隨機(jī)變量極其分布- 第二章

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布1 離散型分布的最可能值是否唯一離散型分布的最可能值指的是該隨機(jī)變量取值中那些使概率達(dá)到最大的值，即若任意一個(gè)離散型分布，若，則稱為此分布的最可能值。一般離散型分布的最可能值不唯一，比如：二項(xiàng)分布B（n,p）中，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，恰有兩個(gè)最可能值：與.如二項(xiàng)分布B（8，1/3）,其最可能值為k=2或3.可以證明，任何離散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一個(gè)。證明見(jiàn)王梓坤概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用 科學(xué)出版社）2 單調(diào)不降右連續(xù)是分布函數(shù)的必要條件分布函數(shù)一定是單調(diào)不降（右）連續(xù)的函數(shù)，反之命題不成立。例如，取，顯然是調(diào)調(diào)不降函數(shù)，且右連續(xù)，可是，所以不可能是某個(gè)隨機(jī)變量的分布

2、函數(shù)。因?yàn)橹挥挟?dāng)一個(gè)函數(shù)滿足單調(diào)不見(jiàn)，非負(fù)有界（，且右連續(xù)（或左連續(xù)）時(shí)，才能成為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。3 既非離散型又非連續(xù)型的分布函數(shù)是否存在如果一個(gè)分布函數(shù)是連續(xù)的，并且其導(dǎo)函數(shù)幾乎處處等于零（關(guān)于勒貝格測(cè)度而言），則稱為奇異型分布函數(shù)。如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是奇異型的，則稱X為奇異型隨機(jī)變量。任何一個(gè)奇異型的分布函數(shù)都是一個(gè)既非離散型又非連續(xù)型的分布函數(shù)。有沒(méi)有非奇異型的分布函數(shù)屬于既非離散型又非連續(xù)型的分布函數(shù)？有，請(qǐng)看下例：設(shè)，由分布函數(shù)的定義又知是分布函數(shù)，又，故不是奇異型的分布函數(shù)，與對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不是取有限個(gè)或可列多個(gè)值，故不是離散型的分布函數(shù)，又 故也不是連續(xù)的分布函數(shù)

3、。4 具有無(wú)記憶性的離散型分布是否存在設(shè)隨機(jī)變量X服從某個(gè)分布，若它滿足 則稱概分布具有無(wú)記憶性。對(duì)于連續(xù)型分布來(lái)說(shuō)，指數(shù)分布是唯一的具有無(wú)記憶性的。（證明可見(jiàn) 復(fù)旦大學(xué)概率論 人們教育出版社 P.125-126）在可靠性問(wèn)題中，把X理解為某元件的壽命，則無(wú)記憶性表示某元件的壽命如果已知大于5年，則其壽命再延長(zhǎng)七年的概率與年令無(wú)關(guān)。具有無(wú)記憶性的離散型分布也是存在且唯一的，那就是幾何分布 幾何分布是一種等待分布，例如,在事件A發(fā)生的概率為p的貝努里試驗(yàn)之中，A首次出現(xiàn)時(shí)的等待次數(shù)X的分布為幾何分布。5 不幾乎相等的隨機(jī)變量是否有相同的分布若兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y滿足,則稱X與Y幾乎相等?？梢宰C明：

4、幾乎相等的隨機(jī)變量具有相同的分布，反之都不成立。例如，設(shè)X與Y具有相同的分布 并設(shè)X與Y相互獨(dú)立，據(jù)此可算得，從而，即X與Y不幾乎相等。所以不幾乎相等得隨機(jī)變量可以有相同的分布。6 聯(lián)合分布與其邊緣分布未必是同類型分布我們知道二維正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布，多項(xiàng)分布的邊緣分布亦為多項(xiàng)分布。那么聯(lián)合分布與邊緣分布是否都是為同類型分布呢？答案是否定的。例如二維均勻分布的邊緣分布可以仍是均勻分布，也可以不是均勻分布。邊與坐標(biāo)軸平行的矩形域上的二維均勻分布的邊緣分布仍是均勻分布，而圓域上的二維均勻分布的邊緣分布不再是均勻分布。7 邊緣分布不能決定聯(lián)合分布一般邊緣分布由聯(lián)合分布所決定，反之不真。例如

5、：,則有, 反之，已知，卻得不出（X,Y）一定是二維正態(tài)分布的結(jié)論。若添加X(jué)與Y相互獨(dú)立的條件，則可得除連續(xù)型分布外，還可舉出離散型分布的例子。8 不同的聯(lián)合分布可具有相同的邊緣分布XY0100.150.1510.150.55如下二個(gè)相異的聯(lián)合分布：XY010010210205它們的邊緣分布完全相同 X01P0.30.7Y01P0.30.7由此可見(jiàn)邊緣分布由聯(lián)合分布唯一決定，反之不成立，除離散型分布外，還可舉出連續(xù)型分布的例子。9 正態(tài)邊緣分布可由非正態(tài)聯(lián)合分布導(dǎo)出正態(tài)分布具有許多好的性質(zhì)，其中之一是：二維正態(tài)分布的邊緣分布仍是正態(tài)分布。反之，兩邊緣分布都是正態(tài)分布，起聯(lián)合分布未必是正態(tài)分布，例如： 設(shè)則 即,顯然（X,Y）并不服從聯(lián)合正態(tài)分布。10. 均勻分布不具有可加性若獨(dú)立同分布的兩隨機(jī)變量之和仍服從原分布，則稱該分布具有可加性?？梢宰C明二項(xiàng)分布，泊松（Poisson）分布，正態(tài)分布均具有可加性，而均勻分布不具有這個(gè)性質(zhì)。設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且都服從（a,b）上的均勻分布，令Z=X+Y，則Z的密度函數(shù)為： 可見(jiàn)Z服從辛卜生（Simpson）分布，不再是均勻分布。11. 分布函數(shù)之和不是分布函數(shù) 設(shè)F(x),G(x)均為分布