數(shù)學(文)二輪復(fù)習通用講義：專題一第五講專題提能——優(yōu)化思路上高全面清障把漏補VIP

1、第五講專題提能一一優(yōu)化思路上高度，全面清障把漏補、易錯易誤層面防止思維定式，實現(xiàn)“移花接木”因混淆向量共線與垂直的坐標表示而失誤例1(2018河北邢臺月考)設(shè)向量a=(3,2),b=(6,10),c=(x,-2).若(2a+b)，c,則x=()B. 312A-77C.67D.3解析因為a=(3,2),b=(6,10),所以2a+b=(12,14).因為c=(x,2),且(2a+b)±c,所以(2a+b)c=0,即12x28=0,解得x=7,故選D.3答案D微評向量共線與向量垂直的坐標表示極易混淆，其突破的口訣是“平行交差，垂直相加；即對于非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2)

2、,a/b?xiy2X2yi=0,而a，b?X1X2+y1y2=0.本題易誤得12X（2）14x=0,從而誤選A.因不會變角求值而解題受阻cosa+6j= -3,則 sin2a+7 a.25又 cos一1,所以 sin:22所以 sin 22sin (a+6,Cos因為7<2 ! a+ 3sin 24,29 <0，所以加2例2（2019屆高三陜西西安聯(lián)考）設(shè)“為銳角，若值為（）7亞8B. 18,2cT解析法一：因為“為銳角，所以6<a+6<2T,663所以 cos 2 a+sin2 2422_7.一9廠一9所以 sin 2 a+12 j(兀 兀、2 葉 3 4/=sin

3、2兀1 7f6.廠4=sin 2s4- cos 2 a+兀in4A. - 2B. .2-27>/2-81a.故選B.I8:坐法二：因為a為銳角，所以6<a+6<g，7t-11又cos(x+6廣35所以sin(x+12sin a+所以 sin 2 a+6廠一4 .2方cos 2a+1 2sin ! a+X2= 79'所以 sin(2 a+12 != sin / a+a工3一4=sinJC6. 4_=sin 2s4 cos 2 a+兀in47v2-818答案B微評(1)破解此類題的關(guān)鍵是應(yīng)用角的變換法,觀察所給的角的特點與要求的三角函數(shù)中的角的特點來進行角的變換.如本題中

4、，先把2葉12$t化為2升；4,再轉(zhuǎn)化為2Q+7t4.(2)解此類題時需要特別注意的地方是在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時，一定要注.TT意角的取值范圍.如本題中由為銳角，可知計6的范圍，這樣可以避免錯解回1因忽視對三角形解的個數(shù)討論而失分例3在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2bsinA,c=43b.(1)求B的值；(2)若ABC的面積為2m，求a,b的值.解(1)在祥BC中，已知a=2bsinA,根據(jù)正弦定理，得sinA=2sinBsinA,因為sin1一,。一一，一，AW0,所以sinB=2,所以B=30或B=150,又c>b,所以C>B,所以角B為

5、銳角，所以B=30°.(2)由(1)知，B=30°,根據(jù)余弦定理，得b2=a2+c2-2accos30；因為c=V3b,所以2b23ab+a2=0,所以a=b或a=2b,1又S以Bc=2acsin30=2g3,所以ac=83,a=4,a=2-72,聯(lián)立，解得S或1b=2b=2>/2.微評(1)應(yīng)用正弦定理求角時容易出現(xiàn)增解或漏解的錯誤，要根據(jù)條件和三角形的限制條件合理取舍.(2)求角時易忽略角的范圍而導(dǎo)致錯誤，需要根據(jù)大邊對大角，大角對大邊的規(guī)則，畫圖幫助判斷.二、技巧優(yōu)化層面一一靈活運用策略，嘗試“借石攻玉”tni|特取法一一快解三角、向量的基本問題例1(1)設(shè)a,

6、b,c是單位向量，且ab=0,則(ac)(bc)的最小值為()C. 1D.1-72(2)如果AiBiCi的三個內(nèi)角的余弦值分別等于4A2B2c2的三個內(nèi)角的正弦值，則()A. AiBiCi和A2B2c2都是銳角三角形B. AiBiCi和AzB2c2都是鈍角三角形C. AiBiCi是鈍角三角形，A2B2c2是銳角三角形D. AiBiCi是銳角三角形，A2B2c2是鈍角三角形(3)求值：cos2a+cos2(a+i20)+COS2(a+240)=.解析(i)由已知條件可知向量a,b是互相垂直的單位向量，故構(gòu)造a=(i,0),b=(0,i).又c是單位向量，故設(shè)c=(cosa,sin力，貝U(ac)

7、(bc)=(icosa,sino)(cos%isina)=isinacosa=i一小(Gsin4/,.(a-c)(b-c)>i-V2,故選D.(2)在AAiBiCi中,令A(yù)i=45°,Bi=60°,Ci=75°,在那2B2c2中，令A(yù)2=i35°,B2=30°,C2=i5,滿足cosAi=sinA2,cosBi=sinB2,cosCi=sinC2,則AiBiCi是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形.故選D.3(3)令a=0，得原式=2.、3答案(i)D(2)D(3)2微評(i)本例(i)的已知條件中涉及單位向量，我們可以通過構(gòu)造特殊的向

8、量(cosa,sina),將向量數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，從而使得問題簡化.(2)本例(2)依賴特殊圖形與特殊角的思想，讓復(fù)雜難以理解的問題最后用簡單的思想詮釋，取得了事半功倍的效果.常見的特殊圖形有：三角形特殊”成直角三角形或等邊三角形；四邊形特殊”成正方形；棱柱特殊”成正方體等.(3)本例(3)中的a具有任意性，所以a無論怎么取，結(jié)果始終是一個定值.01換兀法一一求解三角函數(shù)值域問題換元法又稱變量替換法，是我們解題常用方法之一.對結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的式子，可把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替(即換元)，可以化繁為簡，化難為易.本專題常用換元法解決最值問題.例2設(shè)a>0,

9、求f(x)=2a(sinx+cosx)sinxcosx2a2的最大值和最小值.解設(shè)sinx+cosx=t,則tC-小，企,由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,得sinxcosx=t21t12121.f(x)=g(t)=2at-2-2a=2(t2a)+2(a>0),t-72,小.當t=一淄時，g取最小值一2a2242a；;若2a>R當t=V2時，g(t)取最大值2a2+2a2;1若0<2a<*,當t=2a時，g(t)取最大值2.12213OF，所以f(x)的最小值為2a2-2V2a-,最大值為2a2+2V2aJ微評此題利用局部換元法，設(shè)sinx+cosx=

10、t后，抓住sinx+cosx與sinxcosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題.換元過程中一定要注意參數(shù)的范圍（t-V2,V2）與sinx+cosx的范圍對應(yīng)，否則將會出錯.三、數(shù)學思想層面一一系統(tǒng)學科思維，實現(xiàn)“觸類旁通”（一）數(shù)形結(jié)合思想一一解決與三角函數(shù)有關(guān)的方程根的問題以及向量模的問題例1（1）（2018深圳調(diào)研）已知關(guān)于x的方程sinx+cosx=m在0,nt有兩個不等的實根，則m的一個值是（）A.0BlC.D.1(2)已知awe,|e|=1,對任意tCR,恒有|ate|刁ae|,則()B.a±(ae)C.e_l_(ae)D.(a+e)&#

11、177;(ae)解析(1)由題可設(shè)得m=sinx+cosx=2sinix+4又4&x+j&5,令t=x+；,則4<tw?,由題意及函數(shù)y=V2sintjjC：,亨加圖象可知，1WmR2,結(jié)合選項可知選D.(2)如圖，設(shè)6=a,OE=e,則|ae|=PEA|,|a一te|表示連接點A,一,、與直線OE上的點的線段的長度d,由題意，|EA|為d的最小值，此日EAXOE,即el(a-e),故選C.答案(1)D(2)C微評本例(1)將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線y=m與函數(shù)y=V2sin!+4)圖象交點的個數(shù)解決；本例(2)利用向量的幾何特征，將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，顯得直觀、簡潔.

12、(二)函數(shù)與方程思想一一解決已知三角函數(shù)值求值或求角問題例2已知在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,C=120°,c=2.求ABC的面積的最大值；(2)求ABC的周長的取值范圍.解(1)法一：由余弦定理得4=a2+b2+ab.由基本不等式得4=a111111sin 2A+ 4cos 2A-2sin(2A+30)-4,4=4,當且僅當 A= 30 時等號成立.+b2+ab>2ab+ab=3ab,所以abw4,當且僅當a=b時等號成立.3所以三角形的面積S=gabsinC&；x,申=申.22323一一3所以ABC的面積的最大值為二法二：由sin A sin B

13、sin C4.33 ，B.44_134得a=-3-sinA,b=sin11二角形的面積 S= 2absin C = 2X432_34,33-sinAsinBx23sinAsinB.因為在ABC中，C=120°,所以A+B=60°,得B=60-A,且0°<A<60°,31231皿所以sinAsinsinAsin®-A)=2sinAc0sA2sinA=4sin2A4"cos2A)=4所以sw第*4=坐所以ABC的面積的最大值為當.(2)由(1)中法二可知，a = 3sin A, b = -3sin B.所以4ABC 的周長 l

14、=a+b + c=，g(sin A + sin B) + 2. 3因為在4ABC中，C=120°,所以A+B = 60°,得 B=60-A,且 0°<A<60°,所以sin A + sin B= sin A+ sin(6013A)=2sin A+cos A= sin(A+60 ),所以l = 43-3sin(A+ 60 °)+ 2.因為60°<A+60O<120O,所以學<sin(A+60戶1.即9BC的周長的取值范圍是4、3 °3 +2微評把解三角形與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)綜合起來進行考

15、查是高考命題的主要方向，其基本解題思路是使用正、余弦定理，三角恒等變換等把求解目標化為關(guān)于三角形中某個內(nèi)角的三角函數(shù)，通過研究該三角函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論四、遷移應(yīng)用層面強化發(fā)散思維，做到“把根留住”形如"asin a+ bcos a= c”求值的6種考法典例已知題根探究一，一一.3a 為第二象限角，sin a+ cos a= 3 ,則 cos 2 a=(),5A.彳 3R-5B-9C. 9,5解析由sina+ cos a=當'兩邊平方得 sin 2 a= 2,(sin a cos o)2= 1 sin 2 a=5.333為第二象限角，sin o>0, cos a<0

16、,15. sin a cos a= 3 ,. cos 2 a= (sin a cos o)(sin a+ cos 公一吏3 .答案A考查角度已知式給出的是單角，求的是二倍角的余弦值.變式應(yīng)用求正、氽弦高次方需的和由正余弦的 線性關(guān)系求 正切值由三個二角構(gòu)造正切和 比的關(guān)系求的他利用方 用的范圍 程根求解求二角形 .唯狀變式1已知a是三角形的一個內(nèi)角,1 1且sin+ cos片5,則這個二角形的形狀是A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.都有可能解析：選B 由已知得sin ocos12 - aa=-,又 sin 0>0,則 cos 必0,所以 a 二,252町，故選B.變式21 已

17、知 sin x+ cos x= 5,貝U sin3x+ cos3x=()A.12251 C.2537D.125解析:D 由已知得sin xcos12 x=,25,sin3x+ cos3x= (sin x+ cos x)(sin2x sinxcos x,2、+ cos x)=37125.變式3若cosa+2sina=V5,則tanB.1A.2C.解析：選B因為 cos a+ 2sin a=-寸5，所以cos2 a+ 4cos o(sin a+ 4sin2a= 5,即cos2 a+ 4cos osin a+ 4sin2 a 1 + 4tan a+ 4tan2 acos2 a+ sin2 a1 +

18、tan2 a解得tan a= 2,選B.若 sin a+ cos a= tan a 0<變式4解析:則選 C tan a= sin a+ cos a=后sin a+4 花(1, J2,則 如4, 3)選 C.D.2變式5已知A,B是ABC的兩個內(nèi)角，且tanA,tanB是方程x2+mx+m+1=0的兩個實根.求:角C的大小；（2）實數(shù)m的取值范圍.解：（1）因為tanA,tanB是方程x2+mx+m+1=0的兩個實根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得tanAtanB=m+1,tanA+tanB=m,所以tanC=-tan(A+B)=-tanA+tanB=_1，故C=3-1tanAtanB4(2)因為

19、 A, B(0, 4 ), tan A, tan B 均在區(qū)間(0,1)上，故 m=x2+1x+ 1x+ 1 +2-x+ 1+2=Jt+p卜2,t=x+1(1,2).這個關(guān)于t的函數(shù)在（1,V2上單調(diào)遞增，在業(yè)2）上單調(diào)遞減，故1<m<2-2-72,即mC（-1,2-22.五、創(chuàng)新發(fā)展層面一一關(guān)注臨界問題，挖掘“學科潛力”（一）臨界問題有些高考綜合題的命題背景往往是競賽數(shù)學或高等數(shù)學問題，這類經(jīng)過“加工”的問題，可視為高考與競賽或初等數(shù)學與高等數(shù)學的臨界問題.例1凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，其具有如下性質(zhì)：若定義在（a,b）上的函數(shù)f（x）是凸函數(shù)，則對任意的小b)(i=1,2,，n)

20、,必有f.fn+f(x1)+瞥廠+fxn)成立.已知y=sinx是(0,可上的凸函數(shù)，利用凸函數(shù)的性質(zhì)，當ABC的外接圓半徑為R時，其周長的最大值為.解析由凸函數(shù)的性質(zhì)可得sinA+B+C=sinSinA+sinB”"C3333.32一，一_?；g得sinA+sinB+sinC<3sin-=3設(shè)a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,利用正弦定理可得三角形的周長l=a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC)<2RX323=3V3R,即周長的最大值為33R.答案3,3R微評本題是以凸函數(shù)的性質(zhì)為背景，巧妙地考查了正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合凸函數(shù)的性質(zhì)可使問題得以解決.(二)

21、臨界法則教材中有許多以黑體字呈現(xiàn)或方框框起來的公式、定理和性質(zhì)，它們是重要的解題依據(jù).除了這些約定俗成的公式、定理和性質(zhì)外，還有一些處于“法定”與“編外”之間的公式、定理和性質(zhì)，我們不妨將其統(tǒng)稱為“臨界法則”.本專題常用的“臨界法則”有：(1)三角函數(shù)中的"合一變形"，即asinx+bcosx=a2+b2sin(x+昉，其中巾滿足cos1 asin=,解決很多三角綜合問題都離不開它.w,a2+b2,a2+b2(2)射影定理：在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.(3)已知ABC

22、中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則Wa7=/b=WcF=2R外接圓sinasinbsinc例2在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.asinBcosC+csinBcosA1=2b,且a>b,則B=()B.jt35兀兀A.6c2-解析由射影定理可知acosC+ccosA=b,則(acosC+ccosA)sinB=bsinB,111一又asinBcosC+csinBcosA=2b,則有bsinB=b,sinB=-.Xa>b,所以A>B,則bc82;故b=6，答案A微評本題巧用射影定理：b=ccosA+acosC,簡化了運算，得出sinB的值求解.專題提能訓練

23、A組一一易錯清零練1 .(2018河北邢臺月考)設(shè)向量a=(3,2),b=(6,10),c=(x,2).若(2a+b)，c,則x=()A.12TB. - 37C.67D.3解析：選D因為a=(3,2),b=(6,10),所以2a+b=(12,14).因為c=(x,2),且(2a+b)lc,所以(2a+b)c=0,即12x28=0,解得x=7,故選D.3.兀人.、，.，、r，2 .(2018河南中原名校質(zhì)量考評)將函數(shù)y=sin(2x+昉的圖象沿x軸向左平移l個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則。的一個可能取值為()兀兀A"B"3 6兀C.0D;4“一一一一，,兀解析：選B

24、將函數(shù)y=sin(2x+的圖象沿x軸向左平移各個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin2(x+6)+4=sin!2x+；+9因為所得函數(shù)為偶函數(shù)，所以n3c+4=kTt+2：kZ),即QkTt+6(kCZ),則小的一個可能取值為6c,故選B.3.(2017全國卷出)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=血,c=3,則A=.解析：由正弦定理，得sinB=bsnC=>sin60=乎因為0ob<180。所以b=45。c32或135°.因為bvc,所以BVC,故B=45°,所以A=180°-60°-

25、45°=75°.答案：75B組一一方法技巧練.一.L兀1.已知向量a,b,且|a|=43,a與b的夾角為g,a±(2a-b),則|b|=()A.2B.C.3D.解析：選B如圖，作6A=aOB=ba,b>2a,貝UBC=2ab.由a!(2ab)可知，OC1BC.在RtDCB中，OC=2|a|力J6,作比=25，cosa,b>=OB="|bp="2，解得|b|=4.故選B.2.在ABC中，A=120°,若三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則最長的邊長為（）A.15B.14C.10D.8解析：選B在那BC中，A=120°,

26、則角A所對的邊a最長，三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，不妨設(shè)b=a4,c=a8(a>8).由余弦定理得a2=(a4)2+(a8)22(a4)(a8)cos120；即a218a+56=0,所以a=4(舍去)或a=14.3.(2018廣州模擬)已知ABC的三個頂點A,B,C的坐標分別為(0,1),42,0),(0,2),O為坐標原點，動點P滿足|CP|=1,則|OA+OB+6P|的最小值是()A.3-1B.,11-1C.m+1D.Vii+1解析：選A已知點C坐標為(0,2),且|存|=1,所以設(shè)P(cos0,2+sin0),則/廠22r廠|OA+OB+OP|='(cos0+42)+(s

27、in。-1)=丫4+272cos0-2sin0=W+zScos(+I/4-2/3=-73-1.4.已知AB為圓O:(x1)2+y2=1的直徑，點P為直線xy+1=0上任意一點，則"PAPB的最小值為()A.1B.V2C.2D.2V2解析：選A由題意，設(shè)A(1+cos0,sin九P(x,x+1),則B(1cos0,sin.PA>>>=(1+cos0x,sin0-x1),PB=(1cos0x,sin0x1),.PAPB=(1+cos0x)(1cos0x)+(sin0x1)(sin0x1)=(1x)2cos20+(x1)2sin20=2x2+1>1,當且僅當x=0時

28、，等號成立，故選A.5 .在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=5,a=3,cos(BA)=7,9則ABC的面積為()B.15A.解析：選C如圖所示，在邊AC上取點口使人=/人8口，則cos/DBC=cos(ZABC-A)=7,設(shè)AD=DB=x,在ABCD中，由余弦定理得，(5-x)1 2 +2： 2' 2 +1、,： 2 + 1ABC=absin C<><2乂看=-4一.所以4ABC 面積的最大值為 一47.已知函數(shù) f(x) = cos2x+ V3sin( 兀-x)cos(兀+ x)2(1)求函數(shù)f(x)在0,兀止的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角 AB

29、C中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知f(A) = 1, a = 2, bsin C=asin A,求 ABC 的面積.解：(1)f(x)= cos2x V3sin xcos x；9=9+x2-2X3xX7-,解得x=3.故BD=BC,在等腰三角形BCD中，DC邊9一1一上的高為2用,所以S/ABC=X5X2/2=572,故選C.6 .已知在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=1,cosBsinC+(asinB)cos(A+B)=0.(1)求角C的大小;(2)求4ABC面積的最大值.解：(1)由cosBsinC+(asinB)cos(A+B)=0,可得co

30、sBsinC(asinB)cosC=0,即sin(B+C)=acosC,sinA=acosC,IPsinA=cosC.因為sinA=sinC=sinC,所以cosCaac=sinC,即tanC=1,C=4.(2)由余弦定理得12=a2+b22abcos4=a2+b2&ab,所以 a2+ b2= 1 + V2ab > 2ab,ab<三2-V22 + 2當且僅當a=b時取等號，所以Sa1+cos2xJ31(哈=22sin2x2=sinpx6卜.兀一兀一兀由2kjt2x6<2k7t+2，kCZ,一萬一萬.、，兀得kL&x<kTt+§,kCZ,又xC0

31、,nt.函數(shù)f(x)在0,nt止的單倜遞減區(qū)間為0,3節(jié)兀1和方,J.(2)由(1)知f(x)=singx6.f(A)=sin2A6廠1,/ABC為銳角三角形，0<A<2,6<2Aca兀兀rt|-rA兀2A6=2,即a=3.又bsinC=asinA,.bc=a2=4,.SaBC=2bcsinA=V3.C組一一創(chuàng)新應(yīng)用練1,已知ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,重心為G,若2sinA石A+，3sinBGJB+3sinCGC=0,則cosB=解析：設(shè)a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,由正弦定理得2a6+43b石百+3cGC=0,3c GC =- 3c(- GA GB),即(2a3

32、c)GA+(V3b-3c)GB=0.又GA,GB不共線，2a-3c=0,所以f由此得2a=<3b=3c,1 .V3b-3c=0,所以a=-23b,c=gb,于是由余弦定理得a2+c2-b2cos B =2ac112-、一，.，一一一一，一一、民、，B一一，一一一2 .對任意兩個非零的平面向量”和&定義a3=y:6平面向量a,b滿足|a|>|b|>0,a與b的夾角長口，4；,且a°b和b°a都在集合|nZ沖，則ab=ab|a|b|cosg|a|cos9斛析：ab=bb=Hb=|b|，|b|a|cos(|b|cos022=|a|a|.二2<cos 依1.又|a|引b|>0,.0<|b|wi.0<*cos0<1,即0<ba<1.|a|n11-baC|nU：b°a=.x，得(a°b)(b°a)=coJ錢仁，1j,11r3.-<2(ab)<1,即1<ab<2,.ab=2