第三章 連續(xù)型隨機(jī)變量

1、第三章 連續(xù)型隨機(jī)變量3.1 設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為，試以表示下列概率：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）； （2）； （3）=1-； （4）。3.2 函數(shù)是否可以作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果（1）（2）0，在其它場(chǎng)合適當(dāng)定義；（3）-，在其它場(chǎng)合適當(dāng)定義。解：（1）在（-）內(nèi)不單調(diào)，因而不可能是隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （2）在（0，）內(nèi)單調(diào)下降，因而也不可能是隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （3）在（-內(nèi)單調(diào)上升、連續(xù)且，若定義則可以是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。3.3 函數(shù)是不是某個(gè)隨機(jī)變數(shù)的分布密度？如果的取值范圍為（1）；（2）；（3）。解：（1）當(dāng)時(shí)，且=1，所以可以是某個(gè)隨機(jī)變量的分布密

2、度； （2）因?yàn)?2，所以不是隨機(jī)變量的分布密度； （3）當(dāng)時(shí)，所以 不是隨機(jī)變量的分布密度。3.4 設(shè)隨機(jī)變數(shù)具有對(duì)稱的分布密度函數(shù)，即證明：對(duì)任意的有（1）； （2）P（； （3）。 證：（1） = = ； （2），由（1）知1- 故上式右端=2； （3）。 3.5 設(shè)與都是分布函數(shù)，又是兩個(gè)常數(shù)，且。證明也是一個(gè)分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？ 證：因?yàn)榕c都是分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，于是又所以，也是分布函數(shù)。取，又令這時(shí)顯然，與對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不是取有限個(gè)或可列個(gè)值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。3.6 設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為求相應(yīng)的密度函數(shù)

3、，并求。解：，所以相應(yīng)的密度函數(shù)為。3.7 設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為求常數(shù)及密度函數(shù)。解：因?yàn)椋?，密度函?shù)為3.8 隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為，求常數(shù)與及相應(yīng)的密度函數(shù)。解：因?yàn)?所以因而。3.9 已知隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為（1） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（2） 求。解： 3.10確定下列函數(shù)中的常數(shù)，使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。（1）；（2）（3）解：（1）； （2），所以A=;(3),所以。3.12 在半徑為R,球心為O的球內(nèi)任取一點(diǎn)P,求的分布函數(shù)。解：當(dāng)0時(shí)所以 3.13 某城市每天用電量不超過(guò)一百萬(wàn)度，以表示每天的耗電率（即用電量除以一萬(wàn)度），它具有分布密度為若該城市每天的供電量?jī)H有80萬(wàn)度

4、，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬(wàn)度又是怎樣呢？解： 因此，若該城市每天的供電量為80萬(wàn)度，供電量不夠需要的概率為0.0272,若每天的供電量為90萬(wàn)度，則供電量不夠需要的概率為0.0037。3.14 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從（0，5）上的均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。 解：當(dāng)且僅當(dāng) （1）成立時(shí)，方程有實(shí)根。不等式（1）的解為：或。因此，該方程有實(shí)根的概率。3.17 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時(shí)），（小時(shí)）(1) 求電池壽命在250小時(shí)以上的概率； （2）求，使壽命在與之間的概率不小于0.9。解：（1） =； （2） =即所以即3.18 設(shè)為分布的分布函數(shù)，證明當(dāng)時(shí)，有 證：

5、 = =所以 。3.21 證明：二元函數(shù) 對(duì)每個(gè)變?cè)獑握{(diào)非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個(gè)分布函數(shù)。 證：（1）設(shè)，若，由于，所以，若，則。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。所以 。 可見，對(duì)非降。同理，對(duì)非降。 （2）時(shí) =， 時(shí)， =， 所以對(duì)、左連續(xù)。 （3），。 （4）， 所以不是一個(gè)分布函數(shù)。3.23 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的密度求的分布函數(shù)。解：當(dāng)，時(shí)， =所以 3.24 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（3） 求。解：（1），所以； （2）時(shí)， =，所以 （3） = =。325 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。解： 所以，；3.26 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的密度函

6、數(shù)為求（1）。解：3.28 設(shè)的密度函數(shù)為求與中至少有一個(gè)小于的概率。解：3.30 一個(gè)電子器件包含兩個(gè)主要組件，分別以和表示這兩個(gè)組件的壽命（以小時(shí)計(jì)），設(shè)的分布函數(shù)為求兩個(gè)組件的壽命都超過(guò)120的概率。解：3.31 設(shè)都是一維分布的密度函數(shù)，為使成為一個(gè)二維分布的密度函數(shù)，問(wèn)其中的必需且只需滿足什么條件？解：若為二維分布的密度函數(shù)，則所以條件得到滿足。反之，若條件（1），（2）滿足，則為二維分布的密度函數(shù)。因此，為使成為二維分布的密度函數(shù)，必需且只需滿足條件（1）和（2）。3.32 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)具有下列密度函數(shù)，求邊際分布。（1）（2）（3）解：（1） （2）時(shí)， 時(shí)， 所以，。同理，。

7、（3） 3.34 證明：若隨機(jī)變數(shù)只取一個(gè)值，則與任意的隨機(jī)變數(shù)獨(dú)立。證：的分布函數(shù)為設(shè)的分布函數(shù)、的聯(lián)合分布函數(shù)分別為。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，故與相互獨(dú)立。3.35 證明：若隨機(jī)變數(shù)與自己獨(dú)立，則必有常數(shù)，使。證：由于，所以，。由于，非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)，使得故。3.36設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為問(wèn)與是否獨(dú)立？是否不相關(guān)？解：。同理，。由于，所以與不相互獨(dú)立。又因關(guān)于或關(guān)于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關(guān)。3.41 設(shè)某類電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）具有如下分布密度：一臺(tái)電子管收音機(jī)在開初使用的150小時(shí)中，三個(gè)這類管子沒有一個(gè)要替換的概率是多少？三個(gè)這類管子全部要替換的

8、概率又是多少？（假設(shè)這三個(gè)管子的壽命分布是相互獨(dú)立的）解：設(shè)這類電子管的壽命為，則所以三個(gè)這類管子沒有一個(gè)要替換的概率為；三個(gè)這類管子全部要替換的概率是。3.44 對(duì)球的直徑作近似測(cè)量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間內(nèi)，求球體積的密度函數(shù)。解：設(shè)球的直徑為，則其體積為。的反函數(shù)。由的密度函數(shù)，得的密度函數(shù)為3.45 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從分布，求的分布密度。解：在時(shí)，。所以的分布密度。3.46 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從分布，求的分布密度。解：的反函數(shù)。由服從分布，推得的分布密度為3.47 隨機(jī)變數(shù)在任一有限區(qū)間上的概率均大于（例如正態(tài)分布等），其分布函數(shù)為，又服從上的均勻分布。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：因?yàn)樵谌?/p>

9、一有限區(qū)間上的概率均大于，所以是嚴(yán)格上升函數(shù)。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對(duì)任意的都成立。所以與的分布函數(shù)相同。3.48 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，求的分布密度。若（1）與分布服從及上的均勻分布，且；（2）與分別服從及上的均勻分布，。解（1）其它。 ，其它。 = =，其它。 （2），其它， ，其它。 = =，其它3.49 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。解： ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以3.50 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為證明：也服從同一分布。證：所以即也服從相同的柯西分布。3.51 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，分別具有密度函數(shù)（其中），求+的分布密度。

10、解：時(shí)，時(shí)，3.53 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，都服從上的均勻分布，求的分布。解：服從上的均勻分布，據(jù)3.48(2)知，在時(shí)，的分布函數(shù)所以的分布密度為3.54 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，分別服從參數(shù)為與的指數(shù)分布，求的分布密度。解：由得，所以在時(shí)，在時(shí)，所以3.56 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。證：由得。故令，則所以服從分布。3.58 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以的密度函數(shù)為3.59 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。解：在時(shí)，在時(shí)，。3.60 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為證明：與不獨(dú)立，但與獨(dú)立。證：由于，所以與不獨(dú)

11、立。由于所以對(duì)一切的，都有，故與相互獨(dú)立。3.61 設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求。解：3.62 設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求及。解 ， ， 。3.63 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試確定常數(shù)，并求與。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，故。 =，。3.64 隨機(jī)變量具有密度函數(shù)其中求常數(shù)及。解： =，故。 = 3.66 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望與方差。解：。3.67 地下鐵道列車的運(yùn)行間隔時(shí)間為五分鐘，一個(gè)旅客在任意時(shí)刻進(jìn)入月臺(tái)，求候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望與方差。解：設(shè)旅客候車時(shí)間為（秒），則服從上的均勻分布，則，。3.71 設(shè)為正的且獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對(duì)任意的，有。證：同

12、分布，又，所以都存在且相等。由于，所以。3.72 設(shè)是非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量，證明：對(duì)，有。證：。3.73 若對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，有，證明有。 證：。3.75 已知隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)為，求與的相關(guān)系數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為零。解：=3.81設(shè)隨機(jī)變量中任意兩個(gè)的相關(guān)系數(shù)都是，試證：。證：=，故。 3.84證明下述不等式（設(shè)都是連續(xù)型或離散型隨機(jī)變量）：（1）若與都有階矩，則有)(2)若與都具有階矩，則證：（1）時(shí)，即所謂的明可夫斯基不等式，證明略。在時(shí)，是的下凸函數(shù)，故即故（2）在時(shí)，故3.88 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為其中。求條件下的條件分布密度。 解：。故 3.89 設(shè)隨機(jī)變量服從分布，

13、隨機(jī)變量在時(shí)的條件分布為，求的分布及關(guān)于的條件分布。 解： ，故 ，故在時(shí)，的條件分布為。3.90 設(shè)為具有數(shù)學(xué)期望的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，隨機(jī)變量只取正整數(shù)值，且與獨(dú)立，證明：證： 3.91 求下列連續(xù)型分布的特征函數(shù)：（1）上的均勻分布，（2）柯西分布，其密度函數(shù)為（3）分布，其密度函數(shù)為 解：（1）（2）由拉普拉斯積分得（3）3.93 若是特征函數(shù)，證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)：（1）（為正整數(shù)）證：（1）若是隨機(jī)變量的特征函數(shù)，則是隨機(jī)變量的特征函數(shù)；（2）若與獨(dú)立同分布，其特征函數(shù)為。則是隨機(jī)變量的特征函數(shù)；（3）若獨(dú)立分布，其特征函數(shù)為。則是隨機(jī)變量的特征函數(shù)。3.94 證明下列函數(shù)是特征

14、函數(shù)，并找出相應(yīng)的分布函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。證：（1），所以是兩點(diǎn)分布-11的特征函數(shù)。（2），所以是三點(diǎn)分布的特征函數(shù)。（3）密度函數(shù)為的指數(shù)分布的特征函數(shù)為，所以是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（4）上均勻分布的特征函數(shù)為，所以互相獨(dú)立且同為上均勻分布的兩個(gè)隨機(jī)變量和的特征函數(shù)為，即是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（5），所以是幾何分布的特征函數(shù)。3.95 試舉一個(gè)滿足（1），（2），但是不是特征函數(shù)的例子。解：令則滿足（1），（2），但在點(diǎn)不連續(xù)，故不是特征函數(shù)。3.96 證明函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。解：由于故欲證是特征函數(shù)，僅須驗(yàn)證是密度函數(shù)由于，所以為特征函數(shù)，其分布函數(shù)為。3.97 設(shè)是一個(gè)特征函數(shù)。，證明：也是特征函數(shù)。證：設(shè)與相互獨(dú)立，的特征函數(shù)為，服從上的均勻分布，的特征函數(shù)為，則是的特征函數(shù)。3.98 設(shè)為個(gè)獨(dú)立同柯西分布的隨機(jī)變量，證明與有相同的分布。證：柯西分布的特征函數(shù)故的特征函數(shù)為所以與同分布。3.99 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，求的分布。解：分布，；，的特征函數(shù)。故的特征函數(shù)為，所以也是分布，其密度函數(shù)為，；，。3.100 設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合密度函數(shù)為證明：的特征函數(shù)等于的特征函數(shù)的乘積，但是并不相互獨(dú)立。證： 的特征函數(shù)為。故與的特征函數(shù)皆為，所以的特征函數(shù)等于、的特征函數(shù)的乘積。由，故與不互相獨(dú)立。3.