材料力學(xué)復(fù)習(xí)筆記

1、材料力學(xué)（一）軸向拉伸與壓縮【內(nèi)容提要】材料力學(xué)主要研究構(gòu)件在外力作用下的變形、受力與破壞、失效的規(guī)律。為設(shè)計既安全 可靠又經(jīng)濟(jì)合理的構(gòu)件，提供有關(guān)強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性分析的基本理論與方法?！局攸c、難點】重點考察基本概念，掌握截面法求軸力、作軸力圖的方法，截面上應(yīng)力的計算?！緝?nèi)容講解】一、 基本概念強(qiáng)度一一構(gòu)件在外力作用下，抵抗破壞的能力，以保證在規(guī)定的使用條件下，不會發(fā)生 意外的斷裂或顯著塑性變形。剛度一一構(gòu)件在外力作用下，抵抗變形的能力，以保證在規(guī)定的使用條件下不會產(chǎn)生過 分的變形。穩(wěn)定性一一構(gòu)件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保證在規(guī)定的使用條件下, 不會產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。桿件一個方向

2、的尺寸遠(yuǎn)大于其它兩個方向的尺寸的構(gòu)件，稱為桿件或簡稱桿。根據(jù)軸線與橫截面的特征，桿件可分為直桿與曲桿，等截面桿與變截面桿。二、 材料力學(xué)的基本假設(shè)工程實際中的構(gòu)件所用的材料多種多樣，為便于理論分析，根據(jù)它們的主要性質(zhì)對其作 如下假設(shè)。（一）連續(xù)性假設(shè)一一假設(shè)在構(gòu)件所占有的空間內(nèi)均毫無空隙地充滿了物質(zhì)，即認(rèn)為是密 實的。這樣，構(gòu)件內(nèi)的一些幾何量，力學(xué)量（如應(yīng)力、位移）均可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)表示, 并可采用無限小的數(shù)學(xué)分析方法。（二）均勻性假設(shè)一一很設(shè)材料的力學(xué)性能與其在構(gòu)件中的位置無關(guān)。 按此假設(shè)通過試樣 所測得的材料性能，可用于構(gòu)件內(nèi)的任何部位（包括單元體）。（三）各向同性假設(shè)一一沿各個方向均具

3、有相同力學(xué)性能。具有該性質(zhì)的材料，稱為各向 同性材料。綜上所述，在材料力學(xué)中，一般將實際材料構(gòu)件，看作是連續(xù)、均勻和各向同性的可變 形固體。三、外力內(nèi)力與截面法（一）外力對于所研究的對象來說，其它構(gòu)件和物體作用于其上的力均為外力，例如載荷 與約束力。外力可分為：表面力與體積力；分布力與集中力；靜載荷與動載荷等。當(dāng)構(gòu)件（桿件）承受一般載荷作用時，可將載荷向三個坐標(biāo)平面（三個平面均通過桿的軸 線，其中兩個平面為形心主慣性平面）內(nèi)分解，使之變?yōu)閮蓚€平面載荷和一個扭轉(zhuǎn)力偶作 用情況。在小變形的情況下，三個坐標(biāo)平面內(nèi)的力互相獨立，即一個坐標(biāo)平面的載荷只 引起這一坐標(biāo)平面內(nèi)的內(nèi)力分量，而不會引起另一坐標(biāo)平

4、面內(nèi)的內(nèi)力分量。此即小變形 條件的疊加法。（二）內(nèi)力與截面法內(nèi)力在外力作用下，構(gòu)件發(fā)生變形，同時，構(gòu)件內(nèi)部相連各部分之間產(chǎn)生相互作用力， 由于外力作用，構(gòu)件內(nèi)部相連兩部分之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。截面法將構(gòu)件假想地截（切）開以顯示內(nèi)力，并由平衡條件建立內(nèi)力與部分外力間的關(guān)系 或由部分外力確定內(nèi)力的方法，稱為截面法。由連續(xù)性假設(shè)可知，內(nèi)力是作用在切開面截面上的連續(xù)分布力。稱連續(xù)分布內(nèi)力。將連 續(xù)分布內(nèi)力向橫截面的形心C簡化，得主矢與主矩。為了分析內(nèi)力，沿截面軸線建立 軸, 在所切橫截面內(nèi)建立 軸和 軸，并將主矢與主矩沿x、y、z三軸分解，得內(nèi)力分量，以 及內(nèi)力偶矩分量。這些內(nèi)力及內(nèi)力偶矩分量與

5、作用在保留桿段上的部分外力，形成平衡 力系，并由相應(yīng)的平衡方程，建立內(nèi)力與部分外力間的關(guān)系，或由部分外力確定內(nèi)力。內(nèi)力分量及內(nèi)力偶矩分量，統(tǒng)稱為內(nèi)力分量。（三）應(yīng)力正應(yīng)力與剪應(yīng)力為了描述內(nèi)力的分布情況，弓I入內(nèi)力分布集度即應(yīng)力的概念。平均應(yīng)力在截面mm上任一點K的周圍取一微面積A,設(shè)作用于該面積上的內(nèi)力為P,則AA內(nèi)的平均應(yīng)力：正應(yīng)力 沿截面法向的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，用口表示。剪應(yīng)力沿截面切向的應(yīng)萬稱為剪應(yīng)力用需表示。單元體（微體）圍繞某點（如K）.切取一無限小的六面體，稱為單元體（或微體）。為全面研 究一點處在不同方位的截面上的應(yīng)力（稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)）而切取的研究對象之一。四、軸向拉伸與壓縮的

6、力學(xué)模型軸向拉伸與壓縮是桿件受力或變形的一種最基本的形式。受力特征 作用于等直桿兩端的外力或其合力的作用線沿桿件的軸線，一對大小相等、 矢向相反。變形特征受力后桿件沿其軸向方向均勻伸長（縮短）即桿件任意兩橫截面沿桿件軸向方向產(chǎn)生相對的平行移動。拉壓桿 以軸向拉壓為主要變形的桿件， 稱為拉壓桿或軸向受力桿。 作用線沿桿件軸向 的載荷， 稱為軸向載荷 五、軸力軸力圖軸力拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，其作用線必是與桿軸重合，稱為軸力。用N_表示。是拉壓桿橫截面上唯一的內(nèi)力分量。軸力N符號規(guī)定 拉力為正，壓力為負(fù)。根據(jù)截面法和軸力N正負(fù)號規(guī)定，可得計算拉壓桿軸力N的法則：橫截面上的軸力N,在 數(shù)值上等于該截面

7、的左側(cè)（或右側(cè)）桿上所有軸向外力的代數(shù)和。無論左側(cè)或右側(cè)桿上，方向背離截面的軸向外力均取正值：反之則取負(fù)值。（二）軸力圖表示沿桿件軸向各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線。稱為軸力圖或N圖。以x軸為橫坐標(biāo)平行于桿軸線，表示橫截面位置，以N軸為縱坐標(biāo)，表示相應(yīng)截面上的軸力值。六、拉壓桿橫截上、斜截面上的應(yīng)力（一）拉壓桿橫截上的應(yīng)力陽式中，N為軸力，A為橫截面積；應(yīng)力；應(yīng)力的常用單位対麵沁正應(yīng)力與軸力具有相同的正負(fù)號，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。（二）拉壓桿斜截面上的應(yīng)力由拉壓桿橫截面上的應(yīng)力均勻分布，可推斷斜截面上的應(yīng)力，也為均勻分布，且其方向必與桿軸平行。斜截面上正應(yīng)力兀=p樣COS G -Cd聖應(yīng)力T

8、 - psin 0 = sin2aa H2式中，z= 面上的正應(yīng)力tt為從岷萬面外袪磯轉(zhuǎn)至斜毎面外牯銭的轉(zhuǎn)角以逆時針轉(zhuǎn)為正/反之為魚.竝壓桿的任一斟截面上，同吋薦在正應(yīng)力口；與剪應(yīng)力q ,苴大小均褪譽(yù)両的方悅彌圧而孌化血口瞞截面）正應(yīng)辦量丈“苴佰為鼻二駛銅截面剪應(yīng)力最大，茸值為剪應(yīng)力符號規(guī)定：將截面外法線 ，沿順時方向旋轉(zhuǎn)900，與該方向同向的剪應(yīng)力為正。七、材料拉壓時力學(xué)性能強(qiáng)度條件破壞（失效）許用應(yīng)力材料破圻陜效）的兩種瑾式當(dāng)正應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)摩扱限 5 時J會引冊裂：當(dāng)正應(yīng)為達(dá)勃屈服應(yīng)力 6 時將嚴(yán)生屁服或出E見 顯薯的堊性變形-同祥,上述斷裂；屈服M強(qiáng)度方面考慮也是衲件的破壞咲敷形式-許用應(yīng)

9、力 構(gòu)樣工隹時的最大溶許值.稱対材鋁的許用應(yīng)力用cn表示即式中，科為大于i的系數(shù).稱為強(qiáng)度安全系甑腕性相輯的許用應(yīng)力対；o= %由于脆性材料均勻性較差，且斷裂又是突然發(fā)生的，其達(dá)到極限應(yīng)力時的危險性要比塑 性材料大的多，因此，在普通荷載作用下，比 大，一般取=1.52.0;對脆性材料規(guī)定取=2.53.0，甚至更大。強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件肯了保證拉壓桿在工作吋不輩因社度不夠而破壞，桿內(nèi)的最丈工作應(yīng)力 不導(dǎo)超過射料的許用應(yīng)力b,即利用上述條件，可解決以下三類問題。對于弩直稈1校核強(qiáng)度_當(dāng)已知拉壓桿所受外力，截面尺寸和許用應(yīng)力，通過比較工作應(yīng)力與許用應(yīng)力大小，以判斷該桿在所受外力作用下能否安全工作。2.選

10、擇截面尺寸若已知拉壓桿所受外力和許用應(yīng)力，由強(qiáng)度條件確定該桿所需截面面積。對于等截面拉壓桿，其所需橫截面面積為A3.確定承載能力若已知拉壓桿截面尺寸和許用應(yīng)力，由強(qiáng)度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為國二印晨后還須扌旨出如里工作應(yīng)力 超過了許用應(yīng)力 Q。但凰趙量圓如不超過許用應(yīng)力的5酮在工程討苣中仍然星允許的.八、軸向拉壓變形軸向拉壓應(yīng)變能當(dāng)桿件承受軸向載荷后，其軸向與橫向尺寸均發(fā)生變化，桿件沿軸向方向的變形稱為軸向變形或縱向變形；垂直于軸向方向的變形稱為橫向變形。與此同時，桿件因變形而貯存的能量，稱為應(yīng)變能。（一）軸向變形與胡克定律設(shè)桿原去脊價載面面積為八在軸向拉力P作用下，桿檜變?yōu)?/p>

11、占-則桿件描戳面上的正應(yīng)力為NFcr =A A釉向喪形皿詁-J珀向銭應(yīng)畫=I胡克走律：在比例極限內(nèi)繼應(yīng)喪與正應(yīng)力成正比即上式稱胡克定律舂明在比洌極限內(nèi)桿的軸冋珈M與軸力乩 稈長？成正比，與乘祝E収反比.乘積E2稱為稈裁面的抗拉壓刖廢.亙中E対比例常數(shù)稱対禪性複量.可見軸向更形/W與癌力甘具有相同的符號，即伸氏肯正.縮短為応匚碳向喪托與柏松比桿原寬度為&，受力陌喪為為.試驗表明：軸向拉伸時，軸向伸長，橫向尺寸減??；軸向壓縮時，軸向縮短，橫向尺寸 增大，即橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變恒為異號。且在比例極限內(nèi)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng) 變成正比。比例系數(shù)用 表示，稱為泊松比。它是一個常數(shù)，其值隨材料而

12、異，由試驗測 定。材料的彈性模量E、泊松比v與剪變模量G之間存在如下關(guān)系：G=-2d斗 3當(dāng)已知任意兩個彈性常數(shù)，即可由上式確定第三個彈性常數(shù)，可見各向同性材料只有兩 個獨立的彈性常數(shù)。（三）軸向拉壓應(yīng)變能NI權(quán)向刪橫向磁蠻Ab = -b泊松比 Al/f- V E應(yīng)變能在外力作用下，桿件發(fā)生變形，力在相應(yīng)的位移上作功，同時在桿內(nèi)貯存的能量 稱為應(yīng)變能。用W表示外力功，用U表示相應(yīng)應(yīng)變能。在線彈性范圍內(nèi)，在靜載荷作用 下，桿內(nèi)應(yīng)變能等于外力功軸向拉壓應(yīng)變能:比能 姪臺罷密度J單懂佛積內(nèi)朗應(yīng)吏用審表示- 軸向SffittlS: u=-二丄CTF= -=V 22 E2【例題1】等直桿承受軸向載荷如圖

13、，其相應(yīng)軸力圖為(A. (A)B. (B) *1-C. (C) D. (D)答案:AnTTrnTTflT：mn例題1團(tuán)mi用二一代人上式，得：EA2SA 21【例題2】橫截面面積為啲等直桿.吊受軸商載荷更絕對值盤大的正應(yīng)力 為I） 3PA.-5PB.竺 AD.4答案:B【例題3】剛度為E等直桿,広受釉向載荷,位于桿內(nèi)K氏的軸向位穆比為（）.3PaA.-EAA.5PaB. -EA9Pac.-SA1.5PaD.-EA答秦上例題2國例題3閨【例題心橫截面為正方充的術(shù)桿弾性梗量E = 1肌10”截面邊長aOcmJ= l50an中段開一長対F寬為色的2帶，桿的左端固定既力圏所示）則各段詡力的犬小關(guān)耒正確

14、的是（）.A.N、N J N.B.&二NNc.N二NN.D.N二N a對答索二c【例題5】在相距2m的AB兩點之間，水平地懸掛一根直徑d=1mm勺鋼型在中點C逐漸增 加荷載P。設(shè)鋼絲在斷裂前服從虎克定律，E=2x 105MPa在伸長率達(dá)到0.5%時拉斷，則 斷裂時鋼絲內(nèi)的應(yīng)力和C點的位移分別為（）a.lot100咖敝b.looo耕刑c.令廈127/陀喘価擷稅cIODO如用用【例題6】桁架如團(tuán)所示.兩桿都是険面桿.禺噸皿，材制栢同-71=150MPaa此結(jié)構(gòu)所能承爰的杲大衙養(yǎng)F為 ）-A. 26.5B.51C.63.6D.47.1答案:B【測題T】如團(tuán)所示彈性平鞭上有兩條平行，且與水平線

15、夾萍為 肚的斛亙錢“ 必和加，當(dāng) 平板兩端作用均布拉應(yīng)力7平板變黑后.它們的關(guān)系為（）BhH顯、於坤減水B.ab U cd# 口角増大t、c&甘“、盤角不孌D一朋不平行于cd答案A例題幗【例題8】低碳鋼拉伸經(jīng)過冷作硬化后，以下四種指標(biāo)中得到提高為在（A.強(qiáng)度極限B.比例極限C.斷面收縮率D.伸長率（延伸率）答案:B【捌題孫如團(tuán)所示為某材料的CT-S曲域逋材糾的客製庭服極限巧衛(wèi)對應(yīng)于曲線上某點的縱坐標(biāo)值，誦點應(yīng)為（hB.CJ d【例題io JnTE所示四種皓構(gòu)善桿血相同-集中力P作用下結(jié)構(gòu)的吏那能分刖用耳、5、S U斗表示則下列緒 論正確的是（DAZ7L Z72 U3 y4Rz?L u4

16、 u3 5 6 7Vs U3c.Z7LZ73?込t/3笞案 p（二）剪 切【內(nèi)容提要】本講主要講連接件和被連接件的受力分析，區(qū)分剪切面與擠壓面的區(qū)別，剪切和擠壓的 計算分析，剪力互等定理的意義及剪切虎克定律的應(yīng)用?！局攸c、難點】訓(xùn)題gg本講的重點是剪切和擠壓的受力分析和破壞形式及其實用計算，難點是剪切面和擠壓面 的區(qū)分，擠壓面積的計算 一、實用（假定）計算法的概念螺栓、銷釘、鉚釘?shù)裙こ躺铣Ｓ玫倪B接件及其被連接的構(gòu)件在連接處的受力與 變形一般均較復(fù)雜，要精確分析其應(yīng)力比較困難，同時也不實用，因此，工程上通常采 用簡化分析方法或稱為實用（假定）計算法。具體是：1對連接件的受力與應(yīng)力分布進(jìn)行簡化假定

17、，從而計算出各相關(guān)部分的“名義應(yīng)力”；2.對同樣連接件進(jìn)行破壞實驗，由破壞載荷采用同樣的計算方法，確定材料的極限應(yīng)力然后，綜合根據(jù)上述兩方面，建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件，作為連接件設(shè)計的依據(jù)。實踐表明，只要簡化假定合理，又有充分的試驗依據(jù)，這種簡化分析方法是實用可靠的。二、剪切與剪切強(qiáng)度條件當(dāng)作為連接件的鉚釘、螺栓、銷釘、鍵等承受一對大小相等、方向相反、作用線互相平 行且相距很近的力作用時，當(dāng)外力過大；其主要破壞形式之一是沿剪切面發(fā)生剪切破壞, 如圖2-1所示的鉚釘連接中的鉚釘。因此必須考慮其剪切強(qiáng)度問題。連接件（鉚釘）剪切面上剪應(yīng)力r:假定剪切面上的剪應(yīng)力均勻分布。于是，剪應(yīng)力與相應(yīng)剪應(yīng)力強(qiáng)度條件分

18、別為%(2-1)Qr=T如(2-2)式中： 。為剪切面上內(nèi)力剪力；為剪切面的面積；懺為許用剪應(yīng)力，其值等于連接 件的剪切強(qiáng)度極限巧 除以安全系數(shù)。如上所述，剪切強(qiáng)度極限耳 值，也是按式(2-1)由剪切破壞載荷確定的。需要注意，正確確定剪切面及相應(yīng)的剪力。例如圖2-1(a)中鉚釘只有一個剪切面，而圖2-1(b)中鉚釘則有兩個剪切面。相應(yīng)的剪力值均為P。三、擠壓與擠壓強(qiáng)度條件在承載的同時，連接件與其所連接的構(gòu)件在相互直接接觸面上發(fā)生擠壓，因而產(chǎn)生的應(yīng) 力稱為擠壓應(yīng)力。當(dāng)擠壓應(yīng)力過大時，將導(dǎo)致兩者接觸面的局部區(qū)域產(chǎn)生顯著塑性變形，因而影響它們的正常配合工作，連接松動。為此必須考慮它們的擠壓強(qiáng)度問題。

19、 如圖22所示的鉚釘連接中的鉚釘與鋼板間的擠壓。連接件與其所連接的構(gòu)件，擠壓面上擠壓應(yīng)力。：假定擠壓面上的擠壓應(yīng)力均勻分布。于是；擠壓應(yīng)力 ，與相應(yīng)的擠壓強(qiáng)度條件分別為cr三昱三絲4曲式中：Pc為擠壓面上總擠壓力；Ac為擠壓面的面積。當(dāng)擠壓面為半圓柱形曲面時取垂直 擠壓力方向直徑投影面積。如圖22所示的取Ac=dt。專為許用擠壓應(yīng)力其值等于 擠壓極限應(yīng)力除以安全系數(shù)。 在實用(假定)計算中的許用剪應(yīng)力 L 、許用擠壓應(yīng)力%，與許用拉應(yīng)力”之間關(guān)系有：對于鋼材=（0.750.80） 7久=（1.702.00）四、純剪切與剪應(yīng)力互等定理（一）純剪切：若單元體上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，稱為純剪切。

20、如圖2-3（a）所示，是單元體受力最基本、最簡單的形式之一。在剪應(yīng)力作用下.相鄰棱邊所夾直角的改變量.稱為剪應(yīng)變，用表示，其單位為rad如圖2-3（b）所示（二）剪應(yīng)力互等定理：在互相垂直的兩個平面上，垂直于兩平面交線的剪應(yīng)力，總是大小相等，而方向則均指向或離開該交線（圖2-3），即：7證明：設(shè)單元體邊長分別為 ，單元體頂、底面剪應(yīng)力為，左、右側(cè)面的 剪應(yīng)力為亠（圖2-4a）則由平衡方程工同理可證，當(dāng)有正應(yīng)力作用時（圖2-3b），剪應(yīng)力互等定理仍然成立五、剪切胡克定律試驗表明，在彈性范圍內(nèi)，剪應(yīng)力不超過材料的剪應(yīng)力比例極限， 剪應(yīng)力 與剪應(yīng)變 成 正比，即壬=Gy式中G稱為材料的剪變模量。上述

21、關(guān)系稱為剪切胡克定律。試驗表明，對于各向同性材料，材料的三個彈性常數(shù) 三、二；，有下列關(guān)系 上述關(guān)系式同樣可從純剪切時應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系中導(dǎo)得。所以，當(dāng)知道任意兩個彈性常數(shù) 后，由上式可以確定第三個彈性常數(shù)。即E、G v間只有兩個獨立常數(shù)?！纠}1】如圖所示圓截面桿件，承受軸向拉力P作用，設(shè)拉桿的直徑為d,端部墩頭的 直徑為D,厚度為；，已知許用應(yīng)力=120MPa許用剪應(yīng)力匸=90MPa許用擠 壓應(yīng)力“ =240MPa試根據(jù)強(qiáng)度方面要求，則D, d，三者間的合理比值為（廠A. 1：1：1B.1:1.223:0.335C.1.223:1:0.335D:0.335:1:1.223答案:C【例題2】如圖

22、所示光圓鋼筋，一端置于混凝土中，另一端外伸端施加一拉力P。（稱鋼筋與混凝土之間抗拔力試驗）。已知鋼筋的直徑d=14mm埋置長度=300mm, P=20kN則鋼筋與混凝土接觸面間平均剪應(yīng)力為。A.122M/搐腫B.C.L42Nf除亦D.L32怕熬賦答案:D【例題3】一外徑為250mm壁厚為lOmmi勺鋼管柱，底部墊置直徑為d的圓鋼板，立于 混凝土底座上（如圖所示）。已知混凝土的許用擠壓應(yīng)力為15MPa鋼的許用擠壓應(yīng)力為150 MPa管柱能夠承受的最大荷載P及所需鋼板的最小直徑d分別為答案:B【例題4】矩形截面的鋼板拉伸試件，如圖所示。為了使拉力兩端部，開有圓孔，孔內(nèi)插入銷釘，作用于試件設(shè)試件與銷

23、釘?shù)牟牧舷嗤湓S用剪應(yīng)力_=100MPa許用擠壓應(yīng)力匸c=300MPa,許用拉應(yīng)力=170MPa試件拉伸時的強(qiáng)度極限=400MPa為了使試件僅在中部被拉斷，則該試件端部，所需尺寸乩 85的大小為（）。（試件中部橫截面尺寸為20mm 5mm）A.164070C.274074C.164080A.1000用310B.1130&；C.1200用D.1200F【例題口直徑為的實心圓軸與內(nèi)、外徑分別為右 恥 二扭轉(zhuǎn)變形公式mo件OL(D訓(xùn)MTl弘及其強(qiáng)度條件rW4i埋入土壤中的鋼管樁，長為人外徑為云材料剪切彈性模量為 s 設(shè)樁表面與土壤 之間，單住面積摩援力為”如圏所示，則樁頂端集中外力偶姬爲(wèi)為

24、()。泌泄 也(D)沁2234答案；B心/刀畀的空心圓軸，兩軸材料相同 ,則兩軸的重量之比( QHQJ為(：l-a?1(C)H-R卩化1険釦(D)4-川帆1-護(hù)弘噸，剛度條長度相孚承受相同扭矩點若兩軸橫截面上的最大剪應(yīng)力相等(AN1 少期)l- a答案；C【例題2】為了使實心圓軸的重量囲電20%,用外徑為內(nèi)徑兩倍的空心圓軸代替，如實心圓軸內(nèi) 最大剪應(yīng)力等于60MPa ,則在空心圓軸內(nèi)最大剪應(yīng)力等于()o(A)50WPa )60MFa(C)53. lMFa (D)6S. lMpa答案:c【例題刃有 1 圓截HffAB,其左端為固定端 承受分布扭矩口的作用圖所示，則該桿B端處扭轉(zhuǎn)角 的公式為(rr

25、rKJILJ心2GZ?【例題5】一空心軸在ISOrpir的轉(zhuǎn)遠(yuǎn)下傳ii6000kW的功率。軸的最大許用剪應(yīng)力r= 80MPa,且 軸每氷長的扭轉(zhuǎn)角不能超過0.突。若軸的外徑等于300唄，剪變模量G二8X10MPS則滿足上述 條件時軸壁的最水厚度為（）。（A） 66ww （B）38mm（C） 56燉瓏（D） 48加加答菲A【例題6】直徑d二100mm兩段機(jī)軸用法蘭和螺栓聯(lián)接成傳動軸如圖所示，軸受扭時的最大剪應(yīng)力為7OMPa,螺栓的直徑右二20眄 并布置在耳二200血的圓周上。設(shè)螺栓的許用剪應(yīng)力T=60MP3,則所需螺栓的個數(shù)最少為C）個。（A）6個 7個（C） 8個（D） 9個答範(fàn)C【例題7】有

26、一外徑為1 00加加、內(nèi)徑為80加用的空心圓軸，與一直徑為80加加的實心圓 軸用犍相聯(lián)接如圖所示。在A輪處由電動機(jī)帶動，輸人功率爲(wèi)二巧0上夥，在B、C輪處分別負(fù)載= 15kW,弘=75熾幾 若己知軸的轉(zhuǎn)速為瀘3Q0r/ndn,許用剪應(yīng)力T二45MP。；鍵的 尺寸為30mmX10X10min,其許用剪應(yīng)力為T=100MPa和化二280嗨，則所需則犍的 個數(shù)為C ）。（A）5個（B）4個（C）3個（D）2個【例題一軸AE傳遞的功率為P7,5kW.轉(zhuǎn)速=360r/tmn .軸的AC段為實心圓截面，CB段為 空心圓截面，如圖所示。己知D = d = 2emo則AC段橫截面邊緣處必剪血力以及CB段橫就面

27、 上外邊緣和內(nèi)邊緣處的剪應(yīng)力最大為（）。（A） 31.2胚（B）31.5MPa（C）46.8倨。（D）513MPa答氧C【例題如圖所示設(shè)二詁，材料的剪變模量為 則受扭軸的應(yīng)變能為（竺孚 羋（C）?。―）羊G趙G忒卻如2（四）截面的幾何性質(zhì)【內(nèi)容提要】本節(jié)主要了解靜矩和形心、極慣性矩和慣性積的概念，熟悉簡單圖形靜矩、形心、慣性 矩和慣性積的計算，掌握其計算公式。掌握慣性矩和慣性積平行移軸公式的應(yīng)用，熟練 掌握有一對稱軸的組合截面慣性矩的計算方法。準(zhǔn)確理解形心主軸和形心主慣性矩的概 念，熟悉常見組合截面形心主慣性矩的計算步驟?！局攸c、難點】重點掌握平行移軸公式的應(yīng)用，形心主軸概念的理解和有一對稱軸

28、的組合截面慣性矩的 計算步驟和方法一、靜矩與形心（一）定義設(shè)任意截面如圖4-1所示，其面積為A,為截面所在平面內(nèi)的任意直角坐標(biāo)系。c兒6為截面形心，其坐標(biāo)為智藥A截面對z軸的靜矩Jy匚截面對 軸的靜矩 截面形心的位置A A（二）特征1.靜矩是對一定的軸而言的，同一截面對不同軸的靜矩值不同。靜矩可能為 正，可能為負(fù)，也可能為零。2.靜矩的量綱為長度的三次方.即。單位為叮 或。3.通過截面形心的坐標(biāo)稱為形心軸。截面對任一形心軸的靜矩為零；反之， 若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必通過截面之形心。4.若截面有對稱軸，則截面對于對稱軸的靜矩必為零，截面的形心一定在該 對稱軸上。5.組合截面（由若干簡單截

29、面或標(biāo)準(zhǔn)型材截面所組成）對某一軸的靜矩，等于 其組成部分對同一軸的靜矩之代數(shù)和（圖4-2），即 密=另fc）=另時“弘=兀伉）=司i-l1-1JIM幾=合截面的形心坐標(biāo)為：-id24i-i0圖4/0圖4-2二、慣性矩 慣性積（一）定義設(shè)任意截面如圖4-3所示，其面積為A,為截面所在平面內(nèi)任意直角坐標(biāo)系。則V.圖4-3丄：=b 創(chuàng)=如截面對匚軸的慣性矩川/ _ zdA = Ai7截面對y軸的慣性矩-珥=JpdA = IEly截面對0點的極慣性矩-如=JTydA截面對匚軸的慣性積（二）特征1慣性矩是對某一坐標(biāo)軸而言的.慣性積是對某一對坐標(biāo)軸而言的，同一截面對不同的 坐標(biāo)軸，其數(shù)值不同。極慣性矩是對

30、點（稱為極點）而言的，同一截面對不同的點，其值 也不相同。慣性矩。極慣性矩恒為正值，而慣性積可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。2.慣性矩、慣性積、極慣性矩的量綱均為長度的四次方，即二。，單位為m4或mrm3.對某一點的極慣性矩恒等于以該點為原點的任一對直角坐標(biāo)軸的慣性矩之和。即4 = 4 +厶4.慣性積是對某一對直角坐標(biāo)的.若該對坐標(biāo)中有一軸為截面的對稱軸，則截面對這一對坐標(biāo)軸的慣性積必為零；但截面對某一對坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這對坐標(biāo)中不一定 有截面的對稱軸5.組合截面對某一軸的慣性矩等于其組成部分對同一軸的慣性矩之和。即左 =工COf” = 幺）7口I組合截面對某一對坐標(biāo)軸的慣性積，等于其組

31、成部分對同一對G=藝h）!坐標(biāo)軸的慣性積之和，即-組合截面對某一點的極慣性矩，等于其組成部分對三、慣性半徑（一）定義設(shè)任意截面，其面積為A,則截面對z軸的慣件半徑r同一點極慣性矩之和，即3-i=PZ截面對y軸的慣性半徑-（二）特征1慣性半徑是對某一定坐標(biāo)軸而言的。2.慣性半徑恒為正值。3.慣性半徑的量綱為長度一次方，即L,單位為m或mm四、慣性矩和慣性積的平行移軸公式 任意截面，面積為A,形心為C,如圖4-3所示。設(shè)z軸與形心軸亠 平行，相距為二y軸與形心軸凡 平行，相距為 -，截面對z、y軸的慣性矩、慣性積分別為- 上；截面對形心軸匚、廠。的慣性矩，慣性積分別為I t,有如下結(jié)論2慣性矩的平

32、行移軸公式T- t + i |,:慣性積的平行移軸公式-1分述如下：截面對于任一軸的慣性矩.等于對其平行形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸 間距離平方之乘積。截面對于任一直角坐標(biāo)軸的慣性積.等于該截面對于平行形心坐標(biāo) 慣性積加上截面面積與其形心的坐標(biāo)之乘積。常用截面幾何性質(zhì)如表下表所示五、形心主慣性軸與形心主慣性矩（一）定義 通過截面形心C點的一對特殊坐標(biāo)軸（二；），其慣積（1-）為零，則該對坐標(biāo)軸（ 1）稱為形心主慣性軸（簡稱形心主軸）。截面對該一對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩（簡稱形心主慣矩）。（二）特征1通過截面形心C,至少具有一對形心主軸2.若截面只有一根對稱軸，則該軸即為形心主軸之

33、一，另一形心主軸為通過形心，并與上述對稱軸垂直的軸。3.若截面有兩根對稱軸，則該兩根軸即為形心主軸。4.若截面有三根（或以上）對稱軸時，則通過形心的任一根軸（所有軸）均為形心 主軸，且形m.cdu24：oL環(huán)呼職業(yè)載育在絨純）.主講；徐光華Ah%uV12721 P121111JTE尸卍d呼門-打11誓UFJtD4J1mi常用It Bi的幾何性質(zhì)心主慣矩均相等。5.若截面沒有對稱軸，則可由定性判定法，即根據(jù)繞形心轉(zhuǎn)動軸，轉(zhuǎn)至截面積根通過形心與之垂直的軸為另一根慣性矩最大）的形心主軸。6.形心主慣性矩是截面對通過同一形心C點， 所有軸的慣性矩中的最大值 （j）和最小值（亠）。截面對于通過同一形心C

34、點的任意一對直角坐標(biāo)軸的兩個慣性矩之和恒 為常數(shù)，即人4人二人+幾二二八7.若截面對通過形心C點的兩主慣性矩相等，貝卩通過形心c點的所有軸均為形 心主軸，且所有形心主慣性矩均相等?！纠}如圖所示，截面的尺寸單位為問則截面對坐標(biāo)軸益y的靜矩為（ 人（A（B）劇館共 燦/閔幻尸咖/（0飛6燈。耳儕才,1480親郴/（D）804103w,768x睡BI tid i 【例題21如圖所示，截面的尺寸單位為松 s 則截面的形心坐標(biāo)為（）o（也）= 0,= 0（B）兒二Ci,j = 8.73g =-8.73,= 0（D）f= 8 73；= 0答案：C【例題3】如圖所示截面對Z軸的慣性矩為（【例題4】截面圖形

35、的面積均在4000楓異左右，則它們對水平形心軸慣性矩的大小順序為（）。41444I(c)3 力耳 答案：B【例題5】如圖所示己知半徑為R的半圓形截面對底邊的慣性矩厶】=加,勺軸平行于習(xí)軸且相距8為乩 則半圓截面對習(xí)軸的慣性矩為（A） 3.2A4 3.30疋（C）3.40A4答菲B(0 -（D）評(D)(D)3.502?4（A）&【瞬6】如圖所示，直角三角形截面對底邊満慣性矩加詁沁則截面對頂砂平仃底 邊D的習(xí)軸的慣性矩為（【例題 E 由兩個25&的櫓型組成如圖所示的截面，當(dāng)組合截面對于兩個對稱軸的慣性矩厶丁時,b的尺寸為（）。（A） 120尿叨（B） 130擁那（C） 140滋叨

36、（D） 143牌叨答執(zhí)D（B）】b陽(0答案；C（D【例題旳 如圖所示矩形截面，B = 120叨舛曲=240燉叫 右Z軸附近若挖去的虛線部分，則挖去后的截面慣性矩與原截面慣性矩之比為（）o(A) 0.723(B)0.802(C)0.912(D) 0.950答案：B120【例題9】如圖所示截面的形心主慣性矩為(A)丄初32【例題 10】 如圖所示四塊L100X100X10的等邊角鋼組成圖 3，、圖吒，兩種截面形式，則這兩種截 )(B)718.04X104WW4,5360X104WK0M0（一）矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力假設(shè)橫截面上各點處的剪應(yīng)力，均平行于剪力或截面?zhèn)冗?并沿橫截面寬度均勻分 布。彎曲

37、剪應(yīng)力公式T二空-C4-5-9）式中/為橫截面上的剪力，婦為整個橫截面對中性軸z的慣性矩；盯為距中性軸泌橫線一側(cè)的部分截面（面積為川）對中性軸Z的靜矩；b為拠橫截面的寬度。 剪應(yīng)力分布 沿截面高度呈拋物線分布。4-5-10）最大剪應(yīng)力 在中性軸處（尸0）剪應(yīng)力最大，其值為3Z37T =-=2bh 2A式中，A為橫截面面積。與精確解相比，當(dāng)h/b2時，上述解答的誤差極??；當(dāng)h/21時，誤差約 為10%。（二）其它常用截面梁最大尊曲剪應(yīng)力/字形主截面。剪應(yīng)力沿腹板高度呈拋物線分布，在中性軸處0 = 0）,剪應(yīng)力最大，其值為（4-5-12）式中，d為腹板厚空心圓截面在中性（4-5-13）式中，內(nèi)徑為

38、&夕卜徑為D；圓形截面最大剪應(yīng)力2比值橫面面積A -1- a24血37（4-5-14）式中A=曲/4（4-5-15）式中式中 丄=感0（三）彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件逼度條件 梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力仏不得超過材料的許用剪應(yīng)力k對于（4-5-16）對于等截面直梁Axv$ zmx=maxmao: ?式中，忌 為全粱橫戯面最大剪力；S；皿為中性軸一側(cè)的橫戯面部分面積對中性軸的靜矩：“為 中性軸處截面寬度（厚度）；厶為整個橫截面對中性軸的慣性矩。（4-5-17）前應(yīng)力的強(qiáng)度計算，同祥有強(qiáng)度校核，截面設(shè)計以及許用載荷的確定三類問題。（四）彎曲正應(yīng)力與彎曲剪應(yīng)力比較梁彎曲吋橫截面上同時存在正應(yīng)力矩形截面，最

39、大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲剪應(yīng)力分別為：_ 6P7_ 3P3=莎比較亙二件J 匕丿圓形截面：最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲剪應(yīng)力分別為:表明對一般細(xì)長的y4d）實心與厚壁截面梁，最犬彎曲正應(yīng)力與最大彎曲剪應(yīng)力之比 值的數(shù)量級，約等于梁的垮高比（即，仏可見彎曲正應(yīng)力是主要的。因此只需按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件逬行分析計算即可$對于薄壁截面梁：彎矩較小而剪力較大的粱（如短粗粱）,集中載 荷作用靠近支座的梁等，不僅妾考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件。而且妥考慮彎曲剪應(yīng)力矗度條件。梁強(qiáng)度的全面校核同時對下列可能的危險點進(jìn)行強(qiáng)度校核，1.保證橫截面彎曲正應(yīng)力最大點（單問應(yīng)力狀態(tài)）是安全的。見式（4-5-7）,式（4-5-8）2.

40、保證橫截面彎曲剪應(yīng)力最大點（純剪應(yīng)力狀態(tài)）是安全的。見式（4-5-16）,式（4-5-17）3.保證橫截面彎曲正應(yīng)力利彎曲剪應(yīng)力同時存在、且相當(dāng)大的點（復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)）是安全的。三、梁的合理曜度設(shè)計i殳計梁主要依據(jù)是彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件二獸引打 可見，梁的彎曲弓雖度與其所用的材 料、橫截面的形狀與尺寸、以及由外力引起的彎矩有纂。可從以下幾方面合理地設(shè)計梁。（一）梁的合理截面形狀合理截面形狀用較小的截面面積（節(jié)約材料）A,獲得較大抗黑截面系數(shù)討的截面（提高強(qiáng)度）?？箯?截面系數(shù)一般與截面高度的平方成比。因此面積大小一定，宜將較多材料置于遠(yuǎn)離中性軸的部位, 從彎曲正應(yīng)力沿截面高度線性分布，當(dāng)離中性軸最

41、遠(yuǎn)各點處正應(yīng)力達(dá)到許用值時，中性軸附近處的 正應(yīng)力還很小，沒有充分利用。將較多材料置于離中性軸較遠(yuǎn)部位，將提高材料的利用率?？箯澖孛嫦禂?shù)與橫截面面積的比值審/A衡量截面的合理性與經(jīng)濟(jì)效益。矩形截面=0.167AI字型鋼截面一二CO. 27-0. 31）A實心圓截面=0.125DA圓管形截面里二1十農(nóng) Q二0 20了0a = d/D = 0.3/ 8可見I字型鋼比矩形截面，圓管截面比實心圓截面更合理、更經(jīng)濟(jì)?？估c抗壓啞度相同的塑性材料粱宜采用中性軸為對稱軸的截面，抗拉強(qiáng)度低于抗壓強(qiáng)度的腕 性材料梁，則最好采用中性軸偏于受拉一側(cè)的非對稱軸的截面。（二） 變截面梁與等強(qiáng)度梁變義面梁 根據(jù)彎矩沿梁軸的變化MK,將梁相應(yīng)設(shè)計成橫截面滬卍沿梁變化的梁， 稱為變截面 梁。 等強(qiáng)度粱 各個橫截面具有同樣強(qiáng)度的梁，稱為等強(qiáng)度梁。是一神理想的變截面梁。（三） 梁的合理受力提高梁強(qiáng)度旳另一重要途徑是合理安排梁的約東（支座）和加載方式。此外，給靜定梁増加約東（支座）制成超靜定梁.對于提高粱的強(qiáng)度以及剛度也將起到顯著作用。四、彎曲中心（一）薄壁梁的彎曲剪應(yīng)力剪應(yīng)力流 薄壁截面上的剪應(yīng)力作用線平行于截面周邊的切結(jié)方向，并