第十講常微分方程

1、第十講 常微分方程一、 考試要求1、 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。 2、 掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的解法。會(huì)解伯努力方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：y(n)=f(x),y/=f(x,y/)和y/=f(y,y/).3、 掌握(會(huì)解)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。4、 理解(了解)線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 。5、 了解差分與差分方程及其通解

2、與特解等概念。 6、 掌握一階常系數(shù)線性差分方程的解法。 7、 會(huì)用微分方程和差分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。 8、 會(huì)解歐拉方程。9、 會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。 二、內(nèi)容提要 （一）、一階微分方程 1 可分離變量微分方程 或 直接積分： 2 齊次方程 , 3 一階線性微分方程 或 4 貝努里方程 , 5 全微分方程 6 可用簡(jiǎn)單變量代換求解的微分方程 （二）、可降階的高階微分方程 1 , 連續(xù)積分n次 2 , 3 , （三）、高階線性微分方程 1、 (1) (2) 解的性質(zhì)、結(jié)構(gòu) 2、常系數(shù)線性齊次方程 (1) 特征方程，特征根三種情況： (2) 3、二階常系數(shù)線性非齊次方程 (

3、1) , 特解： (2) , 特解： (3) , 特解：4、 歐拉方程 令 三、 典型題型與例題 題型一、一階微分方程的求解 解題步驟： 例1、 (98 1) 已知函數(shù)y=y(x)在任意點(diǎn)x處的增量, 且當(dāng)時(shí)，a是的高階無窮小量，, 則y(1)= . 例2、求。例3、求的通解。例4、（0734）微分方程滿足的特解為 解 當(dāng)x1時(shí)，由 可見 .若補(bǔ)充定義：，則得上的連續(xù)函數(shù) ，滿足題中所要求的全部條件.例5、 求微分方程的一個(gè)解y=y(x)，使得由曲線y=y(x)與直線x=1,x=2以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小.例6、解微分方程 ; 例7、; 例8、例9、 題型二、可降

4、階的高階微分方程例10、(001) 微分方程的通解為_,例11、 (99 1) 設(shè)函數(shù)y(x)(x0)二階可導(dǎo)且 過曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1, 區(qū)間0,x上以y=y(x)為曲線的曲邊梯形面積記為S2. 并設(shè),求此曲線的方程. 解 切線： , 與x軸交點(diǎn), 由題設(shè)Y(x)0. , 由 .例12、題型三、高階常系數(shù)線性微分方程的求解1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解2、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解方法：例13、例14、例15、例16、 (002選)具有特解的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是_, 例17、 設(shè)都是某

5、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解，則此二階常系數(shù)齊次線性微分方程為 .解在解中，故不是方程的獨(dú)立解，而常數(shù)，知1和是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 1，對(duì)應(yīng)特征根分別為0和1，對(duì)應(yīng)特征方程為，即，此特征方程對(duì)應(yīng)微分方程為例18、(綜合題) 設(shè)在(-1,+)上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足f(0)=1及 求,并證明：當(dāng)x0時(shí)，有 證 (1) (x-1) (2) 又令.題型四、 微分方程的應(yīng)用應(yīng)用題求解步驟：1） 幾何應(yīng)用例19、 設(shè)有一小山，其表面形如，z表示水平投影點(diǎn)(x,y)處對(duì)應(yīng)的山高. 今在小山丘上有一小石頭（看成一點(diǎn)），空間坐標(biāo)為(2,1,3)，求：1）在重力作用下，該石下落的曲線在xoy平面上的

6、投影曲線方程；2）該石下落的空間曲線方程.解 1）設(shè)該小石下落的曲線在xoy平面上的投影曲線方程為：y=y(x). 該投影曲線的切線方向向量為，則z沿著的方向?qū)?shù)為負(fù)值，且達(dá)最大. 即與gradz同向，而 ，于是即有 ，而 2）該石下落的空間曲線方程為 注：下落曲線沿梯度方向使z減少最快. 2） 物理上的應(yīng)用例20、當(dāng)冰雹由高空落下時(shí)，它除了受地球重力的作用之外，還受到空氣阻力的作用，阻力的大小與速度成正比，試求冰雹的下落速度和最大可能的速度.解 以y表示高度，表示下落的速度（），阻力為（k0），根據(jù)牛頓第二定律，有 令 ，則 ，解得，即 . 最大可能的速度為 （注意方向?。?） 積分方程的應(yīng)用例21、 已知函數(shù)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且滿足 ，(1)求f(x)的表達(dá)式; (2) 求極限 4） 其他應(yīng)用例22、 （變化率問題）一個(gè)半球狀雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S 成正比，比例系數(shù)K0. 假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀. 已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時(shí)內(nèi)融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時(shí)？解 設(shè)半球在融化過程中其半徑為r（r隨時(shí)間變化），體積為V,