全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題與答案1試2試

1、2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試卷（考試時(shí)間：上午8：009：40）一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1. 如圖，在正四棱錐PABCD中，APC=60°，則二面角APBC的平面角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 2. 設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式|2xa|+|3x2a|a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是（ ）A. B. C. D. 3，33. 將號(hào)碼分別為1、2、9的九個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同。甲從袋中摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為b。則使不等式a2b+10>0成立的事件發(fā)生的概率等于（ ）A

2、. B. C. D. 4. 設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則的值等于（ ）A. B. C. 1D. 15. 設(shè)圓O1和圓O2是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切，則圓P的圓心軌跡不可能是（ ）6. 已知A與B是集合1，2，3，100的兩個(gè)子集，滿足：A與B的元素個(gè)數(shù)相同，且為AB空集。若nA時(shí)總有2n+2B，則集合AB的元素個(gè)數(shù)最多為（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，有四個(gè)定點(diǎn)A(3，0)，B(1，1)，C(0，3)，D(1，3)及一個(gè)

3、動(dòng)點(diǎn)P，則|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值為_(kāi)。8. 在ABC和AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB=EF=1，BC=6，若，則與的夾角的余弦值等于_。9. 已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于_。10. 已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)。若a1=d，b1=d2，且是正整數(shù)，則q等于_。11. 已知函數(shù)，則f(x)的最小值為_(kāi)。12. 將2個(gè)a和2個(gè)b共4個(gè)字母填在如圖所示的16個(gè)小方格內(nèi)，每個(gè)小方格內(nèi)至多填1個(gè)字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法共有

4、_種（用數(shù)字作答）。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13. 設(shè)，求證：當(dāng)正整數(shù)n2時(shí)，an+1<an。14. 已知過(guò)點(diǎn)(0，1)的直線l與曲線C：交于兩個(gè)不同點(diǎn)M和N。求曲線C在點(diǎn)M、N處切線的交點(diǎn)軌跡。15. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都滿足f(x+2)=f(x)，求證：存在4個(gè)函數(shù)fi(x)(i=1，2，3，4)滿足：（1）對(duì)i=1，2，3，4，fi(x)是偶函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有fi(x+)=fi(x)；（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案一、選擇題

5、（本題滿分36分，每小題6分）1. 如圖，在正四棱錐PABCD中，APC=60°，則二面角APBC的平面角的余弦值為（ B ）A. B. C. D. 解：如圖，在側(cè)面PAB內(nèi)，作AMPB，垂足為M。連結(jié)CM、AC，則AMC為二面角APBC的平面角。不妨設(shè)AB=2，則，斜高為，故，由此得。在AMC中，由余弦定理得。2. 設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式|2xa|+|3x2a|a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是（ A ）A. B. C. D. 3，3解：令，則有，排除B、D。由對(duì)稱性排除C，從而只有A正確。一般地，對(duì)kR，令，則原不等式為，由此易知原不等式等價(jià)于，對(duì)任意的kR成立。由

6、于，所以，從而上述不等式等價(jià)于。3. 將號(hào)碼分別為1、2、9的九個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同。甲從袋中摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為b。則使不等式a2b+10>0成立的事件發(fā)生的概率等于（ D ）A. B. C. D. 解：甲、乙二人每人摸出一個(gè)小球都有9種不同的結(jié)果，故基本事件總數(shù)為92=81個(gè)。由不等式a2b+10>0得2b<a+10，于是，當(dāng)b=1、2、3、4、5時(shí)，每種情形a可取1、2、9中每一個(gè)值，使不等式成立，則共有9×5=45種；當(dāng)b=6時(shí)，a可取3、4、9中每一個(gè)值，有7種；當(dāng)b=7時(shí)，a可取

7、5、6、7、8、9中每一個(gè)值，有5種；當(dāng)b=8時(shí)，a可取7、8、9中每一個(gè)值，有3種；當(dāng)b=9時(shí)，a只能取9，有1種。于是，所求事件的概率為。4. 設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則的值等于（ C ）A. B. C. 1D. 1解：令c=，則對(duì)任意的xR，都有f(x)+f(xc)=2，于是取，c=，則對(duì)任意的xR，af(x)+bf(xc)=1，由此得。一般地，由題設(shè)可得，其中且，于是af(x)+bf(xc)=1可化為，即，所以。由已知條件，上式對(duì)任意xR恒成立，故必有，若b=0，則由(1)知a=0，顯然不滿足(3)

8、式，故b0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ)。當(dāng)c=2k時(shí)，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2k+(kZ)，cosc=1。由(1)、(3)知，所以。5. 設(shè)圓O1和圓O2是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切，則圓P的圓心軌跡不可能是（ A ）解：設(shè)圓O1和圓O2的半徑分別是r1、r2，|O1O2|=2c，則一般地，圓P的圓心軌跡是焦點(diǎn)為O1、O2，且離心率分別是和的圓錐曲線（當(dāng)r1=r2時(shí)，O1O2的中垂線是軌跡的一部份，當(dāng)c=0時(shí)，軌跡是兩個(gè)同心圓）。當(dāng)r1=r2且r1+r2<2c時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)B；當(dāng)0<2c<|r1r2|

9、時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)C；當(dāng)r1r2且r1+r2<2c時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)D。由于選項(xiàng)A中的橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)不重合，因此圓P的圓心軌跡不可能是選項(xiàng)A。6. 已知A與B是集合1，2，3，100的兩個(gè)子集，滿足：A與B的元素個(gè)數(shù)相同，且為AB空集。若nA時(shí)總有2n+2B，則集合AB的元素個(gè)數(shù)最多為（ B ）A. 62B. 66C. 68D. 74解：先證|AB|66，只須證|A|33，為此只須證若A是1，2，49的任一個(gè)34元子集，則必存在nA，使得2n+2B。證明如下：將1，2，49分成如下33個(gè)集合：1，4，3，8，5，12，23，48共12個(gè)；2，6，10，22，14，30，1

10、8，38共4個(gè)；25，27，29，49共13個(gè)；26，34，42，46共4個(gè)。由于A是1，2，49的34元子集，從而由抽屜原理可知上述33個(gè)集合中至少有一個(gè)2元集合中的數(shù)均屬于A，即存在nA，使得2n+2B。如取A=1，3，5，23，2，10，14，18，25，27，29，49，26，34，42，46，B=2n+2|nA，則A、B滿足題設(shè)且|AB|66。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，有四個(gè)定點(diǎn)A(3，0)，B(1，1)，C(0，3)，D(1，3)及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，則|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值為 。解：如圖，設(shè)AC與BD交于F點(diǎn)，則|PA|+|

11、PC|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|BD|=|FB|+|FD|，因此，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與F點(diǎn)重合時(shí)，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。8. 在ABC和AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB=EF=1，BC=6，若，則與的夾角的余弦值等于 。解：因?yàn)?，所以，即。因?yàn)?，所以，即。設(shè)與的夾角為，則有，即3cos=2，所以。9. 已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于 。解：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；

12、另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交線為弧EF且在過(guò)球心A的大圓上，因?yàn)?，AA1=1，則。同理，所以，故弧EF的長(zhǎng)為，而這樣的弧共有三條。在面BB1C1C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為B，半徑為，所以弧FG的長(zhǎng)為。這樣的弧也有三條。于是，所得的曲線長(zhǎng)為。10. 已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)。若a1=d，b1=d2，且是正整數(shù)，則q等于 。解：因?yàn)椋视梢阎獥l件知道：1+q+q2為，其中m為正整數(shù)。令，則。由于q是小于1的正有理數(shù)，所以

13、，即5m13且是某個(gè)有理數(shù)的平方，由此可知。11. 已知函數(shù)，則f(x)的最小值為 。解：實(shí)際上，設(shè)，則g(x)0，g(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且y=g(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)任意，存在，使g(x2)=g(x1)。于是，而f(x)在上是減函數(shù)，所以，即f(x)在上的最小值是。12. 將2個(gè)a和2個(gè)b共4個(gè)字母填在如圖所示的16個(gè)小方格內(nèi)，每個(gè)小方格內(nèi)至多填1個(gè)字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法共有 3960 種（用數(shù)字作答）。解：使2個(gè)a既不同行也不同列的填法有C42A42=72種，同樣，使2個(gè)b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72種，故由乘法原理，這樣的填

14、法共有722種，其中不符合要求的有兩種情況：2個(gè)a所在的方格內(nèi)都填有b的情況有72種；2個(gè)a所在的方格內(nèi)僅有1個(gè)方格內(nèi)填有b的情況有C161A92=16×72種。所以，符合題設(shè)條件的填法共有7227216×72=3960種。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13. 設(shè)，求證：當(dāng)正整數(shù)n2時(shí)，an+1<an。證明：由于，因此，于是，對(duì)任意的正整數(shù)n2，有，即an+1<an。14. 已知過(guò)點(diǎn)(0，1)的直線l與曲線C：交于兩個(gè)不同點(diǎn)M和N。求曲線C在點(diǎn)M、N處切線的交點(diǎn)軌跡。解：設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)，曲線C在點(diǎn)M、N處的切線分

15、別為l1、l2，其交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp，yp)。若直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1。由方程組，消去y，得，即(k1)x2+x1=0。由題意知，該方程在(0，+)上有兩個(gè)相異的實(shí)根x1、x2，故k1，且=1+4(k1)>0(1)，(2)，(3)，由此解得。對(duì)求導(dǎo)，得，則，于是直線l1的方程為，即，化簡(jiǎn)后得到直線l1的方程為(4)。同理可求得直線l2的方程為(5)。(4)(5)得，因?yàn)閤1x2，故有(6)。將(2)(3)兩式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得(7)，其中，代入(7)式得2yp=(32k)xp+2，而xp=2，得yp=42k。又由得，即點(diǎn)P的軌跡為(2，2)，(

16、2，2.5)兩點(diǎn)間的線段（不含端點(diǎn)）。15. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都滿足f(x+2)=f(x)，求證：存在4個(gè)函數(shù)fi(x)(i=1，2，3，4)滿足：（1）對(duì)i=1，2，3，4，fi(x)是偶函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有fi(x+)=fi(x)；（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。證明：記，則f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù)，對(duì)任意的xR，g(x+2)=g(x)，h(x+2)=h(x)。令，其中k為任意整數(shù)。容易驗(yàn)證fi(x)，i=1，2，3，4是偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR，fi(x+

17、)=fi(x)，i=1，2，3，4。下證對(duì)任意的xR，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，故?duì)任意的xR，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下證對(duì)任意的xR，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)x=k時(shí)，h(x)=h(k)=h(k2k)=h(k)=h(k)，所以h(x)=h(k)=0，而此時(shí)f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；當(dāng)時(shí)，故，又f4(x)sin2x=0，從而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是，對(duì)任意的xR，有f3(

18、x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。綜上所述，結(jié)論得證。2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試卷（考試時(shí)間：上午10：0012：00）一、（本題滿分50分）如圖，在銳角ABC中，AB<AC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過(guò)P作PEAC，垂足為E，做PFAB，垂足為F。O1、O2分別是BDF、CDE的外心。求證：O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是ABC的垂心。二、（本題滿分50分）如圖，在7×8的長(zhǎng)方形棋盤的每個(gè)小方格的中心點(diǎn)各放一個(gè)棋子。如果兩個(gè)棋子所在的小方格共邊或共頂點(diǎn)，那么稱這兩個(gè)棋子相連?，F(xiàn)從這56個(gè)棋子中取出一些，使得棋盤上剩下的棋子，沒(méi)有五

19、個(gè)在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連。問(wèn)最少取出多少個(gè)棋子才可能滿足要求？并說(shuō)明理由。三、（本題滿分50分）設(shè)集合P=1，2，3，4，5，對(duì)任意kP和正整數(shù)m，記f(m，k)=，其中a表示不大于a的最大整數(shù)。求證：對(duì)任意正整數(shù)n，存在kP和正整數(shù)m，使得f(m，k)=n。2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案一、（本題滿分50分）如圖，在銳角ABC中，AB<AC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過(guò)P作PEAC，垂足為E，作PFAB，垂足為F。O1、O2分別是BDF、CDE的外心。求證：O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是ABC的垂心。證明：連結(jié)BP、CP、O1O

20、2、EO2、EF、FO1。因?yàn)镻DBC，PFAB，故B、D、P、F四點(diǎn)共圓，且BP為該圓的直徑。又因?yàn)镺1是BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中點(diǎn)。同理可證C、D、P、E四點(diǎn)共圓，且O2是的CP中點(diǎn)。綜合以上知O1O2BC，所以PO2O1=PCB。因?yàn)锳F·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四點(diǎn)共圓。充分性：設(shè)P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以B、O1、P、E四點(diǎn)共線，C、O2、P、F四點(diǎn)共線，F(xiàn)O2O1=FCB=FEB=FEO1，故O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓。必要性：設(shè)O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓，故O1O2E+EFO1=180

21、76;。由于PO2O1=PCB=ACBACP，又因?yàn)镺2是直角CEP的斜邊中點(diǎn)，也就是CEP的外心，所以PO2E=2ACP。因?yàn)镺1是直角BFP的斜邊中點(diǎn)，也就是BFP的外心，從而PFO1=90°BFO1=90°ABP。因?yàn)锽、C、E、F四點(diǎn)共圓，所以AFE=ACB，PFE=90°ACB。于是，由O1O2E+EFO1=180°得(ACBACP)+2ACP+(90°ABP)+(90°ACB)=180°，即ABP=ACP。又因?yàn)锳B<AC，ADBC，故BD<CD。設(shè)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，則B'

22、;在線段DC上且B'D=BD。連結(jié)AB'、PB'。由對(duì)稱性，有AB'P=ABP，從而AB'P=ACP，所以A、P、B'、C四點(diǎn)共圓。由此可知PB'B=CAP=90°ACB。因?yàn)镻BC=PB'B，故PBC+ACB=(90°ACB)+ACB=90°，故直線BP和AC垂直。由題設(shè)P在邊BC的高上，所以P是ABC的垂心。二、（本題滿分50分）如圖，在7×8的長(zhǎng)方形棋盤的每個(gè)小方格的中心點(diǎn)各放一個(gè)棋子。如果兩個(gè)棋子所在的小方格共邊或共頂點(diǎn)，那么稱這兩個(gè)棋子相連?，F(xiàn)從這56個(gè)棋子中取出一些，使得棋盤上剩下的棋子，沒(méi)有五個(gè)在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連。問(wèn)最少取出多少個(gè)棋子才可能滿足要求？并說(shuō)明理由。解：最少要取出11個(gè)棋子，才可能滿足要求。其原因如下：如果一個(gè)方格在第i行第j列，則記這個(gè)方格為(i，j)。第一步證明若任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，即五個(gè)棋子在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連。用反證法。假設(shè)可取出10個(gè)棋子，使余下的棋子沒(méi)有一個(gè)五子連珠。如圖1，在每一行的前五格中必須各取出一個(gè)棋子，后三列的前五格中也必須各取出一個(gè)棋子。這樣，10個(gè)被取出的棋子不會(huì)分布在右下角的陰影部