數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用結(jié)論

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用結(jié)論、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列得基本公式通項(xiàng)公式：ana1 （n 1）d（從第1項(xiàng)ai開(kāi)始為等差）an am (n m)d（從第m項(xiàng)am開(kāi)始為等差）anamndanam(nm)ddanamnm前n項(xiàng)與公式：Snn(aian)na1nd22(2)證明等差數(shù)列得法方定義法：對(duì)任意得n,都有an1and（d為常數(shù)）an為等差數(shù)列an為等差數(shù)列等差中項(xiàng)法：2an1anan2(nN)通項(xiàng)公式法：an=pn+q（p,q為常數(shù)且pw0）an為等差數(shù)列即：通項(xiàng)公式位n得一次函數(shù)，公差dp,首項(xiàng)a1Pq前n項(xiàng)與公式法：Snpn2qn（p,q為常數(shù)）an為等差數(shù)列即：關(guān)于n得不含常數(shù)項(xiàng)得二次函數(shù)（3

2、）常用結(jié)論若數(shù)列an,bn為等差數(shù)列，則數(shù)列ank,kgan,anbn,kanb（k,b為非零常數(shù)）均為等差數(shù)列、*右m+n=p+q（m,n,p,qN）,貝Uanam=apaq、特別得，當(dāng)n+m=2k時(shí)，得anam=2ak在等差數(shù)列an中，每隔k（kN）項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)得順序排列，所得得數(shù)列仍仍為公差為3d得等差數(shù)為等差數(shù)列，且公差為（k+1）d（例如：a1,a4,a7,a10列）若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記Skaia2a,®Skak1ak2a2k,2SskS2ka2k1a2k2a3k,則Sk,S2kSk,SkSk仍成等差數(shù)列，且公差為kdS.若Sn為等差數(shù)列an得前n項(xiàng)與，則數(shù)列也

3、為等差數(shù)列、Sl,(n 1)S Si,(n 2)此性質(zhì)對(duì)任何一種數(shù)列都適用求Sn最值得方法:若a1>0,公差d<0,則當(dāng)時(shí)，則Sn有最大值，且Sk最大;,、，ak0r,一一一，若ai<0,公差d>0,則當(dāng)k時(shí)，則&有最小值，且Sk最??；aki0II:求前n項(xiàng)與Snpn2qn得對(duì)稱軸，再求出距離對(duì)稱軸最近得正整數(shù)k,當(dāng)nk時(shí)，Sk為最值，就是最大或最小，通過(guò)Sn得開(kāi)口來(lái)判斷。二、等比數(shù)列(1)等比數(shù)列得基本公式通項(xiàng)公式：ana1qn1(從第1項(xiàng)a1開(kāi)始為等比)anamqnm(從第m項(xiàng)am開(kāi)始為等差)前n項(xiàng)與公式：Sna1(1q),(q1),Snna1,(q1)1q

4、(2)證明等比數(shù)列得法方定義法：對(duì)任意得n,都有an1qan(an0)aq(q0)an為等比數(shù)列an等比中項(xiàng)法：an2an1an1(an冏10)an為等比數(shù)列通項(xiàng)公式法：anaqna,q是不為0的常數(shù))an為等比數(shù)列(3)常用結(jié)論若數(shù)列an,bn為等比數(shù)列，則數(shù)列1,kgan,an2,a2n1,anbnananbn(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列、*.右m+n=p+q(m,n,p,qn)，貝Uangam=apgaq、2特力1J得，當(dāng)n+m=2k時(shí)，得angam=ak，.»、一.*一、在等比數(shù)列an中，每隔k(kN)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)得順序排列，所得得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為 qk 1

5、(例如：a1, a4, a7, a10仍為公比3 .q得等比數(shù)列)若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記Sk al a2ak ,S2kS<1 1ak 2a2k , S3kS2ka2k 1a2k 2則Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等比數(shù)列，且公差為q三、求任意數(shù)列通項(xiàng)公式an得方法(1)累加法：若an滿足an+1=an+f(n)利用累加法求：an(anan 1)ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)例題：若a11,且an1an2n,求：an練習(xí)題：若數(shù)列an滿足an1an2n10,且a10(2)累乘法：若an滿足an1 f (n) an利用累乘法求：anana1g(包)3駕1包的a1a2a3

6、Q)an 1例題：在數(shù)列an中，a11一，an 12n 1an ,本：an n練習(xí)題：在數(shù)列an中,al1且annan，求：an(提示:1 2 3 .n n!)(3)遞推公式中既有Sn ,又有an用逐差法§n=1anSn Sn1 n 2特別注意：該公式對(duì)一切數(shù)列都成立。(4)若an滿足an 1panq,( p q),則兩邊加：x旦,在提公因式P,構(gòu)P 1造出一個(gè)等比數(shù)列，再出求:an例題：已知數(shù)列an,滿足:an 12an 1 ,且 a11,求：an習(xí)題1:已知數(shù)列an滿足:an 13an 1 且 a11 ,求：an習(xí)題2：已知數(shù)列an滿足:求:an(5)若an滿足an 1npan

7、p,則兩邊同時(shí)除以：pn 1,構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列,再求出：an例題：已知an滿足:a11 an 12an 2n 1 ,求：an解：an 1 2an 2nan1anan7n二，既有：kT1 2222所以：”就是首項(xiàng)為:2nai1.一得等差數(shù)列2an1靛彳(n 1)22習(xí)題1:已知an 1 3an所以：an3n 1 且 a1 1 ,求:ann1習(xí)題2：已知an12an32且a11,求:(六)待定系數(shù)法：若an滿足以下關(guān)系:an1kanfn都可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)變成一個(gè)等比數(shù)列來(lái):溫馨提示：提k,對(duì)f(n)待定系數(shù)例題1:已知數(shù)列a。滿足an12an35n,&6,求數(shù)列為得通項(xiàng)公式、解：an1x

8、5n12(anx5n)an12an3x5n,與原式對(duì)應(yīng)得，x1n1an15n12(an5n)且-2an5所以：an5n就是首項(xiàng)a511,公比q2得等比數(shù)列既有：an 5n2n1nan52n例題2 ：已知數(shù)列 an滿足an i 3an 5解：an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y)與原式對(duì)應(yīng)得：X 5,y 2an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)所以：an 5 2n 2就是首項(xiàng)為：既有：an 5 2n 2 13 3n 1an2n 4, a1 1,求數(shù)列an得通項(xiàng)公式、an 1 3an x 2n 2y ,an 1 5 2n 1 2 3an 5 2n 2a1 5 21 2

9、13,公比q 3得等比數(shù)列13 3n 1 5 2n 2（七）顛倒法：若an滿足：an1用顛倒法;anCc C an an 1an C1an 1an CC ananC anC 1C an Can1所以：工，所以：就是以首項(xiàng)為：,，公差d工得等差數(shù)列an1anCana1C例題1：已知am2,且a2,求：anan2例題2：已知an1an3an3an1,且a11,求：an（八）倒數(shù)換元法：若數(shù)列an滿足：an1Aan,則顛倒變成nn1BanCLan 1B an C C”A anA anAq1然后再用兩邊加： 一q一或者待定系數(shù)法既可求出一，再顛倒就可得到:P 1anan2a.一例題：右數(shù)列 an滿足：

10、an 1 ，且a1 1 ,求：anan 3解：an 12anan 31an 13 11一，兩邊力口:2 an21得:an 11332 an 2an 13 12Dan 1Tan所以:1就是首項(xiàng)為:既有:anan2 (|)n 1an3。 12n 22n 2an若用待定系數(shù)法:an 12anan 3ananan 12 anan 12 anq 3得等比數(shù)列;22n 23n 1an 12n3/1、2(a x)2 an1，一，、一， 一.1x與原式子對(duì)應(yīng)得 x 1 ,然后得方2法同上;習(xí)題：已知3an1an2an 1an 且 a11求:an1四、求前n項(xiàng)與Sn得方法(1)錯(cuò)位相減求與主要適用于等差數(shù)列與等

11、比數(shù)列乘積得數(shù)列得前n項(xiàng)與；或者就是等差與o既:等比得商得前n項(xiàng)與；(就是商得時(shí)候，適當(dāng)轉(zhuǎn)變一下就變成了乘積形式)設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求:anbn或互得前n項(xiàng)與常用此方法(曳都轉(zhuǎn)變?yōu)閎乘積形式)例題1 :已知數(shù)列an2n ,數(shù)列 4得前n項(xiàng)與0求數(shù)列an bn得前n項(xiàng)與Tn例題2:求數(shù)列an3n 12n得an bn得前n項(xiàng)與Sn習(xí)題1：求：Sn_ 2_ 3_2 4 227 23 . (3n 2)2n習(xí)題2:設(shè)數(shù)列an(2n 1)3n 1,求an得前n項(xiàng)與Sn(2)裂項(xiàng)相消求與適用于ann (n k)得形式，變形為：ann (n k)例題：求數(shù)列an1得前n項(xiàng)與Snn(n1)習(xí)題1:求數(shù)列an1一得前n項(xiàng)與Snn(n2)習(xí)題2:求數(shù)列1111, 2 , . 2、3 , , n v n 1得前n項(xiàng)與、(3)、分組法求與：有些數(shù)列就是與可以分成幾部分分開(kāi)求，在進(jìn)行加減;例題：求an3n2n1得前n與Sn?習(xí)題1:已知就是一個(gè)遞增得等差數(shù)列且a?a445,a1a§14,烝前n項(xiàng)與為S