第四章隨機變量的數(shù)字特征

1、第四章隨機變量的數(shù)字特征本章要求1. 掌握數(shù)學期望、方差的概念、性質(zhì)和計算方法。2. 掌握并熟記，（01）分布、二項分布、泊松分布、指數(shù)分布、均勻分布和正態(tài)分布的數(shù)學期望和方差。3. 了解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的概念，并掌握它們的性質(zhì)和計算方法。內(nèi)容提要與疑難解析一、 數(shù)學期望的定義定義1（一維離散型）設(shè)離散型隨機變量X的分布律為PX=,k=1,2若級數(shù)絕對收斂， 則稱級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學期望，記作E(X)。即E(X)= 定義中要求級數(shù)絕對收斂，這一條件值得注意，絕對收斂是保證其和不會因各項的次序改變而發(fā)生變化。而條件收斂的級數(shù)，若改變各項的順序可使之發(fā)散或收斂到不同的和，這顯然與實際意義

2、不相符合。正是因為要保證級數(shù)絕對收斂，因此有些隨機變量就不存在期望值了。例1 隨機變量X的取值為=，k=1,2對應(yīng)的分布律為，k=1,2由于 = -ln2而 = =因此，E(X)不存在。定義2（一維連續(xù)型）設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),若積分絕對收斂，則稱積分的值為（均值），記為E(X) ，即E(X)= 在這個定義中要求廣義積分絕對收斂，理由與定義1 中相類似，隨機變量的數(shù)學期望，是刻畫隨機變量取值平均大小的一個數(shù)學特征。例2設(shè)隨機變量X服從哥西分布（cauchy）即，它的分布密度為， 求E(X) 解 由于 =ln(1+)=ln(1+)=故E(X)不存在。定義3（二維隨機變量）若二維

3、隨機變量（X,Y）的兩個分量X,Y都具有數(shù)學期望E(X)，E(Y),則稱(E(X),E(Y)，為二維隨機變量（X,Y）的數(shù)學期望。從定義3中可以看出，二維隨機變量的數(shù)學期望不過是一維情形的推廣。所以，一般教材中不給與介紹，而是給出比這個概念更重要的Z=g（X,Y）的數(shù)學期望的計算公式：設(shè)為離散型隨機變量，其概率分布為PX=X,Y= ,i,j=1,2若 絕對收斂 則 E(Z)=Eg(X,Y)= 設(shè)（X,Y）為連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為f(x,y)若絕對收斂則 E(Z)=Eg(X,Y)=數(shù)學期望是一個非常重要的概念，它在很多方面都有重要的應(yīng)用，下面我們僅以一個例子來說明它在最優(yōu)決策方面的應(yīng)用

4、。例3 假定在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量X（單位噸），它服從2000，4000均勻分布，設(shè)每售出這種商品一噸可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而積于倉庫，則每噸需浪費保養(yǎng)費1萬元，問題是要確定應(yīng)組織多少貨源，才能使國家的收益最大。解 以y記預(yù)備某年出口的此種商品量（顯然可以考慮20004000的情況），則收益（單位：萬元）而=+=-對上式求導，并令=0，可得當y=3500時達到最大值，因此組織3500噸此種商品是最好的決策。二、 數(shù)學期望的性質(zhì)1 設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C2 設(shè)X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=C E(X)3 設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則

5、有E(X+Y)=E(X)+E(Y)4 設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量，則有E(X,Y)=E(X) E(Y) 上述性質(zhì)中(3)非常重要，將一個隨機變量分解成兩個（或多個）隨機變量之和，然后利用該性質(zhì)可以很簡便求出數(shù)學期望，這種處理方法具有實際意義。例4 求超幾何分布 m=0，1，n的數(shù)學期望。解 此題當然可以用定義直接求出，但也可以用下面方法計算設(shè)想一個相應(yīng)的不放回抽樣，令則 因此，而表示幾次抽樣中抽出的廢品數(shù)，它服從超幾何分布，利用性質(zhì)(3)得到三、 方差定義4 設(shè)X是一個隨機變量，若EX-E(X)存在，則稱為X的方差，記為D(X)，或(X)，即(X)(X)而稱為的標準差或均方差。方差的計算對于

6、離散型的隨機變量；若其分布律為則其方差為對于連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則其方差為方差除了利用上述公式計算外，也可以利用下面的公式來計算。從方差的定義中，我們可以看到，方差實際上就是隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，因此方差表達了X的取值與其數(shù)學期望的偏離程度，在實際問題中方差可以幫助我們更好地了解隨機變量的取值情況，是分散還是集中。例5 設(shè)在同一組條件下獨立地對某物體的長度a進行了幾次測量，第k次測量的結(jié)果為，它是隨機變量。又設(shè)(k=1,2,n)服從,試計算幾次測量結(jié)果的平均長度的數(shù)學期望和方差。解 由數(shù)學期望的性質(zhì)可得=a而(此處用到了方差的性質(zhì)(3)。上述結(jié)果表明，幾次測量結(jié)果的平均值的

7、期望恰好是物體的長度a，而幾次測量結(jié)果的平均所產(chǎn)生的離散程度（或說絕對誤差）比一次測量的偏離程度（或說誤差）來得小，因此在實際測量中常常利用這一結(jié)果，以減小誤差。四、 方差的性質(zhì)1. 設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=02. 設(shè)X是隨機變量，C是常數(shù)，則有 D(CX)=D(X)3. 設(shè)X、Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)4. D(X)=0,的充分必要條件是X以概率1取常數(shù)C，即 PX=C=1五、 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)，矩定義5 稱EX-E(X)Y-E(Y)為隨機變量X與Y的協(xié)方差，記為Cov(X，Y），即Cov(X，Y）= EX-E(X)Y-E(Y)而稱為隨機變量X與Y的相

8、關(guān)系數(shù)。協(xié)方差的性質(zhì)：1. Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2. Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b是常數(shù)。3. Cov(,Y)=Cov(,Y)+Cov(,Y)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1. 2. 若，則，說明X與Y之間以概率1存在著線性關(guān)系。定義6 設(shè)X和Y是隨機變量，若,k=1，2，存在，稱它為X的K階原點矩，若， k=1，2，存在，稱它為X的k階中心矩。若， k，l=1，2，存在，稱它為X和Y的k+l階混合矩。若存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。值得注意的是相關(guān)系數(shù)的大小，反映了兩個變量X與Y之間是否存在線性關(guān)系的程度，當越接近1時，Y與X越有近似的線性關(guān)系。當=0時X與Y

9、之間不相關(guān)。X與Y 不相關(guān)和X與Y相互獨立是兩個不同的概念。X與Y不相關(guān)是指X與Y之間不存在線性關(guān)系，不是說它們之間不存在其它關(guān)系。即由X與Y不相關(guān)，推不出X與Y相互獨立，反之，若X與Y相互獨立，則X與Y一定不相關(guān)。例6 設(shè)X N（0，1），Y,求X與Y 的相關(guān)系數(shù)解 因 XN（0，1）,故E（X）=0，可是 Cov（X，Y）=E（X·Y）=E（） 而 E（）=0故 Cov(X,Y)=0 ,即=0此例中，雖然X與Y是不相關(guān)的，但是不獨立，因為Y是由X通過函數(shù)關(guān)系決定的，這種關(guān)系不是線性的。典型例題例7 在燈謎晚會上解 首先，設(shè)X表示先猜謎a的獲分，顯然，X所取的全部可能值為0，12，

10、20。為求X的分布列，令 =“猜對謎a” =“猜對謎b” 由題設(shè)知，與獨立，且P（）=0.7，P（）=0.8 由于X=0=，X=12=，X=20=因此，PX=0=P（）=0.3P（X=12）=P（）=P()·P()=0.7×0.2=0.14PX=20=P（）=P（）·P（）=0.56 故X的分布列為X01220P0.30.140.56 其次，設(shè)Y表示先猜謎b的獲得，用類似的方法可求得Y的分布列為Y0820P0.20.240.56先猜謎a的平均獲分為E（X）=0×0.3+12×0.14+20×0.56=12.88先猜謎b的平均獲分為E（

11、Y）=0×0.2+8×0.24+20×0.56=13.12即：先猜謎b的平均獲分比先猜謎a的平均獲分高。例8 r個人在樓的底層進入電梯，樓上有n層，每個乘客在任一層下電梯的概率相同。如果某一層無乘客下電梯，電梯就不停車，求直到乘客都下完時電梯停車次數(shù)X的數(shù)學期望。 設(shè)表示在第i層電梯停車的次數(shù)。 則 易見， 且 由于每個人在任一層下電梯的概率均為1/n，故r個人同時不在第i層下電梯的概率為 即：= =1- 于是，=1- i=1，2，n 故 EX=n1-例9 設(shè)X服從自由度為n的分布，其概率密度為 試求EX。 解 E（X）= 即 E（X）=n 注 上面用到了函數(shù)的定

12、義和性質(zhì) 1） 2）例10 假設(shè)X和Y獨立，且都服從標準正態(tài)分布，求min，的數(shù)學期望。解（min，）例11 設(shè)隨機變量的分布律為求（X）解 由于 E（X）=1.60×+1.65×+1.70×+1.75×+1.77×+1.80×=1.69所以， D（X）=×+例12 一卡車裝運水泥，設(shè)每袋水泥的重量為，且設(shè)服從正態(tài)分布，其數(shù)學期望為，均方差為，若一卡車裝水泥袋，（）求這車水泥的總重量的方差。（）求這車水泥的總重量超過的概率。解（）設(shè)第袋水泥的重量為，。由題意知，（，）。因各袋水泥的重量互不影響，所以，相互獨立。顯然故（）例1

13、3 設(shè)服從上的均勻分布，又，。求（，），（，）。解（）（）而，（）所以（，）（）（）·（）而例14 設(shè)隨機變量（，）具有概率密度求與的協(xié)方差矩陣。解由于（）而所以（）同理（）（）又由于（）所以（，）（）（）·（）于是這里（，）（）（）即與的協(xié)方差矩陣為考研題精解1.（1997I）已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為求隨機變量X的數(shù)學期望和方差。解 將f(x)改寫為則，可見 XN（1，1/2），所以，E（X）=1，D（X）=1/22.(1990I)已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，即PX=K=k=0，1，2，求隨機變量Z=3X-2的數(shù)學期望E（Z）解 由于XP（2），所以E（X）=2所以，E（Z）=E（3X-2）=3E（X）-2=3×2-2=43.（1996I）設(shè)X，Y是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布N（0，1/2）的隨機變量，求隨機變量的數(shù)學期望。解 由于X，Y均服從N（0，1/2），且相互獨立，所以Z=N（0，1）從而E（|Z|）=E=4. (1990I)設(shè)二維隨機變量（X，Y）在區(qū)域D：0<x<1,|y|<x內(nèi)服從均勻分布，求關(guān)于X的邊緣概率密度及隨機變量Z=2X+1的方差D（Z）。解 （X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)是 X的邊緣概率密度是所以，