分數(shù)應用題之工程問題

1、第五講 分數(shù)應用題之工程問題工程問題，究其本質(zhì)是運用分數(shù)應用題的量率對應關(guān)系，即用對應分率表示工作總量與工作效率，這種方法可以稱作是一種“工程習慣”，這一類問題稱之為“工程問題”。有的情況下，工程問題并不表現(xiàn)為兩個工程隊在“修路筑橋、開挖河渠”，甚至會表現(xiàn)為“行程問題”、“經(jīng)濟價格問題”等等。我們可以這樣認為，工程問題不僅指一種題型，更是一種解題方法。教學目標1 回顧工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；2 精講工程問題的常見解題方法：一、 解題關(guān)鍵是把“一項工程”看成一個單位，抓住數(shù)量關(guān)系：工作效率×工作時間=工作總量，來解答。二、 要善于利用常見的數(shù)學思想方法，如假設法、轉(zhuǎn)化法、代換

2、法等。工作的先后順序可以改變（假設）；要善于抓住工作效率之間的關(guān)系，并適當將它轉(zhuǎn)化為工作時間和工作量之間的關(guān)系，這樣的轉(zhuǎn)化和代換，往往能化難為易。三、 一些稍復雜的分數(shù)應用題、流水行程問題，其實質(zhì)也是工程問題，要善于抓住問題的本質(zhì)特征，把它看作工程問題來解決。專題回顧【例1】 （小學數(shù)學冬令營競賽試題）一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成。甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務共用了16天。乙請假多少天? 【例2】 搬運一個倉庫的貨物，甲需10小時，乙需12小時，丙需15小時。有同樣的倉庫A和B ，甲在A倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫甲搬運，中途又轉(zhuǎn)

3、向幫乙搬運，最后同時搬完兩個倉庫的貨物。丙幫助甲、乙各搬運了幾小時？【例3】 （北京市第六屆“迎春杯”決賽試題）一項工程，甲單獨做要12小時完成，乙單獨做要18小時完成若甲先做1小時，然后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時，兩人如此交替工作，請問：完成任務時，共用了多少小時？ 專題精講一、 代換法關(guān)鍵是將單干與合作的實際情況，根據(jù)需要等量代換成新的條件?！纠?】 一池水，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿，乙、丙兩管同時開，4小時灌滿?，F(xiàn)在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時。乙單獨開幾小時可以灌滿？【例5】 【鋪墊】一項工程，甲獨做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。兩隊合做2天后由

4、乙隊獨做，還要幾天才能完成？【例6】 一項工程，甲先獨做2天，然后與乙合做7天，這樣才完成工程的一半。已知甲、乙工效的比是2：3。如果這項工程由乙單獨做需要多少天才能完成？二、 比例法通過比例關(guān)系，得到相關(guān)條件，是工程問題的一種常見方法?！纠?】 （奧數(shù)研究中心）打印一份書稿，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內(nèi)完成。甲、乙兩合做需幾天完成？【例8】 （第15屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽初賽）甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務甲車單獨清掃需10小時，乙車單獨清掃需15小時，兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲

5、車比乙車多清掃12千米問：東、西兩城相距多少千米？三、 方程法抓住等量關(guān)系解題?！纠?】 （小學數(shù)學奧林匹克決賽第9題）甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成。在晴天，一隊完成甲工作要12天，二隊完成乙工程要15天；在雨天，一隊的工作效率要下降40，二隊的工作效率要下降10。結(jié)果兩隊同時完成工作，問工作時間內(nèi)下了多少天雨？四、 列表法數(shù)據(jù)很多，可列表整理?！纠?0】 （奧數(shù)研究中心）放滿一個水池，如果同時打開1，2，3號閥門，則20分鐘可以完成；如果同時打開2，3，4閥門，則21分鐘可以完成；如果同時打開1，3，4號閥門，則28分鐘可以完成；如果同時打開1，2，4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如

6、果同時打開1，2，3，4號閥門，那么多少分可以完成？【例11】 （小學數(shù)學奧林匹克競賽）一項工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，現(xiàn)決定將工程承包給某一工程隊，確保工程要100天以內(nèi)完成，且支付的工程款盡量的少，那么應該將工程交給哪一個工程隊，支付的工程款是多少元？五、 工程法對于行程或者其它一些題，可以用工程習慣來解題?！纠?2】 小王和小李同時從兩地相向而行，小王走完全

7、程要60分鐘，小李走完全程要40分鐘。出發(fā)后5分，小李因忘帶東西而返回出發(fā)點，因取東西耽誤了5分鐘，小李再出發(fā)后多長時間兩人相遇？真題實戰(zhàn)1、（06年西城八中選拔考試真題）一份文件，如果甲抄10小時，乙抄10小時可以抄完；如果甲抄8小時，乙抄13小時也可以抄完。現(xiàn)在甲先抄2小時，剩下的甲乙合作，還需要幾小時才能完成？2、（04年人大附考試真題）我們規(guī)定兩人輪流做一個工程是指，第一個人先做一個小時，第二個人再做一個小時，然后再由第一個人做一個小時，然后又由第二個人做一個小時，如此反復，做完為止。如果甲、乙輪流做一個工程需要9.8小時，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要9.6小時，那乙單獨做這個工程需

8、要多少小時？3、抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天都能完成？4、有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天。如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？5、（小學數(shù)學奧林匹克）一件工程,甲隊獨做12天可以完成,甲隊做3天后乙隊做2天恰可完成一半,現(xiàn)在甲乙兩隊合做若干天后,由乙隊單獨完成,做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等,則共用多少天?數(shù)學語絮勤奮出天才法國數(shù)學家彭加勒，童年時由于患過

9、運動神經(jīng)系統(tǒng)的毛病，視力和書寫能力都受到很大的影響，但非凡的記憶力和高度集中的注意力卻彌補了他這方面的缺陷。彭加勒具有過目不忘的“照相機式”的記憶力，他對事物的記憶迅速、持久而準確。由于視力不好，上課時看不清黑板上的字，記筆記對于他來說是一件很不容易的事。彭加勒索性就不記筆記，上課時集中注意力全神貫注地聽講、記憶和思考。由于長期采取這種方式學習，彭加勒養(yǎng)成了在腦子中完成復雜計算的能力，他的許多論文就是采用這種方式構(gòu)思的。以這種獨特的方式，彭加勒闖進了數(shù)學大世界。19歲那年，彭加勒的數(shù)學才能已經(jīng)遠近聞名。這一年，彭加勒報名參加了巴黎綜合工科學校的入學考試。為了試探這位數(shù)學奇才的能力，主考官精心設

10、計了兩道難題。誰知道彭加勒竟然不費吹灰之力，輕而易舉地解答了出來，主考官們吃驚不已?？墒?，他的畫圖能力太差，在幾何畫圖的考試中他落下馬來。按學校的規(guī)定，彭加勒已與這所著名的高等學府無緣，但主考官認為他是一個難得的數(shù)學奇才。因此，在主考官的竭力推薦下，彭加勒被破格錄取了。在巴黎綜合工科學校學習兩年后，彭加勒又升入了高一級的礦業(yè)學院，準備畢業(yè)后當一名工程師。但是，數(shù)學深深吸引著彭加勒，他仍花許多時間和精力來研究各種各樣的數(shù)學問題。1878年，他向法蘭西科學院提交了一篇關(guān)于微分方程的論文，這篇論文被科學院的專家評定為優(yōu)秀論文。第二年，法蘭西科學院授予彭加勒數(shù)學博士學位。這一年，彭加勒25歲，33歲時他又當選為法蘭西科學院院士。彭加勒一生共發(fā)表過500多篇學術(shù)論文和30多卷著作，其內(nèi)容涉及數(shù)學、物理學、天文學和哲學等眾多學科。有趣的是，這樣