 kg的小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))放在質(zhì)量為m=3.0 kg的長(zhǎng)木板的右端,木板上表面光滑,木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為=0.2,木板長(zhǎng)L=1.0 m開(kāi)始時(shí)兩者都處于靜止?fàn)顟B(tài),現(xiàn)對(duì)木板施加水平向右的恒力F=12 N,如圖3-12所示,為使小滑塊不掉下木板,試求:(g取10 m/s2)圖3-12(1)水平恒力F作用的最長(zhǎng)時(shí)間;(2)水平恒力F做功的最大值.13.如圖

9、所示，一夾子夾住木塊，在力F作用下向上提升。夾子和木塊的質(zhì)量分別為m和M，夾子與木塊兩側(cè)間的最大靜摩擦力均為f。若木塊不滑動(dòng)，力F的最大值是A BC-(m+M)g D. +(m+M)g14.如圖347，質(zhì)量，mlkg的物塊放在傾角為的斜面上，斜面體質(zhì)量M=2kg，斜面與物塊的動(dòng)摩擦因數(shù)0.2，地面光滑，=37°，現(xiàn)對(duì)斜面體施一水平推力F，要使物體m相對(duì)斜面靜止，力F應(yīng)為多大?(設(shè)物體與斜面的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10ms2) 三、繩的臨界問(wèn)題：繩連接體臨界條件伸直與松馳臨界條件是張力為零，拉斷臨界條件是張力為最大等。例3、一個(gè)質(zhì)量為m的小球B，用兩根等長(zhǎng)的細(xì)繩1、2分別固定

10、在車(chē)廂的A、C兩點(diǎn)，已知兩繩拉直時(shí)，如圖所示，兩繩與車(chē)廂前壁的夾角均為45°.試求：(1)當(dāng)車(chē)以加速度a1g向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)1、2兩繩的拉力(2)當(dāng)車(chē)以加速度a22g向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，1、2兩繩的拉力15.如圖所示,傾角為的光滑斜面體上有一個(gè)小球m被平行于斜面的細(xì)繩系于斜面上,斜面體放在水平面上.(1)要使小球?qū)π泵鏌o(wú)壓力,求斜面體運(yùn)動(dòng)的加速度范圍,并說(shuō)明其方向.(2)要使小球?qū)?xì)繩無(wú)拉力,求斜面體運(yùn)動(dòng)的加速度范圍, 并說(shuō)明其方向.(3)若已知=60°,m=2 kg,當(dāng)斜面體以a=10 m/s2向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),繩對(duì)小球拉力多大?(g取10 m/s2)四、速度

11、最大和加速度最大的臨界條件：當(dāng)物體受到變化的外力作用而運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)合外力最大時(shí)加速度最大，當(dāng)加速度為零時(shí)，往往對(duì)應(yīng)速度最大或最小的臨界條件。例4.如圖所示，一輕彈簧豎直固定在水平地面上，彈簧正上方有一個(gè)小球自由下落。從小球 接觸彈簧上端O點(diǎn)到將彈簧壓縮到最短的過(guò)程中，小球的加速度a隨時(shí)間t或者隨距O 點(diǎn)的距離x變化的關(guān)系圖線是16如圖甲所示，靜止在水平地面的物塊A，受到水平向右的拉力F作用，F(xiàn)與時(shí)間t的關(guān)系如圖乙所示。設(shè)物塊與地面的靜摩擦力最大值f m與滑動(dòng)摩擦大小相等，則（ ）（A）0-t1時(shí)間內(nèi)物塊A的速度逐漸增大（B）t2時(shí)刻物塊A的加速度最大（C）t2時(shí)刻后物塊A做反向運(yùn)動(dòng)（D）t3時(shí)刻物塊A的速度最大（E）0t1時(shí)間內(nèi)F的功率逐漸增大五、數(shù)學(xué)表達(dá)式解得臨界條件例5、如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在水平桌面上，物體與桌面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為，對(duì)物體施加一個(gè)與水平方向成角的力F。（1）求物體在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)力F的取值范圍。（2）力F一定，角取什么值時(shí)，物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的加速度最大？（3）求物體在水平面上運(yùn)動(dòng)所獲得的最大加速度的數(shù)值。 17.（15分）如圖所示，一質(zhì)量