第五節(jié) 非線性回歸的線性化處理

1、第五節(jié) 非線性回歸的線性化處理前面討論了線性回歸問題，對(duì)線性情形我們有了一整套的理論與方法.在實(shí)際中常會(huì)遇見更為復(fù)雜的非線性回歸問題，此時(shí)一般是采用變量代換法將非線性模型線性化，再按照線性回歸方法進(jìn)行處理.舉例如下：模型 y=a+bsint+, N(0,2), (10.29)其中a,b,2為與t無關(guān)的未知參數(shù)，只要令x=sint,即可將(10.29)化為(10.1).模型 y=a+bt+ct2+, N(0,2)， (10.30)其中a,b,c,2為與t無關(guān)的未知參數(shù).令x1=t,x2=t2,得y=a+bx1+cx2+, N(0,2)， (10.31)它為多元線性回歸的情形.模型 =a+b/x+

2、， N(0,2),令y=, x=,則有 y=a+bx+,N(0,2),化為(10.1)式.模型 y=a+blnx+, N(0,2),令x=lnx,則有 y=a+bx+,N(0,2),又可化為(10.1)式.另外，還有下述模型 Q(y)=a+bx+, N(0,2),其中Q為已知函數(shù)，且設(shè)Q(y)存在單值的反函數(shù)，a,b,2為與x無關(guān)的未知參數(shù).這時(shí)，令z=Q（y）,得z=a+bx+, N(0,2).在求得z的回歸方程和預(yù)測區(qū)間后，再按z=Q(y)的逆變換，變回原變量y.我們就分別稱它們?yōu)殛P(guān)于y的回歸方程和預(yù)測區(qū)間.此時(shí)y的回歸方程的圖形是曲線，故又稱為曲線回歸方程.例10.5 某鋼廠出鋼時(shí)所用的

3、盛鋼水的鋼包，由于鋼水對(duì)耐火材料的侵蝕，容積不斷擴(kuò)大.通過試驗(yàn)，得到了使用次數(shù)x和鋼包增大的容積y之間的17組數(shù)據(jù)如表10-5，求使用次數(shù)x與增大容積y的回歸方程.表10-5xyxy26.421110.5938.201210.6049.581310.8059.501410.6069.701510.90710.001610.7689.931811.0099.991911.201010.49解 散點(diǎn)圖如圖10-5.看起來y與x呈倒指數(shù)關(guān)系lny=a+b+，記y=lny, ,求出x,y的值（表10-6）.表10-6xyxy0.50001.85940.09092.35990.33332.10410.0

4、8332.36090.25002.25970.07692.37950.20002.25130.07142.36090.16672.27210.06672.38880.14292.30260.06252.37580.12502.29560.05562.39790.11112.30160.05262.41590.10002.3504作(x,y)的散點(diǎn)圖，如圖10-6.圖10-5 圖10-6可見各點(diǎn)基本上在一直線上，故可設(shè)y=a+bx+,(0,2)，經(jīng)計(jì)算，得=0.1464, =2.2963，=0.5902,=89.9311,=5.4627.=-1.1183, =2.4600.于是x對(duì)于y的線性回歸方程為y=-1.1183x+2.4600，換回原變量得.現(xiàn)對(duì)x與y的線性相關(guān)關(guān)系的顯著性用F檢驗(yàn)法