全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽試題及答案

1、2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽試 題一、選擇題（每小題5分，共30分）1、雙曲線的左、右準線l1、l2將線段F1F2三等分（其中、分別為雙曲線的左、右焦點），則該雙曲線的離心率等于（ ）A、 B、 C、 D、2、已知三次函數(shù)，), 命題：是上的單調(diào)函數(shù)；命題：的圖像與軸恰有一個交點則是的（ ）. A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石頭、布”的游戲每一局甲、乙、丙同時出“剪刀、石頭、布”中的一種手勢，且是相互獨立的設(shè)在一局中甲贏的人數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學期望的值為（ ）. A、 B、 C、 D、14、函數(shù)的最大

2、值為（ ）. A、 B、3 C、 D、 5、如圖，邊長為2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M、N分別是線段AC和BF上的點，且，則線段MN的長的取值范圍是（ ）. A、B、 C、 D、 6、設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列滿足：，若 ，則數(shù)列的公差為（ ）. A、 B、1 C、2 D、4二、填空題（每小題5分，共30分）7、已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是 8、設(shè)平面內(nèi)的兩個非零向量與相互垂直，且，則使得向量與互相垂直的所有實數(shù)之和為 9、記實數(shù)等比數(shù)列的前項和為，若，則 10、設(shè)為實數(shù)，定義為不小于的最小整數(shù)，例如，關(guān)于實數(shù)的方程的全部實根之和等于 11、已知，其中為整數(shù)，則

3、 12、已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,設(shè)S、A、B、C四點均在以O(shè)為球心的某個球面上，則點O到平面ABC的距離為 三、解答題（每小題20分，共80分）13、已知，若函數(shù)的最大值為，求的最小值14、已知函數(shù)在有最大值5，求實數(shù)的值 15、拋物線與過點的直線交于、兩點（I）求直線的斜率的取值范圍；(II) 求在線段上滿足條件的點的軌跡方程16、已知為實數(shù)，數(shù)列的前項和為，滿足：，且對任何的正整數(shù)恒成立求證：當取到最大值時，對任何正整數(shù)都有解 答1、B. 提示：由題意得，解得2、A3、C. 提示：, ,于是. 4、C. 解法一 的定義域為，由

4、，解得因為，于是解法二 的定義域為，當且僅當，即時，取到最大值 5、B. 提示：過點M作MH/BC交AB于H，則，又AM=FN，AC=FB， ，NH/AF，NHAB，MHAB，MHN=60°設(shè)AH=x(0x2)，則MH=x，所以. 因此6、D. 提示： 于是，解得7、 提示：因為，等號成立當且僅當，即 8、1. 提示：由于=，即=0，所以由根與系數(shù)的關(guān)系知符合條件所有實數(shù)之和為19、150. 提示：記，. 設(shè)為的公比，則構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，于是即，解得或（舍去），故10、-4. 提示：設(shè)，則，于是原方程等價于，即，從而，即相應的為于是所有實根之和為11、提示：由條件知，于是，故1

5、2、. 提示：如圖，因為SA=SB=SC，所以S在平面ABC上的射影是ABC的外心，即AB的中點H，同理O點在平面ABC上的射影也是ABC的外心H，即在等邊SAB中，求OH的長，其中OA=OB=OS顯然， 13、令，則，所以. 當時，有最大值，即所以，等號當且僅當時成立，當時，有最小值10 14、 令，則，從而令，由題意知在有最大值5.當時，在時有最大值5，故符合條件； 當時，矛盾！當時，矛盾！綜上所述，所求的實數(shù) 15、（I）直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，消去得，即，由，解得或 （II）設(shè)點坐標為，點坐標為，點坐標為，則，. 又、都在直線上，所以有，由得，化簡得又因此，點在線段上，所以同號則. 因此 ， ， 由得代入得,即. 又因為或，所以的取值范圍是且，因此點的軌跡方程是（且） 16、當