離散型隨機(jī)變量的期望值和方差

1、12.2 離散型隨機(jī)變量的期望值和方差知識(shí)梳理1.期望：若離散型隨機(jī)變量，當(dāng)=xi的概率為P（=xi）=Pi（i=1，2，n，），則稱E=xi pi為的數(shù)學(xué)期望，反映了的平均值.2.方差：稱D=（xiE）2pi為隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了的離散程度.3.性質(zhì)：（1）E（a+b）=aE+b，D（a+b）=a2D（a、b為常數(shù)）.（2）若B（n，p），則E=np，D=npq（q=1p）.點(diǎn)擊雙基1.設(shè)投擲1顆骰子的點(diǎn)數(shù)為，則A.E=3.5，D=3.52B.E=3.5，D=C.E=3.5，D=3.5D.E=3.5，D=解析：可以取1，2，3，4，5，6.P（=1）=P（=2）=P（

2、=3）=P（=4）=P（=5）=P（=6）=，E=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5，D=（13.5）2+（23.5）2+（33.5）2+（43.5）2+（53.5）2+（63.5）2×=.答案：B，則下列結(jié)論正確的是A.E=0.1B.D=0.1C.P（=k）=0.01k·0.9910kD.P（=k）=C·0.99k·0.0110k解析：B（n，p），E=10×0.01=0.1.答案：A3.已知B（n，p），且E=7，D=6，則p等于A.B.C.D.解析：E=np=7，D=np

3、（1p）=6，所以p=.答案：A，則D等于 B.0.8 C解析：D=10×0.02×0.98=0.196.答案：C5.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量1、2，已知E1=E2，D1D2，則自動(dòng)包裝機(jī)_的質(zhì)量較好.解析：E1=E2說明甲、乙兩機(jī)包裝的重量的平均水平一樣.D1>D2說明甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定.乙機(jī)質(zhì)量好.答案：乙典例剖析【例1】 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，試求E、D.101P12qq2剖析：應(yīng)先按分布列的性質(zhì)，求出q的值后，再計(jì)算出E、D.解：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率非負(fù)且隨機(jī)變量取遍所有可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于1，所以 解得q

4、=1.于是，的分布列為101P1所以E=（1）×+0×（1）+1×（）=1，D=1（1）2×+（1）2×（1）+1（1）2×（）=1.評(píng)述：解答本題時(shí)，應(yīng)防止機(jī)械地套用期望和方差的計(jì)算公式，出現(xiàn)以下誤解：E=（1）×+0×（12q）+1×q2=q2.拓展提高既要會(huì)由分布列求E、D，也要會(huì)由E、D求分布列，進(jìn)行逆向思維.如：若是離散型隨機(jī)變量，P（=x1）=，P（=x2）=，且x1<x2，又知E=，D=.求的分布列.解：依題意只取2個(gè)值x1與x2，于是有E=x1+x2=，D=x12+x22E2=.從而

5、得方程組解之得或而x1<x2，x1=1，x2=2.的分布列為12P【例2】 人壽保險(xiǎn)中（某一年齡段），在一年的保險(xiǎn)期內(nèi)，每個(gè)被保險(xiǎn)人需交納保費(fèi)a元，被保險(xiǎn)人意外死亡則保險(xiǎn)公司賠付3萬元，出現(xiàn)非意外死亡則賠付1萬元.經(jīng)統(tǒng)計(jì)此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率為p2，則a需滿足什么條件，保險(xiǎn)公司才可能盈利?剖析：要使保險(xiǎn)公司能盈利，需盈利數(shù)的期望值大于0，故需求E.解：設(shè)為盈利數(shù)，其概率分布為aa30000a10000P1p1p2p1p2且E=a（1p1p2）+（a30000）p1+（a10000）p2=a30000p110000p2.要盈利，至少需使的數(shù)學(xué)期望大于零，故a3

6、0000p1+10000p2.評(píng)述：離散型隨機(jī)變量的期望表征了隨機(jī)變量取值的平均值.思考討論本題中D有什么實(shí)際意義?【例3】 把4個(gè)球隨機(jī)地投入4個(gè)盒子中去，設(shè)表示空盒子的個(gè)數(shù)，求E、D.剖析：每個(gè)球投入到每個(gè)盒子的可能性是相等的.總的投球方法數(shù)為44，空盒子的個(gè)數(shù)可能為0個(gè)，此時(shí)投球方法數(shù)為A=4!，P（=0）=；空盒子的個(gè)數(shù)為1時(shí)，此時(shí)投球方法數(shù)為CCA，P（=1）=.同樣可分析P（=2），P（=3）.解：的所有可能取值為0，1，2，3.P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=.的分布列為0123PE=，D=.評(píng)述：本題的關(guān)鍵是正確理解的意義，寫出的分布列.特別提示求投球的方

7、法數(shù)時(shí)，要把每個(gè)球看成不一樣的.=2時(shí)，此時(shí)有兩種情況：有2個(gè)空盒子，每個(gè)盒子投2個(gè)球；1個(gè)盒子投3個(gè)球，另1個(gè)盒子投1個(gè)球.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.設(shè)服從二項(xiàng)分布B（n，p）的隨機(jī)變量n、p的值為A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.1解析：由E=2.4=np，D=1.44=np（1p），可得1p=0.6，p=0.4，n=6.答案：B2.一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)目的期望為B.3.376解析：=0，1，2，3，此時(shí)P（=0）=0.43，P（=1）=0.6×0.42，P（=2

8、）=0.6×0.4，P（=3）=0.6，E=2.376.答案：C3.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p=_時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為_.解析：D=npqn（）2=，等號(hào)在p=q=時(shí)成立，此時(shí)，D=25，=5.答案： 54.甲從學(xué)校乘車回家，途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各交通崗遇紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，則甲回家途中遇紅燈次數(shù)的期望為_.解析：設(shè)甲在途中遇紅燈次數(shù)為，則B（3，），所以E=3×=1.2.答案：1.2解：設(shè)學(xué)生甲答對(duì)題數(shù)為，成績(jī)?yōu)?，則B（50，0.8），=2，故成績(jī)的期望為E=E（2）=2E=2×50

9、5;0.8=80（分）；成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為=2=45.7（分）.6.袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球.設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望.解：直接考慮得分的話，情況較復(fù)雜，可以考慮取出的4只球顏色的分布情況：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，故P（=5）=，P（=6）=，P（=7）=，P（=8）=，E=5×+6×+7×+8×=.培養(yǎng)能力7.表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望E和方差D.解：設(shè)Ai=部件i需要調(diào)整（i=1，2，3），則P（A1）=0.1，P（A2）=0.2，P（

10、A3）=0.3.由題意，有四個(gè)可能值0，1，2，3.由于A1，A2，A3相互獨(dú)立，可見P（=0）=P（）=0.9×0.8×0.7=0.504；P（=1）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398；P（=2）=P（A1A2）+P（A1A3）+P（A2A3）=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092；P（=3）=P（A1A2A3）=0.1&#

11、215;0.2×0.3=0.006.E=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6，D=E2（E）2=1×0.398+4×0.092+9×0.0060.62=0.820.36=0.46.8.證明：事件在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)的方差不超過.證明：設(shè)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)為，的可能取值為0或1，又設(shè)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，則P（=0）=1p，P（=1）=p，E=0×（1p）+1×p=p，D=（1p）·（0p）2+p（1p）2=p（1p）（）2=.所以事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)的

12、方差不超過.探究創(chuàng)新9.將數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱之為一個(gè)巧合，求巧合數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解：設(shè)為巧合數(shù)，則P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=0，P（=4）=，所以E=0×+1×+2×+3×0+4×=1.所以巧合數(shù)的期望為1.思悟小結(jié)1.離散型隨機(jī)變量的期望和方差都是隨機(jī)變量的重要的特征數(shù)，期望反映了隨機(jī)變量的平均值，方差反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.2.求離散型隨機(jī)變量的期望與方差，首先應(yīng)明確隨機(jī)變量的分布列，若分布列中的概率值是待定常數(shù)，應(yīng)先求出這些待定常數(shù)后，

13、再求其期望與方差.3.離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算公式與運(yùn)算性質(zhì)：E=xi pi，D=（xiE）2pi，E（a+b）=aE+b，D（a+b）=a2D.4.二項(xiàng)分布的期望與方差：若B（n，p），則E=np，D=np（1p）.5.對(duì)求離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用問題，首先應(yīng)仔細(xì)地分析題意，當(dāng)概率分布不是一些熟知的類型時(shí)，應(yīng)全面地剖析各個(gè)隨機(jī)變量所包含的各種事件，并準(zhǔn)確判斷各事件的相互關(guān)系，從而求出各隨機(jī)變量相應(yīng)的概率.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.E由的分布列唯一確定.2.D表示對(duì)E的平均偏離程度，D越大表示平均偏離程度越大，說明的取值越分散.3.要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用期望與方差的意義解決實(shí)際問題的能力.拓展題例【例1】 若隨機(jī)變量A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0<p<1），用隨機(jī)變量表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù).（1）求方差D的最大值；（2）求的最大值.剖析：要求D、的最大值，需求D、E關(guān)于p的函數(shù)式，故需先求的分布列.解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1p，從而E=0×（1p）+1×p=p，D=（0p）2×（1p）+（1p）2×p=pp2.（1）D=pp2=（p）2+，0<p<1，當(dāng)p=時(shí)，D取得最大值為.（2）=