第二節(jié)離散型隨機變量及其分布

1、第二節(jié)離散型隨機變量及其分布如果隨機變量所有可能的取值為有限個或可列無窮多個，則稱這種隨機變量為離散型隨機變量.容易知道，要掌握一個離散型隨機變量X的統(tǒng)計規(guī)律，必須且只須知道X的所有可能取的值以及取每一個可能值的概率.設離散型隨機變量X所有可能的取值為xk(k=1,2,),X取各個可能值的概率,即事件X=xk的概率PX=xk=pk, k=1,2, （2.2）我們稱（2.2）式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律.分布律也常用表格來表示（表2-1）：表2-1Xx1 x2 x3 xk pkp1 p2 p3 pk 由概率的性質容易推得，任一離散型隨機變量的分布律pk，都具有下述兩個基本性質：1

2、76;pk0，k=1,2,； （2.3）2°. （2.4）反過來，任意一個具有以上兩個性質的數(shù)列Pk，一定可以作為某一個離散型隨機變量的分布律.為了直觀地表達分布律，我們還可以作類似圖2-1的分布律圖.圖2-1圖2-1中xi處垂直于x軸的線段高度為pi，它表示X取xi的概率值.例2.1 設一汽車在開往目的地的道路上需通過4盞信號燈，每盞燈以0.6的概率允許汽車通過，以0.4的概率禁止汽車通過（設各盞信號燈的工作相互獨立）.以X表示汽車首次停下時已經(jīng)通過的信號燈盞數(shù)，求X的分布律.解 以p表示每盞燈禁止汽車通過的概率，顯然X的可能取值為0，1，2，3，4，易知X的分布律為表2-2X0

3、1 2 3 4pkP （1-p）p （1-p）2 p p（1-p）3 p （1-p）4或寫成PX=k=（1-p）kp，k=0，1，2，3.PX=4=（1-p）4.將p=0.4,1-p=0.6代入上式，所得結果如表2-3所示.表2-3X0 1 2 3 4pk0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296下面介紹幾種常見的離散型隨機變量的概率分布：（1）兩點分布若隨機變量X只可能取x1與x2兩值，它的分布律是PX=x1=1-p（0p1），PX=x2=p，則稱X服從參數(shù)為p的兩點分布.特別，當x1=0，x2=1時兩點分布也叫（0-1）分布，記作X（0-1）分布.寫成分布律表形式見表2-4.

4、表2-4X0 1pk1-p p對于一個隨機試驗，若它的樣本空間只包含兩個元素，即=e1，e2，我們總能在上定義一個服從（0-1）分布的隨機變量用它來描述這個試驗結果.因此，兩點分布可以作為描述試驗只包含兩個基本事件的數(shù)學模型.如，在打靶中“命中”與“不中”的概率分布；產(chǎn)品抽驗中“合格品”與“不合格品”的概率分布等等.總之，一個隨機試驗如果我們只關心某事件A出現(xiàn)與否，則可用一個服從（0-1）分布的隨機變量來描述.（2）二項分布若隨機變量X的分布律為PX=k=pk(1-p)n-k, k=0,1,n， (2.5)則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布（Binomial distribution）,記作Xb

5、(n,p).易知（2.5）滿足（2.3）、(2.4)兩式.事實上，P（X=k）0是顯然的；再由二項展開式知=1.我們知道，PX=k=恰好是p+(1-p)n二項展開式中出現(xiàn)pk的那一項，這就是二項分布名稱的由來.回憶n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率計算公式Pn(k)=pk(1-p)n-k, k=0,1,n,可知，若Xb(n,p)，X就可以用來表示n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù).因此，二項分布可以作為描述n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)學模型.比如，射手射擊n次中，“中的”次數(shù)的概率分布；隨機拋擲硬幣n次，落地時出現(xiàn)“正面”次數(shù)的概率分布；從一批足夠多的產(chǎn)品中任意抽取n件，其中“廢品”件數(shù)

6、的概率分布等等.不難看出，（0-1）分布就是二項分布在n=1時的特殊情形，故（0-1）分布的分布律也可寫成PX=k=pkq1-k(k=0,1)(q=1-p).例2.2（1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（3）雙方各出7人.三種方案中均以比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利.問：對系隊來說，哪一種方案有利？解 設系隊得勝人數(shù)為X，則在上述三種方案中，系隊勝利的概率為（1） PX2=0.352；(2) PX3=0.317；(3) PX4=0.290.因此第一種方案對系隊最為有利.這在直覺上是容易理解的，因為參賽人數(shù)越少，系隊僥幸獲勝的可能性也就越大.例2.3 某一大批產(chǎn)品的合格品率為98%，現(xiàn)隨機地從

7、這批產(chǎn)品中抽樣20次，每次抽一個產(chǎn)品，問抽得的20個產(chǎn)品中恰好有k個（k=1，2，20）為合格品的概率是多少？解 這是不放回抽樣.由于這批產(chǎn)品的總數(shù)很大，而抽出的產(chǎn)品的數(shù)量相對于產(chǎn)品總數(shù)來說又很小，那么取出少許幾件可以認為并不影響剩下部分的合格品率，因而可以當作放回抽樣來處理，這樣做會有一些誤差，但誤差不大.我們將抽檢一個產(chǎn)品看其是否為合格品看成一次試驗，顯然，抽檢20個產(chǎn)品就相當于做20次貝努里試驗，以X記20個產(chǎn)品中合格品的個數(shù)，那么Xb（20，0.98），即PX=k=，k=1,2,20.若在上例中將參數(shù)20改為200或更大，顯然此時直接計算該概率就顯得相當麻煩.為此我們給出一個當n很大而

8、p（或1-p）很小時的近似計算公式.定理2.1（泊松(Poisson)定理） 設npn=（>0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)），則對任意一固定的非負整數(shù)k,有.證 由pn=/n，有對任意固定的k，當n時，故由于=npn是常數(shù)，所以當n很大時pn必定很小，因此，上述定理表明當n很大p很小時，有以下近似公式 (2.6)其中=np.從表2-5可以直觀地看出（2.6）式兩端的近似程度.表2-5k按二項分布公式直接計算按泊松近似公式（2.6）計算n=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=1(=np)012340.3490.3850.1940.0570.0110.

9、3580.3770.1890.0600.0130.3630.3720.1860.0600.0140.3660.3700.1850.0610.0150.3680.3680.1840.0610.015由上表可以看出，兩者的結果是很接近的.在實際計算中，當n20,p0.05時近似效果頗佳，而當n100,np10時效果更好.的值有表可查（見本書附表3）二項分布的泊松近似，常常被應用于研究稀有事件（即每次試驗中事件A出現(xiàn)的概率p很?。?，當貝努里試驗的次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的次數(shù)的分布.例2.4 某十字路口有大量汽車通過，假設每輛汽車在這里發(fā)生交通事故的概率為0.001，如果每天有5000輛汽車通過這個

10、十字路口，求發(fā)生交通事故的汽車數(shù)不少于2的概率.解 設X表示發(fā)生交通事故的汽車數(shù)，則Xb(n,p),此處n=5000，p=0.001，令=np=5，PX2=1-PX2=1-=1-(0.999)5000-5(0.999)4999.查表可得PX2=1-0.00674-0.03369=0.95957.例2.5 某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率.解 將一次射擊看成是一次試驗.設擊中次數(shù)為X，則Xb(400,0.02)，即X的分布律為PX=k= (0.02)k(0.98)400-k, k=0,1,400.故所求概率為PX2=1-pX=0-pX=1=1-

11、(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.PX<20.003很小，根據(jù)實際推斷原理，我們將懷疑“每次射擊的命中率為0.02”這一假設，即認為該射手射擊的命中率達不到0.02.（3）泊松分布若隨機變量X的分布律為PX=k =，k=0，1，2， （2.7）其中0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布（Poisson distribution），記為XP（）.易知（2.7）滿足（2.3）、（2.4）兩式，事實上，PX=k0顯然；再由=e-·e=1，可知 =1.由泊松定理可知，泊松分布可以作為描述大量試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)k=0,1,的概率分布情況的一個數(shù)學

12、模型.比如：大量產(chǎn)品中抽樣檢查時得到的不合格品數(shù)；一個集團中生日是元旦的人數(shù)；一頁中印刷錯誤出現(xiàn)的數(shù)目；數(shù)字通訊中傳輸數(shù)字時發(fā)生誤碼的個數(shù)等等，都近似服從泊松分布.除此之外，理論與實踐都說明，一般說來它也可作為下列隨機變量的概率分布的數(shù)學模型：在任給一段固定的時間間隔內， 由某塊放射性物質放射出的質點，到達某個計數(shù)器的質點數(shù)； 某地區(qū)發(fā)生交通事故的次數(shù)； 來到某公共設施要求給予服務的顧客數(shù)（這里的公共設施的意義可以是極為廣泛的，諸如售貨員、機場跑道、電話交換臺、醫(yī)院等，在機場跑道的例子中，顧客可以相應地想象為飛機）.泊松分布是概率論中一種很重要的分布.例2.6 由某商店過去的銷售記錄知道，某種

13、商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)5的泊松分布來描述.為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件？解 設該商店每月銷售這種商品數(shù)為X，月底進貨為a件，則當Xa時不脫銷，故有PXa0.95.由于XP(5),上式即為0.95.查表可知0.9319<0.95,0.9682>0.95于是，這家商店只要在月底進貨這種商品10件（假定上個月沒有存貨），就可以95%以上的把握保證這種商品在下個月不會脫銷.下面我們就一般的離散型隨機變量討論其分布函數(shù).設離散型隨機變量X的分布律如表2-1所示.由分布函數(shù)的定義可知F(x)=PXx=，此處的和式表示對所有滿足xkx的k求和，形象地講

14、就是對那些滿足xkx所對應的pk的累加.例2.7 求例2.1中X的分布函數(shù)F（x）.解 由例2.1的分布律知當x0時，F(xiàn)（x）=PXx=0；當0x1時，F(xiàn)（x）=PXx=PX=0=0.4；當1x2時，F(xiàn)（x）=PXx=P（X=0X=1）=PX=0+PX=1=0.4+0.24=0.64；當2x3時F（x）=PXx=P（X=0X=1X=2）=PX=0+PX=1+PX=2=0.4+0.24+0.144=0.784；當3x4時F（x）=PXx=P（X=0X=1X=2X=3）=0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704；當x4時F（x）=PXx=P（X=0X=1X=2X=3X=4）=0.4+0.24+0.144+0.0864+0.1296=1.綜上所述F（x）=PXx=F(x)的圖形是一條階梯狀右連續(xù)曲線，在x=0，1，2，3，4處有跳躍，其跳躍高度分別為0.4,0.24,0.144,0.0864,0