復(fù)數(shù)十年高考題帶詳細(xì)解析

1、 復(fù) 數(shù)試題類編1.設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=i，則arg等于（ ）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)z=（mR，i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如果（，），那么復(fù)數(shù)（1i）（cosisin）的輻角的主值是（ ）A.B.C.D.4復(fù)數(shù)（i）3的值是（ ）A. iB.iC.1D.15.如圖121，與復(fù)平面中的陰影部分（含邊界）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)集合是（ ）圖1216.已知復(fù)數(shù)，則arg是（ ）A. B.C.D.7.設(shè)復(fù)數(shù)z11i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量，將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，令對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z2的輻角主值為，則tan等于（ ）A.2 B

2、.2 C.2D.28.在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）A.2 B.2i C.3i D.3+i9.復(fù)數(shù)z（i是虛數(shù)單位）的三角形式是（ ）A.3cos（）isin（）B.3（cosisin）C.3（cosisin）D.3（cosisin）10.復(fù)數(shù)z13i，z21i，則zz1·z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.設(shè)復(fù)數(shù)z12sinicos（在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量，將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2r（cosisin），則tan等于（ ）A.B. C.D.12.復(fù)數(shù)i的一個(gè)立方根是

3、i，它的另外兩個(gè)立方根是（ ）A. B. C.± D.±13.復(fù)數(shù)等于（ ）A.1+i B.1+i C.1i D.1i14.設(shè)復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位），則滿足等式zn=z且大于1的正整數(shù)n中最小的是（ ）A.3 B.4 C.6 D.715.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|zi|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D.二、填空題16.已知z為復(fù)數(shù)，則z+2的一個(gè)充要條件是z滿足 .17.對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)z1x1y1i，z2x2y2i（x1、y1、x2、y2為實(shí)數(shù)），定義運(yùn)算“”為：z1z2x1x2y1y2設(shè)非零復(fù)數(shù)w1、w2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P1

4、、P2，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)如果w1w20，那么在P1OP2中，P1OP2的大小為 18.若zC，且（3z）i1（i為虛數(shù)單位），則z 19.若復(fù)數(shù)z滿足方程i=i1（i是虛數(shù)單位），則z=_.20.已知a=（i是虛數(shù)單位），那么a4=_.21.復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）=4+3i，那么z=_.三、解答題22.已知z、w為復(fù)數(shù)，（13i）z為純虛數(shù)，w，且|w|5，求w23.已知復(fù)數(shù)z1i，求實(shí)數(shù)a，b使az2b（a2z）224.已知z71（zC且z1）.（）證明1zz2z3z4z5z60；（）設(shè)z的輻角為，求coscos2cos4的值.25.已知復(fù)數(shù)z1i（1i）3.（）求argz1及|z1|；（）當(dāng)

5、復(fù)數(shù)z滿足|z|1，求|zz1|的最大值.26.對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mzw|wz2n1，nN（）設(shè)是方程x的一個(gè)根，試用列舉法表示集合M；（）設(shè)復(fù)數(shù)Mz，求證：MMz27.對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，定義集合Mzw|wzn，nN（）設(shè)z是方程x+=0的一個(gè)根，試用列舉法表示集合Mz若在Mz中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率P；（）若集合Mz中只有3個(gè)元素，試寫出滿足條件的一個(gè)z值，并說明理由28.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|5，且（34i）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，|zm|5（mR），求z和m的值.29.已知復(fù)數(shù)z01mi（M0），zxyi和xyi，其中x，y，x，y均為實(shí)數(shù)，i為

6、虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，有·，|2|z|（）試求m的值，并分別寫出x和y用x、y表示的關(guān)系式；（）將（x，y）作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x，y）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x+1上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的軌跡方程；（）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上?若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由.30.設(shè)復(fù)數(shù)z3cosi·2sin.求函數(shù)yargz（0）的最大值以及對(duì)應(yīng)的值.31.已知方程x2（4i）x4ai0（aR）有實(shí)數(shù)根b，且z=a+b

7、i，求復(fù)數(shù)（1ci）（c0）的輻角主值的取值范圍.32.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足4z+2=3+i，=sinicos（R）.求z的值和|z|的取值范圍.33.已知復(fù)數(shù)z1滿足（z12）i=1+i，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)z2的模.34.已知向量所表示的復(fù)數(shù)z滿足（z2）i=1+i，將繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，設(shè)所表示的復(fù)數(shù)為z，求復(fù)數(shù)z+i的輻角主值.35.已知復(fù)數(shù)z=i，w=i，求復(fù)數(shù)zw+zw3的模及輻角主值.36.已知復(fù)數(shù)z=i，=i.復(fù)數(shù)z，z23在復(fù)數(shù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是P、Q.證明：OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點(diǎn)）.37.設(shè)虛數(shù)z1，z2滿足z12=z2

8、.（1）若z1、z2是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，求z1、z2；（2）若z1=1+mi（m0，i為虛數(shù)單位），=z22，的輻角主值為，求的取值范圍.38.設(shè)z是虛數(shù)，w=z+是實(shí)數(shù)，且12.（）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；（）設(shè)u=，求證：u為純虛數(shù)；（）求wu2的最小值.39.已知復(fù)數(shù)z1、z2滿足|z1|=|z2|1，且z1+z2=i.求z1、z2的值.40.設(shè)復(fù)數(shù)z=cos+isin，（，2）.求復(fù)數(shù)z2+z的模和輻角.41.在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針方向依次為Z1，Z2，Z3，O（其中O是原點(diǎn)），已知Z2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2=1+i，求Z1和Z3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).42.已知

9、z=1+i，（）設(shè)w=z2+34，求w的三角形式.（）如果=1i，求實(shí)數(shù)a，b的值.43.設(shè)w為復(fù)數(shù)，它的輻角主值為，且為實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)w.答案解析1.答案：B解析一：通過復(fù)數(shù)與復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系，分別求出z1、z2的輻角主值.argz1=，argz2=.所以arg0，2），arg.解析二：因?yàn)?在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限.故選B評(píng)述：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及幾何意義、輻角主值等概念，同時(shí)考查了靈活運(yùn)用知識(shí)解題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.答案：A解析：由已知z=（m4）2（m+1）i在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)如果在第一象限，則而此不等式組無解.即在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限.3.答案

10、：B解析：（1i）（cosisin）（cosisin）（cosisin）cos（）isin（）（，） （，）該復(fù)數(shù)的輻角主值是4.答案：C解法一：（i）3（cos60°isin60°）3cos180°isin180°1解法二：，5.答案：D6.答案：D解法一：解法二： 應(yīng)在第四象限，tan，argarg是7.答案：C解析：argz1，argz2tantantan75°tan（45°30°）8.答案：B解析：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，所求復(fù)數(shù)是9.答案：C解法一：采用觀察排除法.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，而選項(xiàng)A、B中復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第

11、一象限，所以可排除.而選項(xiàng)D不是復(fù)數(shù)的三角形式，也可排除，所以選C.解法二：把復(fù)數(shù)直接化為復(fù)數(shù)的三角形式，即10.答案：D解析：11.答案：A解析：設(shè)z12sinicos|z1|（cosisin），其中|z1|，sin（）z2|z1|·cos（）isin（）r（cosisin）tan12.答案：D解法一：i=cos+isini的三個(gè)立方根是cos（k=0，1，2）當(dāng)k=0時(shí)，；當(dāng)k=1時(shí)，；當(dāng)k=2時(shí)，.故選D.解法二：由復(fù)數(shù)開方的幾何意義，i與i的另外兩個(gè)立方根表示的點(diǎn)均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，于是另外兩個(gè)立方根的虛部必為,排除A、B、C，選D.評(píng)述：本題主要考查了

12、復(fù)數(shù)開方的運(yùn)算，既可用代數(shù)方法求解，也可用幾何方法求解，但由題干中的提示，幾何法解題較簡捷.13.答案：B解法一：，故（2+2i）4=26（cos+isin）=26，1，故.于是,所以選B.解法二：原式=應(yīng)選B解法三：2+2i的輻角主值是45°，則（2+2i）4的輻角是180°；1i的一個(gè)輻角是60°，則（1i）5的輻角是300°，所以的一個(gè)輻角是480°，它在第二象限，從而排除A、C、D，選B.評(píng)述：本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，有一定的深刻性，尤其是選擇項(xiàng)的設(shè)計(jì)，隱藏著有益的提示作用，考查了考生觀察問題、思考問題、分析問題的綜合能力.14.

13、答案：B解析：z=i是z3=1的一個(gè)根，記z=，4=，故選B.15.答案：A解析：設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為z，因?yàn)閨z+i|+|zi|=2，所以點(diǎn)Z的集合是y軸上以Z1（0，1）、Z2（0，1）為端點(diǎn)的線段.|z+1+|表示線段Z1Z2上的點(diǎn)到點(diǎn)（1，1）的距離.此距離的最小值為點(diǎn)Z1（0，1）到點(diǎn)（1，1）的距離，其距離為1.評(píng)述：本題主要考查兩復(fù)數(shù)之差的模的幾何意義，即復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離.16.答案：Rez1解析：設(shè)z=a+bi，如果z+2，即2a2a1反之，如果a1，則z+=2a2，故z+2的一個(gè)充要條件為Rez1.評(píng)述：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、基本運(yùn)算及充要條件的判斷方法.17

14、.答案：解析：設(shè)w1w20 由定義x1x2y1y20OP1OP2 P1OP218.答案：z3i解析：（3z）i1 3zi z3i19.答案：1i解析：i=i1，=（i1）（i）=1+iz=1i.20.答案：4解析：a4=（）22=4=（）4=（1+i）4=（2i）2=421.答案：2+i解析：由已知，故z=2+i.22.解法一：設(shè)zabi（a，bR），則（13i）za3b（3ab）i由題意，得a3b0|，|z|將a3b代入，解得a±15，b±15故±±（7i）解法二：由題意，設(shè)（13i）zki，k0且kR，則|5，k±50故±（7i）

15、23.解：z1i，az2b（a2b）（a2b）i，（a2z）2（a2）244（a2）i（a24a）4（a2）i，因?yàn)閍，b都是實(shí)數(shù)，所以由az2b（a2z）2得兩式相加，整理得a26a80，解得a12，a24，對(duì)應(yīng)得b11，b22所以，所求實(shí)數(shù)為a2，b1或a4，b224.（）解法一：z，z2，z3，z7是一個(gè)等比數(shù)列.由等比數(shù)列求和公式可得：1zz2z3z60解法二：S1zz2z6zSzz2z3+z6z7得（1z）S1z70S0（）z71，zcosisinz7cos7isin71，72kzz2z41z3z5z61cos（2k4）isin（2k4）cos（2k2）isin（2k2）cos（2k

16、）isin（2k）1（cos4isin4cos2isin2cosisin）2（coscos2cos4）1，coscos2cos4解法二：z2·z51，z2同理z3，zzz2z41zzz1cos2coscos425.（）解：z1i（1i）3i（2i）（1i）2（1i）|z1|，argz12（cosisin）圖122argz1（）解法一：|z|1，設(shè)zcosisin|zz1|cosisin22i|當(dāng)sin（）1時(shí)|zz1|2取得最大值94從而得到|zz1|的最大值21解法二：|z|1可看成z為半徑為1，圓心為（0，0）的圓.而z1可看成在坐標(biāo)系中的點(diǎn)（2，2）|zz1|的最大值可以看成點(diǎn)

17、（2，2）到圓上的點(diǎn)距離最大.由圖122可知：|zz1|max2126.（）解：是方程x2x10的根1（1i）或2（1i）當(dāng)1（1i）時(shí)，12i，12n1當(dāng)2（1i）時(shí)，22iM（）證明：Mz，存在MN，使得z2m1于是對(duì)任意nN，2n1z(2m1)(2n1)由于（2m1）（2n1）是正奇數(shù)，2n1Mz，MMz27.解：（）z是方程x210的根，z1i或z2i，不論z1i或z2i，Mzi，i2，i3，i4i，1，i，1于是P（）取z，則z2i及z31于是Mzz，z2，z3或取zi（說明：只需寫出一個(gè)正確答案）28.解：設(shè)zxyi（x、yR），|z|5，x2y225，而（34i）z（34i）（x

18、yi）（3x4y）（4x3y）i，又（34i）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，3x4y4x3y0，得y7xx±，y±即z±（i）；z±（17i）當(dāng)z17i時(shí)，有|17im|5，即（1m）27250，得m=0，m=2.當(dāng)z（17i）時(shí)，同理可得m0，m229.解：（）由題設(shè)，|·|z0|z|2|z|，|z0|2，于是由1m24，且m0，得m，因此由xyi·，得關(guān)系式（）設(shè)點(diǎn)P（x，y）在直線y=x+1上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)Q（x，y）滿足消去x，得y（2）x22，故點(diǎn)Q的軌跡方程為y（2）x22（）假設(shè)存在這樣的直線，平行

19、坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，所求直線可設(shè)為y=kx+b（k0）.解：該直線上的任一點(diǎn)P（x，y），其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)Q（xy，xy）仍在該直線上，xyk（xy）b，即（k1）y（k）xb，當(dāng)b0時(shí)，方程組無解，故這樣的直線不存在.當(dāng)b0，由，得k22k0，解得k或k，故這樣的直線存在，其方程為yx或yx.評(píng)述：本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，參數(shù)方程與普通方程的互化，變換與化歸的思想方法，分類討論的思想方法及待定系數(shù)法等.30.解：由0得tan0由z3cosi·2sin，得0argz及tan（argz）tan故tanytan（argz）2tan2當(dāng)且僅當(dāng)2tan（0）時(shí)，即tan時(shí)，上式取

20、等號(hào).所以當(dāng)arctan時(shí)，函數(shù)tany取最大值由yargz得y（）由于在（）內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù)，函數(shù)y也取最大值arctan評(píng)述：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.明考復(fù)數(shù)實(shí)為三角.語言簡練、情景新穎，對(duì)提高考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)要求是今后的命題方向.31.解：方程x2（4i）x4ai0（aR）有實(shí)根b，b2（4i）b4ai0，得b24b4（ba）i0，即有得z=a+bi=22i，當(dāng)0c1時(shí)，復(fù)數(shù)（1ci）的實(shí)部大于0，虛部不小于0，復(fù)數(shù)（1ci）的輻角主值在0，范圍內(nèi)，有arg（1ci）arctanarctan（1），0c1，011，

21、有0arctan（1），0arg（1ci）當(dāng)c1時(shí)，復(fù)數(shù)（1ci）的實(shí)部大于0，虛部小于0，復(fù)數(shù)（1ci）的輻角主值在（，2）范圍內(nèi)，有arg（1ci）2arctan2arctan（1）c1，110，有arctan（1）0，arg（1ci）2綜上所得復(fù)數(shù)（1ci）（c0）的輻角主值的取值范圍為0，（，2）評(píng)述：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和考生的運(yùn)算能力，強(qiáng)調(diào)了考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.32.解：設(shè)z=a+bi（a，bR），則=abi，代入4z+2=3+i得4（a+bi）+2（abi）=3+i.z=i.|z|=|i（sinicos）|=1sin（）1，022sin（）4.0|z|2.評(píng)述：本題考查了復(fù)數(shù)

22、、共軛復(fù)數(shù)的概念，兩復(fù)數(shù)相等的充要條件、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)模的取值范圍等基礎(chǔ)知識(shí)以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.33.解：由（z12）i=1+i得z1=+2=（1+i）（i）+2=3iz2的虛部為2.可設(shè)z2=a+2i（aR）z1·z2=（3i）（a+2i）=（3a+2）+（6a）i為實(shí)數(shù).6a=0，即a=6因此z2=6+2i，|z2|=.34.解：由（z2）i=1+i得z=+2=3iz=zcos（）+isin（）=（3i）（i）=2iz+i=i=2（i）=2（cos+isin）arg（z1+i）=評(píng)述：本題考查復(fù)數(shù)乘法的幾何意義和復(fù)數(shù)輻角主值的概念.35.解法一：zw+zw3=zw（1+w2）

23、=（i）（i）（1+i）=（1+i）2（i）=故復(fù)數(shù)zw+zw3的模為，輻角主值為.解法二：w=i=cos+isinzw+zw3=z（w+w3）=z（cos+isin）+（cos+isin）3=z（cos+isin）+（cos+isin）=z（）=故復(fù)數(shù)zw+zw3的模為，輻角主值為.評(píng)述：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算能力.36.證法一：=于是z=cos+isin， =cos（）+isin（）.z23=cos（）+isin（）×（cos+isin）=cos+isin因?yàn)镺P與OQ的夾角為（）=.所以O(shè)POQ又因?yàn)閨OP|=|=1，|OQ|=|z23|=|z|2|3=1|

24、OP|=|OQ|.由此知OPQ為等腰直角三角形.證法二：z=cos（）+isin（）.z3=i又=.4=1于是由此得OPOQ，|OP|=|OQ|故OPQ為等腰直角三角形.37.解：（1）因?yàn)閦1、z2是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，所以z1、z2是共軛復(fù)數(shù).設(shè)z1=a+bi（a，bR且b0），則z2=abi于是（a+bi）2=（abi），于是解得或（2）由z1=1+mi（m0），z12=z2得z2=（1m2）+2mi=（1+m2）+2mitan=由m0，知m+2，于是1tan0又 （m2+1）0，2m0，得因此所求的取值范圍為，）.38.解：（）設(shè)z=a+bi，a、bR，b0則w=a+bi+因?yàn)閣是實(shí)數(shù)，b0，所以a2b2=1，即|z|=1.于是w=2a，1w=2a2，a1，所以z的實(shí)部的取值范圍是（，1）.（）.因?yàn)閍（，1），b0，所以u(píng)為純虛數(shù).（）.因?yàn)閍（，1），所以a+10，故wu22·23=43=1.當(dāng)a+1=，即a=0時(shí)，wu2取得最小值1.39.解：由|z1z2|=1，得（z1+z2）（）=1，又|z1|=|z2|=1，故可得z1+z2=1，所以