數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)最全匯總VIP

1、第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù) 1 實(shí)數(shù)授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1實(shí)數(shù)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：（1） 理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；（2） 牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用教學(xué)方法：講授（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)程序：引言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了數(shù)學(xué)分析這門課程的研究對(duì)象、主要內(nèi)容等話題從本節(jié)課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容首先，從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開始問題為什么從“實(shí)數(shù)”開始答：數(shù)學(xué)分析研究的基本對(duì)象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的（后繼課

2、復(fù)變函數(shù)研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)）為此，我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)1、實(shí)數(shù)有理數(shù)：任何有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)形式9（p,q為整數(shù)且q0）表示，P也可以用有限十進(jìn)小數(shù)或無限十進(jìn)小數(shù)來表示無理數(shù)：用無限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù)表示.Rx|x為實(shí)數(shù)-全體實(shí)數(shù)的集合.問題有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對(duì)統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的.為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)”.為此作如下規(guī)定：對(duì)于正有限小數(shù)xa0aa2La，其中0ai9,i1,2,L,na0,a0為非負(fù)整數(shù)，記xa.aiLani（an1）9999L;對(duì)于正整數(shù)xa0,則記x（a。1）.9999L；對(duì)于負(fù)有限小

3、數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,則先將y表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號(hào).0表示為0=0.0000L例：2.0012.0009999L；32.9999L；2.0012.009999L;32.9999L利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示.在此規(guī)定下，如何比較實(shí)數(shù)的大??？2、兩實(shí)數(shù)大小的比較1）定義1給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)xaaLanL,ymbLbnL.其中a0,bo為非負(fù)整數(shù)，ak,bk（k1,2,L）為整數(shù)，0ak9,0bk9.若有akbk,k0,1,2,L,則稱x與y相等，記為xy；若a。bo或存在非負(fù)整數(shù)l,使得akbk,k0,1,2,L,l,而a1bI1,則稱x大于y或y小于x,

4、分別記為xy或yx.對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)x、y,若按上述規(guī)定分別有xy或xy,則分別稱為xy與xy（或yx）.規(guī)定：任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).（3） 實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件（通過有限小數(shù)來比較）.定義2（不足近似與過剩近似）：xa.a1LanL為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)xna0.a1Lan為實(shí)數(shù)x的n位不足近似；xn2稱為實(shí)數(shù)x的n10n位過剩近似，n0,1,2,L.對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)xa0.a1LanL,其n位不足近似xna0.a1Lann;n10位過剩近似xna0.a1Lan.注：實(shí)數(shù)x的不足近似當(dāng)n增大時(shí)不減，即有xx1x2L;過剩近似R當(dāng)n增大時(shí)不增，即有x0x1x2L.命題：記xa0.a1LanL,yb0

5、.b1LbnL為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則xy的等價(jià)條件是：存在非負(fù)整數(shù)n,使xn京（其中xn為x的n位不足近似，%為y的n位過剩近似）.命題應(yīng)用例1.設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，xy,證明存在有理數(shù)r,滿足xry.證明：由xy,知：存在非負(fù)整數(shù)n,使得工yn.令ryn,2則r為有理數(shù)，且xxnrYn3、實(shí)數(shù)常用性質(zhì)（詳見附錄n.P289P02）.1）封閉性（實(shí)數(shù)集R對(duì),）四則運(yùn)算是封閉的即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實(shí)數(shù)2）有序性：a,bR,關(guān)系ab,ab,ab,三者必居其一，也只居其一.3）傳遞性：a,b,cR,若ab,bc,則ac.4）阿基米德性：a,bR,ba0nN使得nab5）稠密性：兩個(gè)不

6、等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù)6）一對(duì)應(yīng)關(guān)系：實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.例2.設(shè)a,bR,證明：若對(duì)任何正數(shù)，有ab，則ab.（提示：反證法利用“有序性”，取ab）二、絕對(duì)值與不等式1、絕對(duì)值的定義實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值的定義為|a|a，a0.aa02、幾何意義從數(shù)軸看，數(shù)a的絕對(duì)值|a|就是點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離.|xa|表示就是數(shù)軸上點(diǎn)x與a之間的距離.3、性質(zhì)1) |a|a|0;|a|0a0(非負(fù)性)；2) |a|a|a|；3)| a | hh a h，|a| hh a h.(h 0) ；4)對(duì)任何a,bR有|a|b|ab|a|b|(三角不等式)；5)|ab|a|b|；6)|aI|b|三、幾個(gè)

7、重要不等式1、a2b22ab,sinx1.sinxx.2、均值不等式：對(duì)ai，a2，,anR,記M(aj氏3電1nai，(算術(shù)平均值)nniiinnG(aJVaia2and,(幾何平均值)i1H(ai)丁一?74TJ.(調(diào)和平均值)aia2anniiaiiiai有平均值不等式：H(aJG(aJM(a)即：iaia2ann aa2 L anai a2Lan等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)aia2an時(shí)成立.3、Bernoulli不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)xi,有不等式(ix)ninx,nN.當(dāng)xi且x0,nN且n2時(shí),有嚴(yán)格不等式(ix)ninx.證：由ix0且ix0,(ix)nni(ix)niiinn

8、(ix)nn(ix).(ix)ninx.4、利用二項(xiàng)展開式得到的不等式：對(duì)h0,由二項(xiàng)展開式(1 h)n1 nhn(n 1) h2 n(n 1)(n 2) h3 hn,2!3!(1 h)n上式右端任何一項(xiàng).練習(xí)P4. 5課堂小結(jié)上實(shí)數(shù):實(shí)數(shù)及其性質(zhì)絕對(duì)值與不等式作業(yè)P4.1.(1),2.(2)、(3),32數(shù)集和確界原理授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)一一2數(shù)集和確界原理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求：(1)掌握鄰域的概念；(2)理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用.教學(xué)重點(diǎn)：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)(確界原理).教學(xué)難點(diǎn)：確界的定義及其

9、應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，此后導(dǎo)入新課.引言上節(jié)課中我們對(duì)數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡要討論；此后又讓大家自學(xué)了第一章1實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.下面，我們先來檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何!1、證明：對(duì)任何xR有：(1)|x1|x2|1；(2)|x1|x2|x3|2.(1Qx11(x2)1x2,|x1x21)(2)x1|x21,x2x31,x2x32.三式相加化簡即可)2、證明：|x|y|xy|.3、設(shè)a,bR,證明：若對(duì)任何正數(shù)有ab，則ab.4、設(shè)x,yR,xy,證明：存在有理數(shù)r滿足yrx.引申:由題1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科研時(shí)的

10、經(jīng)常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？由上述幾個(gè)小題可以體會(huì)出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深理解,語言應(yīng)用.提請(qǐng)注意這種差別，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具.本節(jié)主要內(nèi)容：1、先定義實(shí)數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集一一區(qū)間與鄰域；2、討論有界集與無界集；3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理(確界原理).一、區(qū)間與鄰域1、區(qū)間(用來表示變量的變化范圍)16設(shè)a,bb.區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間開區(qū)間：xR|axb(a,b)有限區(qū)間閉區(qū)間：xR|axba,b半開半閉區(qū)間

11、閉開區(qū)間:xR|axb開閉區(qū)間：xR|axba,b)(a,b無限區(qū)間xR|xaa,).xR|xa(,a.xR|xa(a,).xR|xa(,a).xR|xR.2、鄰域聯(lián)想：“鄰居”.字面意思:“鄰近的區(qū)域”.與a鄰近的“區(qū)域”很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于a的對(duì)稱區(qū)間”；如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？(1)a的鄰域：設(shè)aR,0,滿足不等式|xa|的全體實(shí)數(shù)x的集合稱為點(diǎn)a的鄰域，記作U(a;),或簡記為L&aTP|f一一0(3-6aa-8xU(a;)x|xa|(a,a).其中a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑(2)點(diǎn)a的空心鄰域U o(a; ) x 0 | x a |o,、(a

12、,a)(a,a)U(a).(3)a的右鄰域和點(diǎn)a的空心右鄰域U(a;)a,a)U(a)xaxaU0(a;)(a,a)U0(a)xaxa(4)點(diǎn)a的左鄰域和點(diǎn)a的空心左鄰域U(a;)(a,aU(a)xaxa;U0(a;)(a,a)U0(a)xaxa.(5) 鄰域，鄰域，鄰域U()x|x|M,(其中M為充分大的正數(shù))；U()xxM,U()xxM二、有界集與無界集1、 定義1(上、下界)：設(shè)S為R中的一個(gè)數(shù)集.若存在數(shù)M(L),使得一切xS都有xM(xL),則稱S為有上(下)界的數(shù)集.數(shù)M(L)稱為S的上界(下界)；若數(shù)集S既有上界，又有下界，則稱S為有界集.閉區(qū)間a,b、開區(qū)間(a,b)(a,b為

13、有限數(shù))、鄰域等都是有界數(shù)集，集合Eyysinx,x(,)也是有界數(shù)集.若數(shù)集S不是有界集，則稱S為無界集.(,),(,0),(0,)等都是無界數(shù)集，集合Eyy-,x(0,1)也是無界數(shù)集.x注：1)上(下)界若存在，不唯一；2)上(下)界與S的關(guān)系如何？看下例：例1討論數(shù)集Nn|n為正整數(shù)的有界性.解：任取n0N,顯然有n01,所以N有下界1；但N無上界.因?yàn)榧僭O(shè)N有上界M,則M0按定義,對(duì)任意n0N,者B有n0M,這是不可能的，如取n0M1(符號(hào)M表示不超過M的最大整數(shù))，則nN,且nM.綜上所述知：N是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集.例2證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集；（2）無限區(qū)

14、間都是無界集；（3）由有限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集.問題:若數(shù)集S有上界，上界是唯一的嗎？對(duì)下界呢？（答：不唯一，有無窮多個(gè)）.三、確界與確界原理1、定義定義2（上確界）設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿足：（1）對(duì)一切xS,有x（即是S的上界）；（2）對(duì)任何，存在hS,使得飛（即是S的上界中最小的一個(gè)），則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界，記作supS.從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者.命題1MsupE充要條件1） xE,xM;2） o,xoS,使得xoM.證明：必要性，用反證法.設(shè)2）不成立，則00,使得xE,均有xM。，與M是上界中最小的一個(gè)矛盾.充分性（用反證法），設(shè)M不是E的上確界，即M0是上

15、界，但MMo.令MMo0,由2）,x0E,使得x0MM0,與M0是E的上界矛盾.定義3（下確界）設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿足：（1）對(duì)一切xS,有x（即是S的下界）；（2）對(duì)任何，存在xS,使得x0（即是S的下界中最大的一個(gè)），則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界，記作infS.叢定義小可以得出.；.工確界就是工界中的最大者、.infS的充要條件:1) xE,x；2) 0,X0S,有X0上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.例3(1)S1(-)-，則supS1;infS0.n(2) Eyysinx,x(0,).貝UsupS1;infS0注：非空有界數(shù)集的上(或下)確界是唯一的.命題3：設(shè)數(shù)集A有上（下）確界，則這上（

16、下）確界必是唯的.證明：設(shè)supA,supA且supAxA有xsupA對(duì),xA使x0,矛盾.例：supR0,supn-1,infn-nzn1nZn1E5,0,3,9,11則有infE5.開區(qū)間a,b與閉區(qū)間a,b有相同的上確界b與下確界a例4設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有SA.則有supSsupA,infSinfA.例5設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對(duì)xA和yB,都有xy,則有supAinfB.證明：yB,y是A的上界，supAy.supA是B的下界,supAinfB.例6A和B為非空數(shù)集，SAB.試證明：infSmininfA,infB.證明：xS,有xA或xB,由infA和infB分別是A和B的下界，有

17、xinfA或xinfB.xmininfA,infB.即mininfA,infB是數(shù)集S的下界,infSmininfA,infB.又SA,S的下界就是A的下界，infS是S的下界，infS是A的下界，infSinfA;同理有infSinfB.于是有infSmininfA,infB.綜上,有infSmininfA,infB.1 .數(shù)集與確界的關(guān)系：確界不一定屬于原集合.以例3為例做解釋.2 .確界與最值的關(guān)系:設(shè)E為數(shù)集.(1) E的最值必屬于E,但確界未必，確界是一種臨界點(diǎn).(2)非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.(3)若maxE存在，必有maxEsupE.對(duì)下確界有類似的

18、結(jié)論.4. 確界原理:Th1.1(確界原理).設(shè)S非空的數(shù)集.若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.這里我們給一個(gè)可以接受的說明ER,E非空，xE，我們可以找到一個(gè)整數(shù)p，使得p不是E上界，而p1是E的上界.然后我們遍查p.1,p.2,p.9和p1,我們可以找到一個(gè)q0,0q09,使得網(wǎng)0不是E上界，p.(q01)是E上界，如果再找第二位小數(shù)5,，如此下去，最后得到Pq0qiq2,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，即為E的上確界.證明：（書上對(duì)上確界的情況給出證明，下面講對(duì)下確界的證明）不妨設(shè)S中的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù)n,使得1）xS，有xn；2）存在x1S,有xn1；把區(qū)間（n,n1

19、10等分，分點(diǎn)為n.1,n.2,.,n.9,存在n1,使得1）S,有；xn.n1；2）存在x2S,使得x2n.n1110.再對(duì)開區(qū)間（n.n1,n.n1110等分，同理存在n2,使得1）對(duì)任何xS，有xn.n1n2；2）存在x2，使x2n.nQ卡繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對(duì)任何k1,2,存在nk使得1）對(duì)任何xS，xnn”木；2）存在xkS,xkn.n1n2nk.因此得到n.n1n2nk.以下證明infS.（i）對(duì)任意xS,x;（ii）對(duì)任何，存在xS使x.作業(yè):P91(1),(2);2;4(2)、(4);73函數(shù)概念授課章節(jié)：第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)一一3函數(shù)概念教學(xué)目的：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念.教學(xué)要求

20、：（1）深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示法；（2）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序：引言關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解.為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對(duì)此作進(jìn)一步討論.一、函數(shù)的定義1 .定義1設(shè)D,MR,如果存在對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)xD,存在唯一的一個(gè)數(shù)yM與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在數(shù)集D上的函數(shù)，記作f:DMx|y.數(shù)集D稱為函數(shù)f的定義域，x所對(duì)應(yīng)的y,稱為f在點(diǎn)x的函數(shù)值，記為

21、f(x).全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)f的值域，記作f(D).即f(D)y|yf(x),xD.2 .幾點(diǎn)說明(1)函數(shù)定義的記號(hào)中“f:DM”表示按法則f建立D到M的函數(shù)關(guān)系，x|y表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也記作x|f(x).習(xí)慣上稱x自變量，y為因變量.(2)函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域.當(dāng)對(duì)應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來.因此，函數(shù)的基本要素為兩個(gè)：定義域和對(duì)應(yīng)法則.所以函數(shù)也常表示為：yf(x),xD.由此，我們說兩個(gè)函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對(duì)應(yīng)法則.例如：1)f(x)1,xR,g(x)1,xR0.(不相同，對(duì)應(yīng)法則相同，定義域不同)2)(x)|x

22、|,xR,(x)Tx7,xR.(相同，只是對(duì)應(yīng)法則的表達(dá)形式不同).(3)函數(shù)用公式法(解析法)表示時(shí)，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域(自然定義域).此時(shí)，函數(shù)的記號(hào)中的定義域可省略不寫，而只用對(duì)應(yīng)法則f來表示一個(gè)函數(shù).即“函數(shù)yf(x)”或“函數(shù)f”.(4) “映射”的觀點(diǎn)來看，函數(shù)f本質(zhì)上是映射，對(duì)于aD,f(a)稱為映射f下a的象.a稱為f(a)的原象.(5)函數(shù)定義中，xD,只能有唯一的一個(gè)y值與它對(duì)應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)”，若對(duì)同一個(gè)x值，可以對(duì)應(yīng)多于一個(gè)y值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù).本書中只討論單值函數(shù)(簡稱函數(shù)).二、函數(shù)的表示方法1主

23、要方法：解析法(公式法)、列表法(表格法)和圖象法(圖示法).2可用“特殊方法”來表示的函數(shù).1)分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來表示.y1,x0例如sgnx0,x0,(符號(hào)函數(shù))1,x0（借助于sgnx可表示f （x）|x|,即 f (x) | x| xsgnx)222）用語言敘述的函數(shù).（注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例1）yx（取整函數(shù)）比如：3.5=3,3=3,卜3.5=-4.常有xxx1,即0xx1.與此有關(guān)一個(gè)的函數(shù)yxxx（非負(fù)小數(shù)函數(shù)）圖形是一條大鋸，畫出圖看一看.2 ）狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)1,當(dāng)x為有理數(shù)，D（x）0,當(dāng)x為無理數(shù)，這是一個(gè)病態(tài)函數(shù)，很有

24、用處，卻無法畫出它的圖形.它是周期函數(shù)，但卻沒有最小周期，事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期.3 ）黎曼（Riemman函數(shù)L當(dāng)xE（p,qN,上為既約分?jǐn)?shù)）,R（x）qqq0,當(dāng)x0,1和（0,1冶的無理數(shù).三函數(shù)的四則運(yùn)算給定兩個(gè)函數(shù)f,xDi,g,xD2,記DDiUD2,并設(shè)D,定義f與g在D上的和、差、積運(yùn)算如下：F(x)f(x)g(x),xD；G(x)f(x)g(x),xD；H(x)f(x)g(x),xD.若在D中除去使g(x)0的值，即令DgDxg(x)0,xD2,可在Dg上定義f與g的商運(yùn)算如下；L(x)fxxDg.g(x)注：1)若DD1UD2，則f與g不能進(jìn)行四則運(yùn)算.2)為敘述方

25、便，函數(shù)f與g的和、差、積、商常分別寫為:ffg,fg,fg,.g四、復(fù)合運(yùn)算1.引言在有些實(shí)際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.速度為V,則功率E為例：質(zhì)量為m的物體自由下落，E mg2t2.Emv22vgt抽去該問題的實(shí)際意義，我們得到兩個(gè)函數(shù)f(v)-mv2,vgt,把2v代入f,即得_122f(v(t)mgt.2這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合”，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”.問題任給兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；2yf(u)arcsinu,uD1,1,ug(x)2x,xER.就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的

26、定義域的交集不空(從而引出下面定義)2.定義(復(fù)合函數(shù))設(shè)有兩個(gè)函數(shù)yf(u),uD,ug(x),xE,Egxf(x)DIE,若Eg,則對(duì)每一個(gè)xEg,通過g對(duì)應(yīng)D內(nèi)唯個(gè)值u,而u又通過f對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)值y,這就確定了一個(gè)定義在Eg上的函數(shù)，它以x為自變量，y因變量，記作yf(g(x),xEg或f和g的復(fù)合函數(shù)，并稱f為y(fog)(x),xEg.簡記為fog.稱為函數(shù)外函數(shù)，g為內(nèi)函數(shù)，u為中間變量.3.例子f(u).u, u g(x) 1 x2.g (x) f g(x).并求定義域.f(1 x)1,f(x)12 . xf(x)(A.B.1,C.x2 2,D.x22.討論函數(shù)f (u) 瓜u

27、0,)與函數(shù)g(x) ,1 x2,x R能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).4說明1)復(fù)合函數(shù)可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成.每次復(fù)合，都要驗(yàn)證能否進(jìn)行？在哪個(gè)數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么?例如：ysinu,uW,v1x2,復(fù)合成：ysin.1x2,x1,1.2)不僅要會(huì)復(fù)合，更要會(huì)分解.把一個(gè)函數(shù)分解成若干個(gè)簡單函數(shù)，在分解時(shí)也要注意定義域的變化.yloga.1x,x(0,1)ylogaU,u、z,z1x2. yarcsinx21yarcsinu,uv,vx21.2 y2sinxy2u,uv,vsinx.五、反函數(shù)1 .引言在函數(shù)yf(x)中把x叫做自變量，y叫做因變量.但需要指出的是，自變量與因

28、變量的地位并不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的，例如：f(u)疝,ut21,那么u對(duì)于f來講是自變量，但對(duì)t來講，u是因變量.習(xí)慣上說函數(shù)yf(x)中x是自變量，y是因變量，是基于y隨x的變化現(xiàn)時(shí)變化.但有時(shí)我們不僅要研究y隨x的變化狀況，也要研究x隨y的變化的狀況.對(duì)此，我們引入反函數(shù)的概念.2 .反函數(shù)概念定義設(shè)f:XR是一函數(shù)，如果x1,x2X,由Xix2f(Xi)f(x2)(或由f(x1)f(x2)x1x2),則稱f在x上是1-1的.若f:XY,Yf(X),稱f為滿的.若f:XY是滿的1-1的，則稱f為1-1對(duì)應(yīng).f:XR是1-1的意味著yf(x)對(duì)固定y至多有一個(gè)解x,f:XY是1-1的意味著對(duì)

29、yY,yf(x)有且僅有一個(gè)解x.定義設(shè)f:XY是1-1對(duì)應(yīng).yY,由yf(x)唯一確定一個(gè)xX,由這種對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為yf(x)的反函數(shù)，記為xf1(y).反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域f:XY1f1:YX顯然有I：XX(恒等變換)(f 1) 1I：YY(恒等變換)f:XYyo從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù),習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為yf1(x),這樣它的圖形與yf(x)的圖形是關(guān)于對(duì)角線yx對(duì)稱的.嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對(duì)應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù).但1-1對(duì)應(yīng)的函數(shù)(有反函數(shù))不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子x,0x1f(x)3x,1x2它的反函數(shù)即

30、為它自己.實(shí)際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行：1.確定f:XY的定義域X和值域Y,考慮1-1對(duì)應(yīng)條件.固定yY,解方程f(x)y得出 x解 固7E y ,為解y e一 J，令ex z ,萬程變?yōu)?2zy z2 1z2 2zy 1 0z y 7 V之 1 (舍去 y yy2 1)得 x ln( y Vy2 1) ,即 y ln(x vx2 1) sh1(x), 稱為反雙曲正弦.定理給定函數(shù)y f(x),其定義載和值載分別記為X和Y，若在Y上存在函數(shù)g(y),使得 g(f(x) x,則有g(shù)(y) f 1( y).f1(y).1,、2.按習(xí)慣，自變量x、因變量y互換，得yf(x).xx例求ysh(x)-

31、:RR的反函數(shù).分析：要證兩層結(jié)論：一是yf(x)的反函數(shù)存在，我們只要證它是1-1對(duì)應(yīng)就行了；二是要證g(y)f1(y).證要證yf(x)的反函數(shù)存在，只要證f(X)是X到Y(jié)的1-1對(duì)應(yīng).x1,x2X,若f(x1)f(x2),則由定理?xiàng)l件，我們有g(shù)(f(X1)xg(f(x2)x2x1x2，即f:XY是1-1對(duì)應(yīng).再證g(y)f1(y).yY,xX，使得yf(x).由反函數(shù)定義xf1(y),再由定理?xiàng)l件1,、g(y)g(f(x)xg(y)f(y).例f:RR,若f(f(x)存在唯一(|)不動(dòng)點(diǎn)，則f(x)也|不動(dòng)點(diǎn).證存在性，設(shè)xff(x),f(x)fff(x),，*、.，*、*即f(x)是f

32、f的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性f(x)x,即存在f(x)的不動(dòng)點(diǎn)x*.唯一性：設(shè)xf(x),xf(x)f(f(x),說明x是ff的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性，x=x.從映射的觀點(diǎn)看函數(shù).設(shè)函數(shù)yf(x),xD.滿足：對(duì)于值域f(D)中的每一個(gè)值y,D中有且只有一個(gè)值x,使得f(x)y,則按此對(duì)應(yīng)法則得到一個(gè)定義在f(D)上的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為f的反函數(shù)，記作f1：f(D)D,(y|x)或xf1(y),yf(D).3、注釋a)并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù)f有反函數(shù)，意味著f是D與f(D)之間的一個(gè)映射，稱f1為映射f映射,f(D)b)函數(shù)f與f1互為反函數(shù)，并有:f1(f(x)x,xD,f(f1(

33、x)y,yf(D).c)在反函數(shù)的表示xf1(y),yf(D)中，是以y為自變量，x為因變量.若按習(xí)慣做法用x做為自變量的記號(hào)，y作為因變量的記號(hào)，則函數(shù)f的反函數(shù)f1可以改寫為yf1(x),xf(D).應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)槠涠x域和對(duì)應(yīng)法則相同，僅是所用變量的記號(hào)不同而已.但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫出時(shí)有所差別.六、初等函數(shù)1 .基本初等函數(shù)(6類)常量函數(shù)yC(C為常數(shù))；冪函數(shù)yx(R)；指數(shù)函數(shù)yax(a0,a1)；對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0,a1)；三角函數(shù)ysinx,ycosx,ytgx,yctgx；反三角函數(shù)yarcsinx,yarccosx,y

34、arctgx,yarcctgx.注：冪函數(shù)yx(R)和指數(shù)函數(shù)yax(a0,a1)都涉及乘冪，而在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義.下面我們借助于確界來定義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì).定義2.給定實(shí)數(shù)a0,a1,設(shè)x為無理數(shù)，我們規(guī)定:supar|r為有理數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，xrxainfar|r為有理數(shù)，當(dāng)0a1時(shí).r0,xX有f(x)M,即Mf(x)M,MmM,MM即可.反之如果M,m使得xX,mf(x)M,令M0maxM1,m,則f(x)|M,即M00,使得對(duì)xX有|f(x)M,即f:XR有界.例2.證明f(x)工為(0,1上的無上界函數(shù).

35、x例3.設(shè)f,g為D上的有界函數(shù).證明：(1)inDf(x)xifg(x)inff(x)g(x);supf(x)supg(x).xDxD2也凡當(dāng)x 0時(shí)，有例4驗(yàn)證函數(shù)f(x)在(內(nèi)有界.解法一由2x23(72x)2(值) sup f (x) g(x) x D2|V2xV3f(x)5x5x_222x32x35x|5f6|x|2薪3.f(0)03,對(duì)xR,總有f(x)3,即f(x)在R內(nèi)有界.解法二令y -4 2x2 3有實(shí)數(shù)根.52 24y2 0,解法三令x枷,t3y關(guān)于x的二次方程2yx25xy2144，|y2.一,一對(duì)應(yīng)x(,).于是2 2_53tgt5sint13 2tg2t16cost

36、sect35.sin2t,2,6f(x)5.sin2t2、652,6二、單調(diào)函數(shù)定義3設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，Xi,X2D,Xix2,(1)若f(x1)f(x2),則稱f為D上的增函數(shù)；若f(Xi)f(X2),則稱f為D上的嚴(yán)格增函數(shù).(2)若f(x1)f(x2),則稱f為D上的減函數(shù)；若f(x1)f(X2),則稱f為D上的嚴(yán)格減函數(shù).例5.證明：y*3在(，)上是嚴(yán)格增函數(shù).證明：設(shè)Xi33X1X2(Xix2)(xj x1x2 x1)如x1x20,則X20x1X1X2如XiX20,則Xi2X1X2X20,Xi3X3故x3x30即得證.例6.討論函數(shù)yx在R上的單調(diào)性.QXi,X2R,當(dāng)為X2

37、時(shí)，有XiX2,但此函數(shù)在R上的不是嚴(yán)格增函數(shù).注：1)單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的某些部分，f可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會(huì)求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無自交點(diǎn)或無平行于x軸的部分.更準(zhǔn)確地講：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直線至多有一個(gè)交點(diǎn).這一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論：定理1.設(shè)yf(x),xD為嚴(yán)格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f1,且f1在其定義域f(D)上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù).證明：設(shè)f在D上嚴(yán)格增函數(shù).對(duì)yf(D),有xD,使f(x)y.下面證明這樣的x只有一個(gè).事實(shí)上，對(duì)于D內(nèi)任一xix,由于f在D上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)x1

38、x時(shí)f(x1)y,當(dāng)x1x時(shí)f(為)y，總之f(x1)y.即yf(D),都只存在口t一的一xD,使得f(x)y,從而例7討論函數(shù)y*2在(，)上反函數(shù)的存在性；如果yx2在(,)上不存在反函數(shù)，在(,)的子區(qū)間上存在反函數(shù)否？結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).例8證明：yax當(dāng)a1時(shí)在R上嚴(yán)格增，當(dāng)0a1時(shí)在R上嚴(yán)格遞減.三、奇函數(shù)和偶函數(shù)定義4.設(shè)D為對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集，f為定義在D上的函數(shù).若對(duì)每一個(gè)xD有(1)f(x)f(x),則稱f為D上的奇函數(shù)；f(x)f(x),則稱f為D上的偶函數(shù).注：(1)從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(中心對(duì)稱)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

39、；(2)奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ，因此f(x)x,x0,1沒有必要討論奇偶性.奇函數(shù):y=sinx3)從奇偶性角度對(duì)函數(shù)分類：偶函數(shù):y=sgnx非奇非偶函數(shù):y=sinx+cosx既奇又偶函數(shù):y0(4)由于奇偶函數(shù)對(duì)稱性的特點(diǎn)，研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時(shí)，只須討論原點(diǎn)的左邊或右邊即可四、周期函數(shù)1、定義設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在0,使得對(duì)一切xD有f(x)f(x),則稱f為周期函數(shù)，稱為f的一個(gè)周期.2、幾點(diǎn)說明：(1)若是f的周期，則n(nN)也是f的周期，所以周期若存在，則不唯一.如ysinx,2,4,L.因此有如下“基本周期”的說法，即若在周期函數(shù)f的所有周期中有一個(gè)最小的周期，則稱

40、此最小周期為f的“基本周期”，簡稱“周期”.如ysinx,周期為2;(2)任給一個(gè)函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1)yx1,不是周期函數(shù)；2)yC(C為常數(shù))，任何正數(shù)都是它的周期.第二章數(shù)列極限為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢(shì).例如有這么一個(gè)變量，它開始是1,然后為LLLlJ,L如234n此，一直無盡地變下去，雖然無盡止，但它的變化有一個(gè)趨勢(shì)，這個(gè)趨勢(shì)就是在它的變化過程中越來越接近于零.我們就說，這個(gè)變量的極限為0.在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)（如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等），并且在實(shí)際問題中極限也占有重要的地位.例

41、如求圓的面積和圓周長（已知：Sr2,l2r）,但這兩個(gè)公式從何而來？要知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面積和求直線段的長度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們?cè)谟^念上，在思考方法上來一個(gè)突破.問題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求，是因?yàn)樗闹芙缡且恍┲本€段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢？周界處處是彎曲的，困難就在這個(gè)“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對(duì)矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.整個(gè)圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；就是說，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圓弧.按照這種辯證

42、思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成n個(gè)等長的小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正n邊形.易知，正n邊形周長為1n2nRsinn顯然，這個(gè)1n不會(huì)等于1.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正n邊形的邊數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長.n越大，近似程度越高.但是，不論n多么大，這樣算出來的總還只是多邊形的周長.無論如何它只是周長的近似值，而不是精確值.問題并沒有最后解決.為了從近似值過渡到精確值，我們自然讓n無限地增大，記為n.直觀上很明顯，當(dāng)n時(shí)，1n1,記成:im1n1.極限思想.即圓周長是其內(nèi)接正多邊形周長的極限.這種方法是我國劉微（張晉）早在第3世紀(jì)就提出

43、來了，稱為“割圓術(shù)”.其方法就是一一無限分割.以直代曲；其思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對(duì)極限作深入研究.1數(shù)列極限的概念教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題.教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的N定義的清晰概念.深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念.會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的N定義證明數(shù)列的有關(guān)命題，并能運(yùn)用N語言正確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述.教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的N定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講授為主.教學(xué)程序：一、什么是數(shù)列1數(shù)列的定義數(shù)列就是“一列數(shù)”，

44、但這“一列數(shù)”并不是任意的一列數(shù)，而是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下；若函數(shù)f的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合N，則稱f:NR為數(shù)列.注：1)根據(jù)函數(shù)的記號(hào)，數(shù)列也可記為f(n),nN;2)記f(n)為，則數(shù)列f(n)就可寫作為：ai,L,an,L,簡記為an,即f(n)|nNan;3)不嚴(yán)格的說法：說f(n)是一個(gè)數(shù)列.2數(shù)列的例子111：2,1,1,1-,L;435111,、：1，-，3，4，L；1234 n2 :1,4,9,16,25, L ；(4)1 ( 1)n1 :2,0,2,0,2, L二、什么是數(shù)列極限1 .引言對(duì)于這個(gè)問題，先看一個(gè)例子：古代哲學(xué)家莊周所著的莊子.天下

45、篇引用過一句話：“一尺之植，日取其半，萬世不竭”.把每天截下的部分的長度列出如下(單位為尺)；第1天截下1,2第2天截下建第3天截下1口2A3222M1111 I_ I_，2， 3， n ，2 2 22M得到一個(gè)數(shù)列:不難看出，數(shù)列-1的通項(xiàng)-1隨著n的無限增大而無限地接近于2n2n零.一般地說，對(duì)于數(shù)列an,若當(dāng)n無限增大時(shí)，an能無限地接近某一個(gè)常數(shù)a,則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限.不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列.據(jù)此可以說，數(shù)列-1是收斂數(shù)列，0是它的極限.2 n數(shù)列n2,1(1)n1都是發(fā)散的數(shù)列.需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列”的說法，并不是嚴(yán)格的

46、定義，而僅是一種“描述性”的說法，如何用數(shù)學(xué)語言把它精確地定義下來.還有待進(jìn)一步分析.以11為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性:n隨著n的無限增大，an1 1無限地接近于1 n隨著n的無限增大,11與1的距離無限減少隨著n的無限增大，|111|無限減少nn|111|會(huì)任意小，只要n充分大.n如：要使|111|0.1,只要n10即可；n1要使|1-1|0.01,只要n100即可；nMM任給無論多么小的正數(shù)，都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)aN,從該項(xiàng)之后(nN),|111|.即0,N,當(dāng)nN時(shí)，|111|.如何找N?(或N存在嗎？)解上面的數(shù)學(xué)式子即得：n取N11即可.這樣。，當(dāng)nN時(shí)，|111|-.nnN綜上所

47、述，數(shù)列11的通項(xiàng)11隨n的無限增大，11無限接nnn近于1,即是對(duì)任意給定正數(shù)，總存在正整數(shù)N,當(dāng)nN時(shí)，有|111|.此即1-以1為極限的精確定義，記作lim1-1或nnnn1n,11.n2 .數(shù)列極限的定義定義1設(shè)an為數(shù)列，a為實(shí)數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí)有l(wèi)a。a|,則稱數(shù)列不收斂于a,實(shí)數(shù)a稱為數(shù)列an的極限，并記作limana或ana(n).n(讀作：當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，an的極限等于a或an趨于a).由于n限于取正整數(shù)，所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把n寫成n，即limana或ana(n).n若數(shù)列an沒有極限，則稱an不收斂，或稱an為發(fā)散數(shù)列.問題:如何表述an沒有極限？3 .舉例說明如何用N定義來驗(yàn)證數(shù)列極限例1.證明：lim1-0(p0).nnp證明：0不妨設(shè)2 ,要使oiN時(shí),有1np-0|=Jpn11-(fP21)p求證limqn0,0,(0不妨設(shè)q1).nlgqlg(注意這里lgq0,lg0),oq只要N也一，則當(dāng)nN時(shí)，就有l(wèi)gqqn0,只要丸.取lgqlimqn0.n例3求證limnnja1(a證法10).要使%1只要只要-lgalg(1)，只要nnlglgalg(1)limnN時(shí)，就有g(shù)11)limn