絕對(duì)值大全(零點(diǎn)分段法-化簡(jiǎn)-最值)

1、絕對(duì)值大全（零點(diǎn)分段法、化簡(jiǎn)、最值）一、去絕對(duì)值符號(hào)的幾種常用方法解含絕對(duì)值不等式的基本思路是去掉絕對(duì)值符號(hào)，使不等式變?yōu)椴缓^對(duì)值符號(hào)的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法和途徑是解題關(guān)鍵。1利用定義法去掉絕對(duì)值符號(hào)根據(jù)實(shí)數(shù)含絕對(duì)值的意義，即|=，有|<；|>2利用不等式的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化|<或|>(>0)來(lái)解，如|>(>0)可為>或<；|<可化為<+<，再由此求出原不等式的解集。對(duì)于含絕對(duì)值的雙向不等式應(yīng)化為不等式組求解，也可利用結(jié)論“|或”來(lái)求解，這是種典

2、型的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。3利用平方法去掉絕對(duì)值符號(hào)對(duì)于兩邊都含有“單項(xiàng)”絕對(duì)值的不等式，利用|=可在兩邊脫去絕對(duì)值符號(hào)來(lái)解，這樣解題要比按絕對(duì)值定義去討論脫去絕對(duì)值符號(hào)解題更為簡(jiǎn)捷，解題時(shí)還要注意不等式兩邊變量與參變量的取值范圍，如果沒(méi)有明確不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)，需要進(jìn)行分類討論，只有不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)(式)時(shí)，才可以直接用兩邊平方去掉絕對(duì)值，尤其是解含參數(shù)不等式時(shí)更必須注意這一點(diǎn)。4利用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值符號(hào)所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù)，分別使含有|，|，|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對(duì)值為零，稱，為相應(yīng)絕對(duì)值的零點(diǎn)，零點(diǎn)，將數(shù)軸分為+1段，利用絕對(duì)值的意義化去絕對(duì)值符號(hào)，得到代數(shù)式在各段上的簡(jiǎn)

3、化式，從而化為不含絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式來(lái)解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。5利用數(shù)形結(jié)合去掉絕對(duì)值符號(hào)解絕對(duì)值不等式有時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合，利用絕對(duì)值的幾何意義畫(huà)出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求解。數(shù)形結(jié)合法較為形象、直觀，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，此解法適用于或(為正常數(shù))類型不等式。對(duì)(或<)，當(dāng)|時(shí)一般不用。二、如何化簡(jiǎn)絕對(duì)值絕對(duì)值的知識(shí)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，在中考和各類競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有

4、絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)學(xué)問(wèn)題又是學(xué)生遇到的難點(diǎn)之一，解決這類問(wèn)題的方法通常是利用絕對(duì)值的意義，將絕對(duì)值符號(hào)化去，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)部分的正負(fù)，借以去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法大致有三種類型。（一）、根據(jù)題設(shè)條件例1：設(shè)化簡(jiǎn)的結(jié)果是（   ）。（A） （B）  （C）  （D）思路分析：由可知可化去第一層絕對(duì)值符號(hào)，第二次絕對(duì)值符號(hào)待合并整理后再用同樣方法化去解：應(yīng)選（B）歸納點(diǎn)評(píng)  只要知道絕對(duì)值將合內(nèi)的代數(shù)式是正是負(fù)或是零，就能根據(jù)絕對(duì)值意義順利去掉絕對(duì)值符號(hào)，這是解答這類問(wèn)題的常規(guī)思路（二）、借助數(shù)軸例2：實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)

5、軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式的值等于（  ）（A）  （B）  （C）  （D）思路分析  由數(shù)軸上容易看出，這就為去掉絕對(duì)值符號(hào)掃清了障礙解：原式應(yīng)選（C）歸納點(diǎn)評(píng)  這類題型是把已知條件標(biāo)在數(shù)軸上，借助數(shù)軸提供的信息讓人去觀察，一定弄清：1零點(diǎn)的左邊都是負(fù)數(shù)，右邊都是正數(shù)2右邊點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊點(diǎn)表示的數(shù)3離原點(diǎn)遠(yuǎn)的點(diǎn)的絕對(duì)值較大，牢記這幾個(gè)要點(diǎn)就能從容自如地解決問(wèn)題了（三）、采用零點(diǎn)分段討論法例3：化簡(jiǎn)思路分析  本類型的題既沒(méi)有條件限制，又沒(méi)有數(shù)軸信息，要對(duì)各種情況分類討論，可采用零點(diǎn)分段討論法，本例的難點(diǎn)在于的正

6、負(fù)不能確定，由于x是不斷變化的，所以它們?yōu)檎?、為?fù)、為零都有可能，應(yīng)當(dāng)對(duì)各種情況一討論解：令得零點(diǎn)：；令得零點(diǎn)：，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個(gè)部分（如圖）當(dāng)時(shí),   原式當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，  原式歸納點(diǎn)評(píng)：雖然的正負(fù)不能確定，但在某個(gè)具體的區(qū)段內(nèi)都是確定的，這正是零點(diǎn)分段討論法的優(yōu)點(diǎn)，采用此法的一般步驟是：1求零點(diǎn)：分別令各絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為零，求出零點(diǎn)（不一定是兩個(gè)）2分段：根據(jù)第一步求出的零點(diǎn)，將數(shù)軸上的點(diǎn)劃分為若干個(gè)區(qū)段，使在各區(qū)段內(nèi)每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的部分的正負(fù)能夠確定3在各區(qū)段內(nèi)分別考察問(wèn)題4將各區(qū)段內(nèi)的情形綜合起來(lái)，得到問(wèn)題的答案誤區(qū)點(diǎn)撥  千萬(wàn)不要想當(dāng)然地把

7、等都當(dāng)成正數(shù)或無(wú)根據(jù)地增加一些附加條件，以免得出錯(cuò)誤的結(jié)果三、帶絕對(duì)值符號(hào)的運(yùn)算      在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何去掉絕對(duì)值符號(hào)？因?yàn)檫@一問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，所以往往容易被人們忽視。其實(shí)它既是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，還是學(xué)生容易搞錯(cuò)的問(wèn)題。那么，如何去掉絕對(duì)值符號(hào)呢？我認(rèn)為應(yīng)從以下幾個(gè)方面著手：     （ 一）、要理解數(shù)a的絕對(duì)值的定義。在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中，數(shù)a的絕對(duì)值是這樣定義的，“在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值?！睂W(xué)習(xí)這個(gè)定義應(yīng)讓學(xué)生理解，數(shù)a的絕

8、對(duì)值所表示的是一段距離，那么，不論數(shù)a本身是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，它的絕對(duì)值都應(yīng)該是一個(gè)非負(fù)數(shù)。      （二）、要弄清楚怎樣去求數(shù)a的絕對(duì)值。從數(shù)a的絕對(duì)值的定義可知，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值肯定是它的本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值必定是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值就是零。在這里要讓學(xué)生重點(diǎn)理解的是，當(dāng)a是一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，怎樣去表示a的相反數(shù)（可表示為“-a”），以及絕對(duì)值符號(hào)的雙重作用（一是非負(fù)的作用，二是括號(hào)的作用）。      （三）、掌握初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)去掉絕對(duì)值符號(hào)的幾種題型。1、對(duì)于形如a的一類問(wèn)題 只要根據(jù)絕對(duì)值的

9、3個(gè)性質(zhì)，判斷出a的3種情況，便能快速去掉絕對(duì)值符號(hào)。 當(dāng)a>0時(shí)， a= a (性質(zhì)1：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身) ； 當(dāng)a=0 時(shí)， a= 0 (性質(zhì) 2：0的絕對(duì)值是0) ； 當(dāng) a<0 時(shí)；a= a (性質(zhì)3：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)) 。2、對(duì)于形如a+b的一類問(wèn)題首先要把a(bǔ)+b看作是一個(gè)整體，再判斷a+b的3種情況，根據(jù)絕對(duì)值的3個(gè)性質(zhì)，便能快速去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行化簡(jiǎn)。 當(dāng)a+b>0時(shí)，a+b= (a+b) =a +b (性質(zhì)1：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身) ； 當(dāng)a+b=0 時(shí)，a+b= (a+b) =0 (性質(zhì) 2：0的絕對(duì)值是0)； 當(dāng) a+b<0 時(shí)，a+b=

10、 (a+b)=a-b (性質(zhì)3：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù))。3、對(duì)于形如a-b的一類問(wèn)題同樣，仍然要把a(bǔ)-b看作一個(gè)整體，判斷出a-b 的3種情況，根據(jù)絕對(duì)值的3個(gè)性質(zhì)，去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行化簡(jiǎn)。但在去括號(hào)時(shí)最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。如何快速去掉絕對(duì)值符號(hào)，條件非常簡(jiǎn)單，只要你能判斷出a與b的大小即可（不論正負(fù)）。因?yàn)榇?小=小-大=大-小，所以當(dāng)a>b時(shí)， a-b=（a-b）= a-b，b-a=（a-b）= a-b ?？谠E：無(wú)論是大減小，還是小減大，去掉絕對(duì)值，都是大減小。4、對(duì)于數(shù)軸型的一類問(wèn)題，根據(jù)3的口訣來(lái)化簡(jiǎn)，更快捷有效。如a-b的一類問(wèn)題，只要判斷出a在b的右邊（不論正負(fù)），便可得到a-

11、b=（a-b）=a-b，b-a=（a-b）=a-b 。5、對(duì)于絕對(duì)值符號(hào)前有正、負(fù)號(hào)的運(yùn)算非常簡(jiǎn)單，去掉絕對(duì)值符號(hào)的同時(shí)，不要忘記打括號(hào)。前面是正號(hào)的無(wú)所謂，如果是負(fù)號(hào)，忘記打括號(hào)就慘了，差之毫厘失之千里也！6、對(duì)于絕對(duì)值號(hào)里有三個(gè)數(shù)或者三個(gè)以上數(shù)的運(yùn)算   萬(wàn)變不離其宗，還是把絕對(duì)值號(hào)里的式子看成一個(gè)整體，把它與0比較，大于0直接去絕對(duì)值號(hào)，小于0的整體前面加負(fù)號(hào)。四、去絕對(duì)值化簡(jiǎn)專題練習(xí)（1）  設(shè) 化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（  B  ）。（A）   （B）   （C）   （D） (2)  實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)

12、軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式 的值等于（  C ）。（A）   （B）   （C）   （D） (3)  已知 ，化簡(jiǎn) 的結(jié)果是 x-8 。 (4)  已知，化簡(jiǎn) 的結(jié)果是 -x+8 。 (5)  已知，化簡(jiǎn) 的結(jié)果是 -3x 。 (6) 已知a、b、c、d滿足 且 ，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助數(shù)軸完成）(7) 若 ，則有（ A  ）。（A）   （B）   （C）   （D） (8) 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則式子 化簡(jiǎn)結(jié)果為（ C&

13、#160; ） （A）   （B）   （C）   （D） (9) 有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，那么下列四個(gè)式子， 中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是（B  ）（A）0  （B）1  （C）2  （D）3(10) 化簡(jiǎn) =(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4x2) (3)3x(x>2)(11) 設(shè)x是實(shí)數(shù)， 下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ D  ）。（A）y沒(méi)有最小值（B）有有限多個(gè)x使y取到最小值（C）只有一個(gè)x使y取得最小值（D）有無(wú)窮多個(gè)x使y取得最小值五、絕對(duì)值培優(yōu)教案絕對(duì)值是初中代數(shù)中的

14、一個(gè)基本概念，是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算及后續(xù)二次根式的基礎(chǔ)絕對(duì)值又是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，在解代數(shù)式化簡(jiǎn)求值、解方程（組)、解不等(組)、函數(shù)中距離等問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用，全面理解、掌握絕對(duì)值這一概念，應(yīng)從以下方面人手：l絕對(duì)值的代數(shù)意義：2絕對(duì)值的幾何意義從數(shù)軸上看，表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(長(zhǎng)度，非負(fù)) ；表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離3絕對(duì)值基本性質(zhì)非負(fù)性：；培優(yōu)講解（一）、絕對(duì)值的非負(fù)性問(wèn)題【例1】若，則 。總結(jié)：若干非負(fù)數(shù)之和為0， 。（二）、絕對(duì)值中的整體思想【例2】已知，且，那么= 變式1. 若|m1|=m1，則m_1; 若|m1|>m1，則m_1;（三）、絕對(duì)值相關(guān)化簡(jiǎn)問(wèn)題（零

15、點(diǎn)分段法）【例3】閱讀下列材料并解決有關(guān)問(wèn)題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個(gè)結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得（稱分別為與的零點(diǎn)值）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：（1）當(dāng)時(shí)，原式=;（2）當(dāng)時(shí)，原式=；（3）當(dāng)時(shí)，原式=。綜上討論，原式=通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1） 分別求出和的零點(diǎn)值；（2）化簡(jiǎn)代數(shù)式變式1.化簡(jiǎn) (1)； (2)；變式2.已知的最小值是，的最大值為，求的值。（四）、表示數(shù)軸上表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離【例4】（距離問(wèn)題）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列

16、各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：_ .（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 _.（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為 ，取得最小值時(shí)x的取值范圍為 _.（4） 滿足的的取值范圍為 _ .（5） 若的值為常數(shù)，試求的取值范圍（五）、絕對(duì)值的最值問(wèn)題【例5】（1）當(dāng)取何值時(shí)，有最小值？這個(gè)最小值是多少？（2）當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？這個(gè)最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值?！纠?】已知，設(shè)，求M 的最大值與最小值課后練習(xí)：1、若與互為相反數(shù)，求的值。2若與互為相反數(shù)，則與的大小關(guān)系是( ) A B C D3已知數(shù)軸

17、上的三點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)，1，一l，那么表示( ) AA、B兩點(diǎn)的距離 BA、C兩點(diǎn)的距離 CA、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和 D A、C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和4.利用數(shù)軸分析，可以看出，這個(gè)式子表示的是到2的距離與到的距離之和，它表示兩條線段相加：當(dāng) 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨的增大而越來(lái)越大；當(dāng) 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨的減小而越來(lái)越大；當(dāng) 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論在這個(gè)范圍取何值，這兩條線段的和是一個(gè)定值 ，且比、情況下的值都小。因此，總結(jié)，有最小值 ，即等于 到 的距離 5. 利用數(shù)軸分析，這個(gè)式子表示的是到的距離與到1的距離之差它表示兩條線段相減：當(dāng) 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論取何值，這個(gè)差值是一個(gè)定值 ；當(dāng) 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論取何值，這個(gè)差值是一個(gè)定值 ；當(dāng) 時(shí)，隨著增大，這個(gè)差值漸漸由負(fù)變正，在中點(diǎn)處是零。 因