自動控制原理：數(shù)學(xué)模型 PPT

目錄§2.0引言:關(guān)于數(shù)學(xué)模型§2.1線性系統(tǒng)的微分方程§2.2微分方程的線性化§2.3傳遞函數(shù)§2.4

方框圖§2.5信號流圖線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§2.0關(guān)于數(shù)學(xué)模型一、模型種類1、形象模型把一個問題（或整個事件）按照一定比例濃縮成一個直觀的、形象的數(shù)學(xué)符號表示。

研究某一問題時所建立的實(shí)驗(yàn)裝置。2、物理模型

如，一個簡諧振動系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫為數(shù)學(xué)模型的重要性：（1）數(shù)學(xué)模型是研究控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。（2）各種物理裝置的物理特性各不相同，但它們的數(shù)學(xué)模型卻是相同的。描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。3、數(shù)學(xué)模型

二、靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學(xué)模型1、靜態(tài)模型在變量的各階導(dǎo)數(shù)均為零的條件下，描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型。

其特點(diǎn)是：（1）數(shù)學(xué)方程為不含時間變量的代數(shù)方程。（2）描述了平衡態(tài)下各變量之間的對應(yīng)關(guān)系。（3）輸入輸出或中間量不隨時間變化。2、動態(tài)模型描述系統(tǒng)各變量以及變量的各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為動態(tài)數(shù)學(xué)模型。

其特點(diǎn)是：（1）數(shù)學(xué)方程為含時間變量的微分方程。（2）描述了非平衡態(tài)下各變量之間的對應(yīng)關(guān)系。（3）輸入輸出或中間量隨時間變化。

三、建立數(shù)學(xué)模型的方法1、解析法（機(jī)理分析法）指從控制元件或系統(tǒng)各變量之間所遵循的物理或化學(xué)的規(guī)律出發(fā)，列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、實(shí)驗(yàn)法（系統(tǒng)辨識法）指對實(shí)際控制系統(tǒng)或元件施加一定形式的輸入信號，通過取得系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性來建立數(shù)學(xué)模型。

（1）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個環(huán)節(jié)可考慮列寫一個方程；（2）根據(jù)各變量所遵循的基本定律或通過實(shí)驗(yàn)等方法得出的基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡化和線性化；（3）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導(dǎo)數(shù)的微分方程；（4）將輸出變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號左邊，將輸入變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號右邊，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。四、建立數(shù)學(xué)模型的步驟

§2.1線性系統(tǒng)的微分方程例1如圖所示，為RC無源網(wǎng)絡(luò)。試建立該網(wǎng)絡(luò)的微分方程解：電路理論知：

例2如圖所示，為RL無源網(wǎng)絡(luò)。試建立該網(wǎng)絡(luò)的微分方程解：電路理論知：

例2-1試列寫圖中所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸入為ui(t)，輸出為u0(t)。解:根據(jù)基爾霍夫定理，可列出以下式子：

令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2為時間常數(shù)，則得該網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是一個二階線性常微分方程。

——線性定常二階微分方程例3列寫RLC串聯(lián)電路的微分方程。解：設(shè)回路電流為，得：消去

例2-2圖為一彈簧阻尼系統(tǒng)，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動。試列寫外力F(t)與位移y(t)之間的微分方程。

k——彈簧系數(shù)

f——阻尼系數(shù)解：彈簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根據(jù)牛頓第二定律有：時間常數(shù)阻尼比放大系數(shù)

比較(9)、(16)兩式：（2）一類系統(tǒng)的研究結(jié)果可以推廣到另一類系統(tǒng)系統(tǒng)（相似性）（1）研究各類系統(tǒng)的動力學(xué)可通過研究其數(shù)學(xué)模型來開展；（3）從動力學(xué)上看：一類系統(tǒng)可以模仿另一類系統(tǒng)（仿真、模擬）

電磁力矩：—

安培定律電樞反電勢：—

楞次定律電樞回路：—

基爾霍夫力矩平衡：—

牛頓定律電機(jī)時間常數(shù)電機(jī)傳遞系數(shù)消去中間變量i,Mm,Eb

可得：例4電樞控制式直流電動機(jī)

例2-3電樞控制的它激直流電動機(jī)如圖所示，電樞輸入電壓ua(t)，電動機(jī)輸出轉(zhuǎn)角為

(t)。Ra、La、ia(t)分別為電樞電路的電阻、電感和電流，if為恒定激磁電流，eb為反電勢，f為電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)，G為電樞質(zhì)量，D為電樞直徑，ML為負(fù)載力矩。

解：電樞回路電壓平衡方程為

ce為電動機(jī)的反電勢系數(shù)

力矩平衡方程為式中

為電動機(jī)電樞的轉(zhuǎn)動慣量

為電動機(jī)的力矩系數(shù)

電磁轉(zhuǎn)距電機(jī)轉(zhuǎn)動力矩阻尼力矩負(fù)載力矩

整理得：—無量綱放大系數(shù)—電機(jī)轉(zhuǎn)速—時間常數(shù)—電磁時間常數(shù)—機(jī)電時間常數(shù)—電機(jī)傳遞系數(shù)

方程化簡為忽略黏性，在空載情況下方程化簡為

例2-4熱水電加熱系統(tǒng)，如圖所示，為減小周圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件是電動控溫開關(guān)。

根據(jù)能量守恒定律其中Qh—加熱器供給的熱量；C—貯槽水的熱容量；V—流出槽水的流量；H—水的比熱；R—熱阻；Ti—進(jìn)入槽水的溫度；T—槽內(nèi)水的溫度；Te—槽周圍空氣溫度。

Ql—隔熱壁逸散的熱量:QC—貯槽內(nèi)水吸收的熱量；Q0—熱水流出槽所帶走的熱量:Qi—冷水進(jìn)入槽帶入的熱量:

整理得：一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的微分方程為:或返回

§2.2微分方程的線性化

1、實(shí)際的物理系統(tǒng)和化學(xué)系統(tǒng)，嚴(yán)格地講，都是非線性系統(tǒng)。一、為什么要線性化

當(dāng)非線性因素對系統(tǒng)影響較小時，一般可直接將系統(tǒng)當(dāng)作線性系統(tǒng)處理。另外，如果系統(tǒng)的變量只發(fā)生微小的偏移，則可通過切線法進(jìn)行線性化，以求得其增量方程式。2、線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。

將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級數(shù)，忽略掉高階無窮小量及余項(xiàng)，得到近似的線性化方程，來替代原來的非線性函數(shù)。二、線性化條件1、實(shí)際控制系統(tǒng)工作在某平衡點(diǎn)（靜態(tài)工作點(diǎn)）附近。2、變量的變化是小范圍的。3、函數(shù)值與各階導(dǎo)數(shù)連續(xù)（至少在工作范圍內(nèi)如此），換句話說，特性曲線是光滑的。三、線性化的方法

設(shè)元件的輸出與輸入之間關(guān)系為x2=f(x1)，特性曲線如圖，元件的工作點(diǎn)為(x10，x20)。將非線性函數(shù)x2=f(x1)在工作點(diǎn)(x10，x20)附近展開成泰勒級數(shù)

當(dāng)為微小增量時，可以略去二階以上各項(xiàng)即略去增量符號△，便得函數(shù)x2=f(x1)在工作點(diǎn)(x10，x20)附近的線性化方程

對于有兩個自變量x1、x2的非線性函數(shù)y=f(x1，x2)在工作點(diǎn)(x10，x20，y0

)附近展開成泰勒級數(shù)

略去二階以上各項(xiàng)，并令得增量線性化方程

例1：液位系統(tǒng)的微分方程。Qi為進(jìn)水流量，出水流量為，α為常數(shù)。H為液位高度，A為水池截面積。解（1）建立原始方程：——非線性微分方程怎么來的？

（2）線性化處理：設(shè)Q0在工作點(diǎn)連續(xù)可導(dǎo)略去二階以上各項(xiàng)有：

（3）增量形式：略去增量符號△，得線性化方程

例2：鐵心線圈電路如圖（a）所示，其磁通與線圈中電流之間的關(guān)系如圖（b）所示,試建立電路的微分方程。解：設(shè)線圈原來工作在某一平衡狀態(tài)，（1）建立原始方程：非線性方程

（2）線性化處理：

略去二階以上各項(xiàng)有：