復數(shù)域上及極限與連續(xù)_第1頁
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文檔簡介

1、第三講 復數(shù)域上的極限與連續(xù)一定義距離(兩個復數(shù)之間的距離)兩個復數(shù)的距離為.有了兩個復數(shù)之間的距離后,容易得出下面的結(jié)論(如圖2.1). 二復數(shù)序列的極限復數(shù)列,存在,使得對,當時,有. 圖2.1引理 若,則.三復函數(shù)的極限定義 設單值函數(shù),是D的一個聚點(非孤立點).若對于,當時,有,則稱當時以A為極限,記為.引理 設,則有.四復函數(shù)的連續(xù)定義 設定義在復數(shù)集D上,是D的一個聚點,若,則稱在點連續(xù).注:若點是D的一個孤立點,則在點連續(xù).引理 復函數(shù)在點連續(xù)函數(shù)在點連續(xù).復函數(shù)在點集D上的每一點連續(xù),則是D上的連續(xù)函數(shù).五復級數(shù)定義 設復數(shù)列,復數(shù)項級數(shù)的前項之和,然而得部分和序列,級數(shù)和,

2、即.引理 復數(shù)列,若,有.絕對收斂:級數(shù)收斂,則稱絕對收斂.級數(shù)絕對收斂當且僅當級數(shù)和級數(shù)收斂.六復函數(shù)列設復函項級數(shù),在點,使復數(shù)列收斂,則稱復函數(shù)列在點收斂,稱為復函數(shù)列的收斂點.收斂域=所有收斂點.復函項級數(shù)絕對收斂收斂.補充內(nèi)容:實數(shù)域上有 下面把上面的情況推廣到復數(shù)域上:(1)形式上的令()由得.下面是對Euler公式的嚴格定義和證明:設,對,令得到序列,不妨設,那么 (1)再對實數(shù)序列進行分析,收斂于,因為收斂,由柯西準則有由(1)可知也是柯西序列,所以收斂.記的極限為,即定義級數(shù)收斂且絕對收斂,收斂域為整個復數(shù)域.(2)形式上的令定義序列,利用上面同樣的方法,可得(3)同理,也有由(1)(2)(3)得證(Euler公式).練習:1. 設(1)表示為實部虛部的形式;(2)求;(3)求的Euler指數(shù)表示;(4)的三角表達式;解 (1),.(2); .(3).(4).2. 求(1);(2);(3);(4).解 (1).(2).(3).(4).3.

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