八年級數(shù)學(xué)競賽例題專題講解17等腰三角形的判定

1、專題17 等腰三角形的判定閱讀與思考在學(xué)習(xí)了等腰三角形性質(zhì)與判定后，我們可以對等腰三角形的判定、證明線段相等的方法作出歸納總結(jié)1等腰三角形的判定：從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等2證明線段相等的方法：當(dāng)所證的兩條線段位于兩個三角形，通過全等三角形證明；當(dāng)所證的兩條線段位于同一個三角形，通過等角對等邊證明；尋找某條線段，證明所證的兩條線段都與它相等善于發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，是解幾何題的一個常用技巧常見的構(gòu)造方法有：平分線+平行線、平分線+垂線、中線+垂線如圖所示：例題與求解【例1】如圖，在ABC中，AB=7，AC=1

2、1，點M是BC的中點，AD是BAC的平分線，MFAD，則CF的長為_ （全國初中數(shù)學(xué)競賽試題） 解題思路：角平分線+平行線易構(gòu)造等腰三角形，解題的關(guān)鍵是利用條件“中點M” A B D M F C 【例2】如圖，在ABC中，B=2C，則AC與2AB之間的關(guān)系是（ ） AAC2ABBAC2ABCAC2ABDAC2AB(山東省競賽試題) 解題思路：如何條件B=2C，如何得到2AB，這是解本題的關(guān)鍵 A B C 【例3】兩個全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD中點M，連結(jié)ME，MC，試判斷EMC的形狀，并說明理由（山東省中考試

3、題）解題思路：從ADEBAC出發(fā)，先確定ADB的形狀，為判斷EMC的形狀奠定基礎(chǔ) A B C M D E 【例4】如圖，已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF（天津市競賽試題）解題思路：只需證明FAE=AEF，利用中線倍長，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形E A B D C F 【例5】如圖，在等腰ABC中，AB=AC，A=200，在邊AB上取點D，使AD=BC，求BDC度數(shù)（“祖沖之杯”競賽試題）解題思路：由條件知底角為300，這些角并不是特殊角，但它們的差卻為600，600使我們聯(lián)想到等邊三角形，由此找到切入口如圖1，以BC為邊在

4、ABC內(nèi)作等邊BCO；如圖，以AC為邊作等邊ACE B C A D B C A D 圖1 O B C A D 圖2 E 能力訓(xùn)練A級1已知ABC為等腰三角形，由頂點A所引BC邊的高線恰等于BC邊長的一半，則BAC=_2如圖，在RtABC中，C=900，ABC=660，ABC以點C為中點旋轉(zhuǎn)到ABC的位置，頂點B在斜邊AB上，AC與AB相交于D，則BDC=_A C D B B A (第2題) A B C D E F (第3題) (第4題) 9 9 1 5 3如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，DEBC于E，EFAC于F，F(xiàn)DAB于D，則AD=_ （天津市競賽試題）4如圖，一個六邊形的六個內(nèi)角都是

5、1200，其連續(xù)四邊的長依次是1，9，9，5，那么這個六邊形的周長是_（“祖沖之杯”邀請賽試題）5如圖，ABC中，AB=AC，B=360，D、E是BC上兩點，使ADE=AED=2BAD，則圖中等腰三角形共有（ ）A3個B4個C5個D6個6若ABC的三邊長是，且滿足，則ABC（ ）A鈍角三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等邊三角形 （“希望杯”邀請賽試題）7等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（ ）A300B300或1500 C1200或1500 D300或1200或1500（“希望杯”邀請賽試題）8如圖，已知RtABC中，C=900，A=300，在直線BC或AC

6、上取一點P，使得PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有（ ）A2個 B4個 C6個 D8個 （江蘇省競賽試題）B C A B A C D E B C A D F G E 第5題圖 第8題圖 第9題圖9如圖在等腰RtABC中，ACB=900，D為BC中點，DEAB，垂足為E，過點B作BFAC交DE的延長線于點F，連接CF交AD于G 求證：ADCF； 連結(jié)AF，度判斷ACF的形狀，并說明理由10如圖，ABC中，ADBC于D，B=2C，求證：AB+BD=CD （天津市競賽試題）B A C D 11如圖，已知ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點，選擇一點D，使得CDE是等邊三角形，如果M是線段AD

7、的中點，N是線段BE的中點，求證：CMN是等邊三角形 （江蘇省競賽試題）A C E N M B D 12如圖1，RtABC中，ACB=900，CDAB，垂足為D，AF平分CAB，交CD于點E，交CB于點F A B D F E C 圖1 A B D F E C 圖2 A E D 求證：CE=CF； 將圖1中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使點E落在BC邊上，其他條件不變，如圖2所示，試猜想：BE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論 （山西省中考試題）B級1如圖，ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，則B：C的值=_ A B C D (第1題) (第2題) A B D E C 2如圖

8、，ABC的兩邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，若BAC+DAE=1500，則BAC的度數(shù)是_3在等邊ABC所在平面內(nèi)求一點P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點P有_個4如圖，在ABC中，ABC=600，ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD、CF于Q、S，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是（） A2 B3 C4D5 A B D C E F P Q S (第4題) A B C E D 第5題 A A1 N M A2 A3 (第6題) 5如圖，在五邊形ABCDE中，A=B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，則D=（ ） A300 B450

9、 C600 D67.50 （“希望杯”競賽試題）6如圖，MAN=160，A1點在AM上，在AN上取一點A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一點A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作為止，那么作出的最后一點是（ ） AA5 BA6 CA7 DA87若P為ABC所在平面內(nèi)一點，且APB=BPC=CPA=1200，則點P叫作ABC的費爾馬點，如圖1A B C P A C B B 圖1 圖2 若點P為銳角ABC的費爾馬點，且ABC=600，PA=3，PC=4，則PB的值為_如圖2，在銳角ABC外側(cè)作等邊ACB，連結(jié)BB求證：BB過ABC的費爾馬點P，且BB=PA+PB+PC （湖州市

10、中考試題）8如圖，ABC中，BAC=600，ACB=400，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別是BAC、ABC的角平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）A B P Q C 9如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，M是BC的中點，過M作MEAD交BA延長線于E，交AC于F，求證：BE=CF=(AB+AC) （重慶市競賽試題）A B D M C F E 10在等邊ABC的邊BC上任取一點D，作DAE=600，DE交C的外角平分線于E，那么ADE是什么三角形？證明你的結(jié)論 （學(xué)習(xí)報公開賽試題）11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C(4，4)作平行于軸的直線交AB于點D，CD=10求直線的解析式；求證：ABC是等腰直角三角形；將直線沿軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時，直線與，軸分別相交于點A、B，在直線CD上存在點P，使得ABP是等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo) （寧波市江東區(qū)模擬題）B A C O D y x 12如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，AOB為等腰直角三角形，A(4，4) 求B點坐標(biāo)； 如圖2，若C為軸正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角A