全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽試題及答案

1、2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽試 題一、選擇題（每小題5分，共30分）1、雙曲線的左、右準(zhǔn)線l1、l2將線段F1F2三等分（其中、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)），則該雙曲線的離心率等于（ ）A、 B、 C、 D、2、已知三次函數(shù)，), 命題：是上的單調(diào)函數(shù)；命題：的圖像與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)則是的（ ）. A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石頭、布”的游戲每一局甲、乙、丙同時(shí)出“剪刀、石頭、布”中的一種手勢(shì)，且是相互獨(dú)立的設(shè)在一局中甲贏的人數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的值為（ ）. A、 B、 C、 D、14、函數(shù)的最大

2、值為（ ）. A、 B、3 C、 D、 5、如圖，邊長為2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M、N分別是線段AC和BF上的點(diǎn)，且，則線段MN的長的取值范圍是（ ）. A、B、 C、 D、 6、設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列滿足：，若 ，則數(shù)列的公差為（ ）. A、 B、1 C、2 D、4二、填空題（每小題5分，共30分）7、已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 8、設(shè)平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量與相互垂直，且，則使得向量與互相垂直的所有實(shí)數(shù)之和為 9、記實(shí)數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 10、設(shè)為實(shí)數(shù)，定義為不小于的最小整數(shù)，例如，關(guān)于實(shí)數(shù)的方程的全部實(shí)根之和等于 11、已知，其中為整數(shù)，則

3、 12、已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,設(shè)S、A、B、C四點(diǎn)均在以O(shè)為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為 三、解答題（每小題20分，共80分）13、已知，若函數(shù)的最大值為，求的最小值14、已知函數(shù)在有最大值5，求實(shí)數(shù)的值 15、拋物線與過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)（I）求直線的斜率的取值范圍；(II) 求在線段上滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程16、已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，且對(duì)任何的正整數(shù)恒成立求證：當(dāng)取到最大值時(shí)，對(duì)任何正整數(shù)都有解 答1、B. 提示：由題意得，解得2、A3、C. 提示：, ,于是. 4、C. 解法一 的定義域?yàn)?，?/p>

4、，解得因?yàn)椋谑墙夥ǘ?的定義域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最大值 5、B. 提示：過點(diǎn)M作MH/BC交AB于H，則，又AM=FN，AC=FB， ，NH/AF，NHAB，MHAB，MHN=60°設(shè)AH=x(0x2)，則MH=x，所以. 因此6、D. 提示： 于是，解得7、 提示：因?yàn)椋忍?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即 8、1. 提示：由于=，即=0，所以由根與系數(shù)的關(guān)系知符合條件所有實(shí)數(shù)之和為19、150. 提示：記，. 設(shè)為的公比，則構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，于是即，解得或（舍去），故10、-4. 提示：設(shè)，則，于是原方程等價(jià)于，即，從而，即相應(yīng)的為于是所有實(shí)根之和為11、提示：由條件知，于是，故1

5、2、. 提示：如圖，因?yàn)镾A=SB=SC，所以S在平面ABC上的射影是ABC的外心，即AB的中點(diǎn)H，同理O點(diǎn)在平面ABC上的射影也是ABC的外心H，即在等邊SAB中，求OH的長，其中OA=OB=OS顯然， 13、令，則，所以. 當(dāng)時(shí)，有最大值，即所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，有最小值10 14、 令，則，從而令，由題意知在有最大值5.當(dāng)時(shí)，在時(shí)有最大值5，故符合條件； 當(dāng)時(shí)，矛盾！當(dāng)時(shí)，矛盾！綜上所述，所求的實(shí)數(shù) 15、（I）直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，消去得，即，由，解得或 （II）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則，. 又、都在直線上，所以有，由得，化簡得又因此，點(diǎn)在線段上，所以同號(hào)則. 因此 ， ， 由得代入得,即. 又因?yàn)榛颍缘娜≈捣秶乔?，因此點(diǎn)的軌跡方程是（且） 16、當(dāng)