基本不等式例題精講

1、新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講（3.4基本不等式）典題精講例1（1）已知0x，求函數(shù)(1-3x)的最大值;（2）求函數(shù)的值域.思路分析：（1）由極值定理,可知需構(gòu)造某個和為定值，可考慮把括號內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；（2）中，未指出x0，因而不能直接使用基本不等式，需分x0與x0討論.（1）解法一：0x,1-3x0.(1-3x)= ·3x(1-3x)2=，當(dāng)且僅當(dāng)31-3x，即時，等號成立.時，函數(shù)取得最大值.解法二：0x,0.(1-3x)=3x()32=，當(dāng)且僅當(dāng),即時，等號成立.時，函數(shù)取得最大值.（2）解：當(dāng)x0時，由基本不等式，得2=2，當(dāng)且僅當(dāng)1時，等號成立.當(dāng)x0

2、時，()+.0,()+2,當(dāng)且僅當(dāng),即1時，等號成立.-2.綜上,可知函數(shù)的值域為(-22).綠色通道：利用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件，同時要注意等號成立的條件是否具備.變式訓(xùn)練1當(dāng)x-1時，求f(x)的最小值.思路分析：x-110,變1-1時1與的積為常數(shù).解：x-1,10.f(x)112-1=1.當(dāng)且僅當(dāng)1=,即0時,取得等號.f(x)1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)的最小值.思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實上，我們可以把分母視作一個整體，用它來表示分子，原式即可展開.解：令2+1，則t1且

3、x21.t1,2=2,當(dāng)且僅當(dāng),即1時，等號成立.當(dāng)0時，函數(shù)取得最小值3.例2已知x00，且1，求的最小值.思路分析：要求的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個積為定值，這需要對條件進行必要的變形，下面給出三種解法，請仔細體會.解法一：利用“1的代換”,1,()·(+)=10+.x00,2=6.當(dāng)且僅當(dāng)，即3x時，取等號.又1,412.當(dāng)412時，取得最小值16.解法二：由1，得.x00,y9.1=(9)10.y9,90.2=6.當(dāng)且僅當(dāng)9=，即12時，取得等號，此時4.當(dāng)412時，取得最小值16.解法三：由1，得9,(1)(9)=9.10+(1)+(9)10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)19時

4、取得等號.又1,412.當(dāng)412時，取得最小值16.綠色通道：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會觀察,學(xué)會變形，另外解法二，通過消元,化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另外一個變量的范圍的影響.黑色陷阱：本題容易犯這樣的錯誤：+2,即1,6.22×6=12.的最小值是12.產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式等號成立的條件是=，不等式等號成立的條件是.在同一個題目中連續(xù)運用了兩次基本不等式,但是兩個基本不等式等號成立的條件不同，會導(dǎo)致錯誤結(jié)論.變式訓(xùn)練已知正數(shù)滿足101，的最小值為18，求的

5、值.思路分析：本題屬于“1”的代換問題.解：()()10+.00，10+2=18，即=4.又10，或例3求f(x)=3的最小值（0x1）.思路分析：0x1,0,0不滿足各項必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)用基本不等式，正確的處理方法是加上負號變正數(shù).解：0x1,0,0.-0.()+(-)2=4.-4.f(x)=33-41.當(dāng)且僅當(dāng),即時取得等號.則有f(x)=3 (0x1)的最小值為-1.黑色陷阱：本題容易忽略0x1這一個條件.變式訓(xùn)練1已知x，求函數(shù)42+的最大值.思路分析：求和的最值，應(yīng)湊積為定值.要注意條件x，則450.解：x,450.453(5-4x)+3-2+32+3=1.當(dāng)且僅當(dāng)5-

6、4,即1時等號成立.所以當(dāng)1時，函數(shù)的最大值是1.變式訓(xùn)練2當(dāng)x時，求函數(shù)的最大值.思路分析：本題是求兩個式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保證是正值,所以,必須使用一些技巧對原式變形.可以變?yōu)椋?3）（）+,再求最值.解：（23）（）+，當(dāng)x時，3-2x0，=4，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.于是y-4，故函數(shù)有最大值.例4如圖3-4-1，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.圖3-4-1（1）現(xiàn)有可圍36 m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，

7、可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最?。克悸贩治觯涸O(shè)每間虎籠長為x m，寬為y m，則（1）是在4636的前提下求的最大值；而(2)則是在24的前提下來求46y的最小值.解：（1）設(shè)每間虎籠長為x m，寬為y m，則由條件,知4636，即2318.設(shè)每間虎籠的面積為S，則.方法一：由于23y2=2,218,得，即S.當(dāng)且僅當(dāng)23y時等號成立.由解得故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使面積最大.方法二:由2318，得9.x0,0y6.(9) (6)y.0y6,60.S2=.當(dāng)且僅當(dāng)6,即3時，等號成立，此時4.5.故每間虎籠長4.5 m,寬3 m時，可使面積最大.(2)由條件知24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總

8、長為l,則46y.方法一:23y2=2=24,462(23y)48,當(dāng)且僅當(dāng)23y時,等號成立.由解得故每間虎籠長6 m，寬4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小.方法二:由24，得.4666()6×2=48,當(dāng)且僅當(dāng)，即4時，等號成立，此時6.故每間虎籠長6 m,寬4 m時，可使鋼筋總長最小.綠色通道：在使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時，要注意：（1）都是正數(shù)；（2）積（或）為定值；（3）x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個條件的結(jié)論.變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 平方米的三級污水處理池(平面圖如圖3-4-2所示),由于地形限制,長、寬都不能

9、超過16米,如果池外周壁建造單價為每米400元,中間兩道隔墻建造單價為每米248元,池底建造單價為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計,試設(shè)計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低造價.圖3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值時,必須考慮等號成立的條件,若等號不能成立,通常要用函數(shù)的單調(diào)性進行求解.解：設(shè)污水處理池的長為x米,則寬為米(0x16,016),12.5x16.于是總造價Q(x)=400(22×)+248×2×+80×200.=800()+16 000800×2+16 000=44 800,當(dāng)且僅當(dāng) (x0),即18時等號成立

10、,而1812.5,16,Q(x)44 800.下面研究Q(x)在12.5,16上的單調(diào)性.對任意12.5x1x216,則x2101x2162324.Q(x2)(x1)=800(x21)+324()=800×0,Q(x2)Q(x1).Q(x)在12.5,16上是減函數(shù).Q(x)Q(16)=45 000.答:當(dāng)污水處理池的長為16米,寬為12.5米時,總造價最低,最低造價為45 000元.問題探究 問題某人要買房,隨著樓層的升高,上下樓耗費的精力增多,因此不滿意度升高.當(dāng)住第n層樓時,上下樓造成的不滿意度為n.但高處空氣清新,嘈雜音較小,環(huán)境較為安靜,因此隨著樓層的升高,環(huán)境不滿意度降低.設(shè)住第n層樓時,環(huán)境不滿意程度為.則此人應(yīng)選第幾樓,會有一個最佳滿意度.導(dǎo)思：本問題實際是求n為何值時,不滿意度最小的問題,先要根據(jù)問題列出一個關(guān)于樓層的函數(shù)式,再根據(jù)基本不等式求解即可.探究：設(shè)此人應(yīng)選第n層樓,此時的不滿意程度為y.由題意知.2,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.但考慮到nN*,n2×1.414=2.8283,即此人應(yīng)選3樓,不滿意度最低.例5解關(guān)于x的不等式1(a