函數(shù)圖像切線問題VIP

1、函數(shù)圖像的切線問題要點(diǎn)梳理歸納1.求曲線yf(x)的切線方程的三種類型及其方法(1)已知切點(diǎn)P(x0，f(x0)，求yf(x)在點(diǎn)P處的切線方程：切線方程為 yf(x0)f(x0)(xx0).(2)已知切線的斜率為k，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，通過方程kf(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))A(s,t)，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)將切線方程表示為yf(x0)f(x0)(xx0)，再將A(s,t)代入求出x0.2兩個函數(shù)圖像的公切線函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x) 存在公切線，若切點(diǎn)為同一點(diǎn)P(x0，y0)

2、，則有 若切點(diǎn)分別為(x1,f(x1),(x2,g(x2),則有. 題型分類解析題型一 已知切線經(jīng)過的點(diǎn)求切線方程例1.求過點(diǎn)與已知曲線相切的切線方程.解：點(diǎn)不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，切線的斜率為，點(diǎn)在切線上，又，二者聯(lián)立可得相應(yīng)的斜率為或切線方程為或.例2. 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_解析：由切線過可得：，所以，另一方面，且，所以，從而切線方程為：例3. 已知直線與曲線切于點(diǎn)，則的值為_解析：代入可得：，所以有，解得題型二 已知切線方程（或斜率），求切點(diǎn)坐標(biāo)（或方程、參數(shù)）例4.已知函數(shù)，則：（1）在曲線上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線平

3、行（2）在曲線上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線垂直解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 由切線與平行可得： 切線方程為：（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo) ，直線的斜率為 而不在定義域中，舍去不存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線與直線垂直例5.函數(shù)上一點(diǎn)處的切線方程為，求的值思路：本題中求的值，考慮尋找兩個等量條件進(jìn)行求解，在直線上，即，得到的一個等量關(guān)系，在從切線斜率中得到的導(dǎo)數(shù)值，進(jìn)而得到的另一個等量關(guān)系，從而求出解：在上，又因為處的切線斜率為 , 例6.設(shè)函數(shù)，若曲線的斜率最小的切線與直線平行，求的值思路：切線斜率最小值即為導(dǎo)函數(shù)的最小值，已知直線的斜率為，進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)的最小值為，便可求出的值解： 直線的斜率為，依題意可得：

4、題型三 公切線問題例7.若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線和都相切,則等于() A.或 B. 或 C. 或 D. 或思路：本題兩條曲線上的切點(diǎn)均不知道，且曲線含有參數(shù)，所以考慮先從常系數(shù)的曲線入手求出切線方程，再考慮在利用切線與曲線求出的值.設(shè)過的直線與曲線切于點(diǎn) ,切線方程為，即，因為在切線上，所以解得：或，即切點(diǎn)坐標(biāo)為或.當(dāng)切點(diǎn)時，由與相切可得，同理，切點(diǎn)為解得答案：A小煉有話說：（1）涉及到多個函數(shù)公切線的問題時，這條切線是鏈接多個函數(shù)的橋梁.所以可以考慮先從常系數(shù)的函數(shù)入手，將切線求出來，再考慮切線與其他函數(shù)的關(guān)系（2）在利用切線與求的過程中，由于曲線為拋物線，所以并沒有利用導(dǎo)數(shù)的手段處

5、理，而是使用解析幾何的方法，切線即聯(lián)立方程后的來求解，減少了運(yùn)算量.通過例7，例8可以體會到導(dǎo)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系：一方面，求有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題時可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切線問題時，若曲線可寫成函數(shù)的形式，那么也可以用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行處理，（尤其是拋物線）例8.若曲線與曲線存在公切線，則的最值情況為（ ）A最大值為 B最大值為 C最小值為 D最小值為解析：設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，由可得：，所以有，所以，即，設(shè)，則.可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以 題型四 切線方程的應(yīng)用例9.已知直線與曲線有公共點(diǎn)，則的最大值為 .解：根據(jù)題意畫出右圖，由圖可知，當(dāng)直線和曲線相切時，取得最大

6、值.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則， ，切線方程為，原點(diǎn)在切線上， 斜率的最大值為.例10.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）A. B. C. D. 思路： 由圖像可得三角形的面積可用切線的橫縱截距計算，進(jìn)而先利用求出切線方程 所以切線方程為：即，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 例11.一點(diǎn)在曲線上移動，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路：傾斜角的正切值即為切線的斜率，進(jìn)而與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來.，對于曲線上任意一點(diǎn)，斜率的范圍即為導(dǎo)函數(shù)的值域：，所以傾斜角的范圍是.答案：B例12.已知函數(shù)，若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍思路：由于并不知道3條切線中是否存在以

7、為切點(diǎn)的切線，所以考慮先設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為，則滿足 ，所以切線方程為，即，代入化簡可得：，所以若存在3條切線，則等價于方程有三個解，即與有三個不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可解決解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，切線斜率為，則有： 切線方程為：因為切線過，所以將代入直線方程可得： 所以問題等價于方程，令即直線與有三個不同交點(diǎn)令解得 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 所以若有三個交點(diǎn)，則 所以當(dāng)時，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切例13. 已知曲線C:x2=y，P為曲線C上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，過P作斜率為k(k0)的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于M，過點(diǎn)Q且與PQ垂直的直線與C交于另一點(diǎn)N，問是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線MN與曲線C相切？若存在，

8、求出K的值，若不存在，說明理由.思路：本題描述的過程較多，可以一步步的拆解分析.點(diǎn)，則可求出，從而與拋物線方程聯(lián)立可解得，以及點(diǎn)坐標(biāo)，從而可寫出的方程，再與拋物線聯(lián)立得到點(diǎn)坐標(biāo).如果從坐標(biāo)入手得到方程，再根據(jù)相切求，方法可以但計算量較大.此時可以著眼于為切點(diǎn)，考慮拋物線本身也可視為函數(shù)，從而可以為入手點(diǎn)先求出切線，再利用切線過代入點(diǎn)坐標(biāo)求，計算量會相對小些.解：由在拋物線上，且的橫坐標(biāo)為1可解得 設(shè)化簡可得： 消去： 設(shè)直線即 聯(lián)立方程： 由可得： 切線的斜率 代入得：, 小煉有話說：（1）如果曲線的方程可以視為一個函數(shù)（比如開口向上或向下的拋物線，橢圓雙曲線的一部分），則處理切線問題時可以考

9、慮使用導(dǎo)數(shù)的方法，在計算量上有時要比聯(lián)立方程計算簡便（2）本題在求點(diǎn)坐標(biāo)時，并沒有對方程進(jìn)行因式分解，而是利用韋達(dá)定理，已知的橫坐標(biāo)求出的橫坐標(biāo).這種利用韋達(dá)定理求點(diǎn)坐標(biāo)的方法在解析幾何中常解決已知一交點(diǎn)求另一交點(diǎn)的問題.例14.設(shè)函數(shù)f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a、b為常數(shù)，已知曲線yf(x)與yg(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線l.(1)求a、b的值，并寫出切線l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三個互不相同的實(shí)根0、x1、x2，其中x1<x2，且對任意的xx1，x2，f(x)g(x)<m(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】 (1

10、)f(x)3x24axb，g(x)2x3.由于曲線yf(x)與yg(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線，故有f(2)g(2)0，f(2)g(2)1.由此得解得所以a2，b5，切線l的方程為xy20.(2)由(1)得f(x)x34x25x2，所以f(x)g(x)x33x22x.依題意，方程x(x23x2m)0有三個互不相同的實(shí)根0、x1、x2，故x1、x2是方程x23x2m0的兩相異的實(shí)根所以94(2m)>0，即m>.又對任意的xx1，x2，f(x)g(x)<m(x1)恒成立特別地，取xx1時，f(x1)g(x1)mx1<m成立，得m<0.由韋達(dá)定理，可得x1x23&

11、gt;0，x1x22m>0，故0<x1<x2.對任意的xx1，x2，有xx20，xx10，x>0，則f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，所以函數(shù)f(x)g(x)mx在xx1，x2的最大值為0.于是當(dāng)<m<0時，對任意的xx1，x2，f(x)g(x)<m(x1)恒成立綜上，m的取值范圍是.例15.如圖31，有一正方形鋼板ABCD缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線OC是以直線AD為對稱軸，以線段AD的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線的一部分工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個直角梯形若正方形的邊長為2米，問如何畫

12、切割線EF，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值解法一：以O(shè)為原點(diǎn)，直線AD為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意，可設(shè)拋物線弧OC的方程為yax2(0x2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,1)，22a1，a，故邊緣線OC的方程為yx2(0x2)，要使梯形ABEF的面積最大，則EF所在的直線必與拋物線弧OC相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(0<t<2)，yx，直線EF的方程可表示為yt2(xt)，即ytxt2.由此可求得E，F(xiàn).|AF|1t2，|BE|t2t1.設(shè)梯形ABEF的面積為S(t)，則S(t)(t1)2，當(dāng)t1時，S(t)，故S(t)的最大值為2.5，此時|AF|0.75，|BE|1.75.答：當(dāng)AF0.75 m，BE1.75 m時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為2.5 m2.解法二：以A為原點(diǎn)，直線AD為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線的方程為yax21(0x2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)，22a12，a，故邊緣線OC的方程為yx21(0x2)要使梯形ABEF的面積最大，則EF所在的直線必與拋物線弧OC相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(0<t<2)，yx，直線EF的方程可表示為yt21t(xt)，即ytxt21，由此可求得E，F(xiàn).|AF|1t2，|BE|t2t1，設(shè)梯形ABEF的面積為