全國高中數(shù)學聯(lián)賽(吉林賽區(qū))預賽試卷

1、2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（吉林賽區(qū)）預賽試題一、選擇題1已知為內一點，若對任意，有則一定是（ ）A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D不能確定2已知，且對任意都有；則的值為（ ）A B C D3已知函數(shù),集合,集合,則在平面直角坐標系內集合所表示的區(qū)域的面積是 （ ）A. B. C. D.4.一個正六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這樣的兩個多面體的內切球的半徑之比是一個最簡分數(shù),那么積等于（ ）A3 B4 C6 D125設函數(shù)滿足下列條件：是定義在R上的奇函數(shù)；對任意的（其中常數(shù)），當時，有則下列不等式不一定成立的是 （ ）ABCD6.圓周上有10個等分點，

2、則以這10個等分點中的四個點為頂點的凸四邊形中，梯形所占的比為（ ）A B C D二、填空題1已知函數(shù)，則_2不等式對一切非零實數(shù)均成立,則實數(shù)的最大值是_3已知點列部分圖象如圖所示，則實數(shù)的值為_4若對恒成立，則常數(shù)的最小值為；對任意銳角，均有成立，則的最大值為5已知圓的半徑為1，半徑、夾角為，為常數(shù)，點C為圓上動點，若 ()，則的最大值為6.以下是面點師一個工作環(huán)節(jié)的數(shù)學模型：如圖，在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間對應的線段，對折后（坐標4所對應的點與原點重合）再均勻地拉成4個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標1、3變成2，原來的坐標2變成4，等等）.那么原閉區(qū)間

3、上（除兩個端點外）的點，在第次操作完成后（），恰好被拉到與4重合的點所對應的坐標為_24三、解答題1（1）設求證：（2）設求證：2已知數(shù)列記時，問是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由3如圖，四邊形的兩條對角線相交于點，的平分線交線段于，連接，作且為邊的中點，求證：4 在平面直角坐標系內，畫出同時滿足以下條件的所有矩形：（1）這些矩形的各邊均與兩坐標軸平行或重合；（2）這些矩形的所有頂點（重復的只計算一次）恰好為100個整點（橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點）問：最多能畫出多少個這樣的矩形，說明你的理由參考答案一、選擇題1A2B3C提示：由已知可得

4、M=（x,y)|f(x)+f(y)0=(x,y)|(x-2)2+(y-2)22,N=(x,y)|f(x)-f(y)0=(x,y)|(x-y)(x+y-4)0.則M N=作出其交集部分可得如圖所示，其面積為圓面積的一半，即為·（）2=，故應選C.4C提示：利用等體積法，可以求出，所以m·n等于65C6D 任選4點，共有個凸四邊形，其中梯形的兩條平行邊可以從5組平行于直徑的5條平行弦中選取，也可以5組從不平行于直徑的4條平行弦中選取，去除矩形，梯形共有60個，所以，梯形所占的比為二、填空題16 2。 3 4； 2 56.三、解答題1（1）設求證：（2）設求證：證明：（1） （2

5、）由（1）得類似的2已知數(shù)列記時，問是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由。解：當，即，所以，的等比數(shù)列?？梢?，若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)。3如圖，四邊形的兩條對角線相交于點，的平分線交線段于，連接，作且為邊的中點，求證：證明：平分 又 將代入，得 即 四點共圓. 得分別取的中點，連接則為平行四邊形.4 在平面直角坐標系內，畫出同時滿足以下條件的所有矩形：（1）這些矩形的各邊均與兩坐標軸平行或重合；（2）這些矩形的所有頂點（重復的只計算一次）恰好為100個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點）問：最多能畫出多少個這樣的矩形，說明你的理

6、由。證明：（1）先證明這樣的矩形不超過2025個。任取定100個整點。設為所取定的100個整點中的一個，我們稱以為一個頂點，另外三個也取自100個整點，且邊均與兩坐標軸平行或重合的矩形為“好的”。下證：至多有81個“好的”矩形。事實上，過作平行于兩坐標軸的直線，并設上有個點取自所取定的100個整點，上有個點取自所取定的100個整點，設點為所取定的100個整點中的一個，且不在和上，則至多有一個“好的”矩形以為其一個頂點，而這樣的點至多有個，且每一個“好的”矩形必有一個頂點為這樣的點，于是若,則“好的”矩形至多有個；若考慮點對，其中，可知每一對至多形成一個“好的”矩形，故“好的”矩形的個數(shù)個。綜上可知，對所取定的100個整點中的任意一點，以為其一個頂點的“好的”矩形至多8