偏微分方程數(shù)值解法答案

1、1. 課本有證明2. 課本有說(shuō)明3. 課本有說(shuō)明4. Rit2法，設(shè)是u的n維子空間，是的一組基底，中的任一元素可表為，則是的二次函數(shù)，令，從而得到滿(mǎn)足，通過(guò)解線性方程組，求的，代入，從而得到近似解的過(guò)程稱(chēng)為Rit2法 簡(jiǎn)而言之，Rit2法：為得到偏微分方程的有窮維解，構(gòu)造了一個(gè)近似解，利用確定，求得近似解的過(guò)程Galerkin法：為求得形式的近似解，在系數(shù)使關(guān)于，滿(mǎn)足，對(duì)任意或（?。┑那闆r下確定，從而得到近似解的過(guò)程稱(chēng)Galerkin法為Rit2-Galerkin法方程：5. 有限元法：將偏微分方程轉(zhuǎn)化為變分形式，選定單元的形狀，對(duì)求解域作剖分，進(jìn)而構(gòu)造基函數(shù)或單元形狀函數(shù)，形成有限元空間，

2、將偏微分方程轉(zhuǎn)化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，給出偏微分方程近似解的過(guò)程稱(chēng)為有限元法。6. 解：對(duì)求解區(qū)間進(jìn)行網(wǎng)格剖分，節(jié)點(diǎn)得到相鄰節(jié)點(diǎn)之間的小區(qū)間，由節(jié)點(diǎn)上的一組值，按線性插值公式 確定試探空間，令把變到軸上的參考但愿0,1令則：，將帶入該函數(shù)得到：帶入可得 令其中從而得到的線性方程組！7.矩形剖分假定區(qū)域C1可以分割成為有限個(gè)互不重疊的矩形的和，且每個(gè)小矩形的邊和坐標(biāo)軸平行，任意兩個(gè)矩形或者不相交或者有公共的邊和公共的頂點(diǎn)，成如此的分割為矩形剖分基函數(shù)的取法其中是以為頂點(diǎn)的矩形單元 為的底和商的長(zhǎng)度。8. 何為三角剖分，基函數(shù)怎樣?。咳瞧史郑涸O(shè)G是多邊形域（否則可用多邊形域

3、逼近它），將G分割成有限個(gè)三角形之和，使不同三角形無(wú)重疊的內(nèi)部，且任一三角形的頂點(diǎn)不屬于其他三角形的內(nèi)部，這樣就把G分割成三角形網(wǎng)，稱(chēng)為G的三角剖分。基函數(shù)的取法：通過(guò)構(gòu)造Lagrange型插值公式可以得到基函數(shù)的取法。不妨以是一次多項(xiàng)式為例，得到，其中L1是相應(yīng)于節(jié)點(diǎn)1的基函數(shù)在上的限制（具體的過(guò)程，可參考課本：P57 P58）9.題，參考課后習(xí)題P92的第一題，具體過(guò)程可參考積分插值的推導(dǎo)過(guò)程10，11題不會(huì)。 在此將14題推導(dǎo)過(guò)程介紹如下：12. 對(duì)Possion方程，建立五點(diǎn)差分格式，并估計(jì)截?cái)嗾`差。取定沿x軸和y軸方向的步長(zhǎng)h1和h2，沿x,y方向分別用二階中心差商代替，則 （五點(diǎn)差

4、分格式）式中表示節(jié)點(diǎn)(i,j)上的網(wǎng)函數(shù)。令 利用Taylor展式有截?cái)嗾`差為13. 對(duì)possion方程建立，極坐標(biāo)形式的差分格式poission 方程的極坐標(biāo)形式為 - 其中 利用中心差商公式 - - 將 兩式代入式得 即poission 方程極坐標(biāo)形式的差分方程。14. 解：將按照Taylor在處展開(kāi)整理得到其截?cái)嗾`差為在Richardson格式（）中以代入，便得Du Fort Frankel格式： - - - 得 （省去了的商階無(wú)窮?。亩玫搅宋⒎址匠套筮叺恼`差同理可得微分方程右邊的誤差：從而得到 15.用Fourier方法討論向前差分格式的穩(wěn)定性。解：向前差分格式。以代入得消去則知

5、增長(zhǎng)因子由于在0，中分布稠密，(隨)為使?jié)M足von Neu-Mann條件，必須且只須網(wǎng)比所以向前差分格式的穩(wěn)定性條件是16. 用Fourier方法討論向后差分格式的穩(wěn)定性。解：對(duì)向后差分方程利用Fourier方法分析器穩(wěn)定性，整理得：。令，將代入得到：消去。則增長(zhǎng)因子為。所以向后差分方程是恒穩(wěn)定的。17. 用Fourier方法討論六點(diǎn)對(duì)稱(chēng)格式的穩(wěn)定性。解：六點(diǎn)對(duì)稱(chēng)方程的格式為。令代入得= 。消去得增長(zhǎng)因子為。所以六點(diǎn)對(duì)稱(chēng)格式是無(wú)條件恒定的。18.證明：利用Fourier方程將兩端同時(shí)做變換。得)消去exp(ixjh)得增長(zhǎng)因子為.即差分格式的充要條件是19.討論三維熱傳導(dǎo)方程向前差分格式的穩(wěn)定

6、性解：三位熱傳導(dǎo)方程為（向前差分格式）. 取通項(xiàng)代到上式消去公因子得。從而增長(zhǎng)因子為為使|=1+O()必須且只須。當(dāng)時(shí)三維熱傳導(dǎo)方程的向前差分格式穩(wěn)定。20. 討論三維熱傳導(dǎo)方程向前后分格式的穩(wěn)定性解：三維熱傳導(dǎo)方程的向后差分格式為：取通項(xiàng)=exp(i(+),=,=,=,帶入上式，消去共因子得：。恒成立所以 三維傳導(dǎo)方程向后差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。21三維傳導(dǎo)方程的PR格式為： = （1） = (2) = (3)(1)(2)(3)合稱(chēng)PR格式。22.將= = =將=exp帶入上式得= 對(duì)任何r01. 所以=絕對(duì)收斂。23解： (1) (2) (3) (4)(1)+(2) 得=+（3）+（4）得=+所以 其截?cái)嗾`差為 。24. 證