哈工大考研量子力學(xué)試題

1、2.2.3 2008年真題【題目】1. 軌道角動(dòng)量的三個(gè)分量，和是否有共同本征態(tài)？若果有，寫(xiě)出一個(gè)來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明為什么【解題】 沒(méi)有， 不對(duì)易，故無(wú)共同本征態(tài)【分析】 本題考察兩個(gè)算符具有共同本征態(tài)的條件兩個(gè)算符對(duì)易。屬于基礎(chǔ)概念的考核。對(duì)易這一概念是量子力學(xué)考試中肯定會(huì)出現(xiàn)的概念，通常穿插在答題中間，對(duì)常用的對(duì)易關(guān)系一定要做到熟練運(yùn)用，記憶的程度。【題目】2. 已知哈密頓量的本征值為，相應(yīng)的本征函數(shù)為，求的本征值和本征函數(shù)（C為常數(shù)）?！窘忸}】 由上式知，的本征函數(shù)為，本征值為【分析】首先寫(xiě)出哈密頓量的本征方程，通過(guò)兩個(gè)不同哈密頓量的關(guān)系可以得出相關(guān)結(jié)果【題目】3. 計(jì)算對(duì)易關(guān)系【解題

2、】（1） （2）【分析】本題需要掌握常見(jiàn)量子算符的對(duì)易關(guān)系，比如坐標(biāo)與動(dòng)量、動(dòng)量與動(dòng)量、角動(dòng)量與動(dòng)量，并且有關(guān)對(duì)易幾條性質(zhì)得知道，比如，能將復(fù)雜的算符用一些簡(jiǎn)單并且我們所熟知的算符表示出來(lái)，并化簡(jiǎn)得出結(jié)果【題目】4. 利用不確定關(guān)系估算線性諧振子的基態(tài)能量?！窘忸}】 對(duì)線性諧振子 利用有【分析】了解一個(gè)力學(xué)量的差方平均值等于該力學(xué)量算符平方的平均值與平均值平方之差，再利用兩算符滿足的對(duì)易關(guān)系，通過(guò)不等式得出最小的線性諧振子能量即為它的基態(tài)能量?！绢}目】5. 設(shè)A和B為兩個(gè)厄米算符，。證明：在A或B的本征態(tài)中，算符C的平均值為零?！窘忸}】設(shè) 由于、都為厄米算符有：那么：同理，對(duì)的本征態(tài)也有相同的

3、結(jié)果所以在A或B的本征態(tài)中，算符C的平均值為零?！痉治觥靠梢栽O(shè)出算符A或者B的本征態(tài)，并且利用厄米算符的性質(zhì)，直接利用算符C的平均值表達(dá)式證明出結(jié)果?！绢}目】6. 證明：對(duì)于一維定態(tài)薛定諤方程，與任一能量本征值相應(yīng)的線性獨(dú)立解最多只有兩個(gè)（即任何能及的簡(jiǎn)并度最大為2）。【解題】用反證法證明：假設(shè)對(duì)應(yīng)于能量本征值存在三個(gè)線性獨(dú)立的本征波函數(shù)、和，則有： 用乘以第一式，減去乘以第二式，有得出令，則上式可化為： 積分后 即于是得到 上式表明是和的線性組合，顯然這與、和相互獨(dú)立的假設(shè)是矛盾的。【分析】井孝功老師的教材上有原題，主要考察定理證明過(guò)程，此部分應(yīng)當(dāng)引起重視，考試中出現(xiàn)的次數(shù)相對(duì)較多?！绢}目】

4、二一質(zhì)量為的例子在一維無(wú)限深勢(shì)井中運(yùn)動(dòng) t=0時(shí)，其歸一化的波函數(shù)為求：（1）t0時(shí)，粒子的狀態(tài)波函數(shù)；（2）t=0及t=t0時(shí)系統(tǒng)的平均能量；（3）t=0及t=t0時(shí)，在的區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率?！窘忸}】（1）其中 （2）t=0及t=t0時(shí)系統(tǒng)的平均能量為 （3）當(dāng)t=0時(shí) 當(dāng)t=t0時(shí)【分析】 先將題中的波函數(shù)向哈密頓算符的幾個(gè)本征函數(shù)（這些本征函數(shù)的形式最好記住，能節(jié)省時(shí)間）作展開(kāi)，再乘以相關(guān)的時(shí)間因子就得到了任意時(shí)刻的粒子狀態(tài)波函數(shù)；系統(tǒng)的平均能量直接用能量值乘以它出現(xiàn)的概率再相加就可得到；在什么區(qū)域發(fā)現(xiàn)粒子的概率直接將波函數(shù)的平方積分，此題中的積分變量為坐標(biāo)，注意積分上下限?！绢}目】三

5、已知l=1時(shí)，的本征函數(shù)在坐標(biāo)表象中用球函數(shù)表示為，寫(xiě)出l=1時(shí)，和的全部本征函數(shù)?！窘忸}】自身表象下為對(duì)角矩陣，可表示為 相應(yīng)的本征解為 即對(duì)于算符、而言，需要用到升降算符，即 而 當(dāng)時(shí)，顯然，算符、的對(duì)角元皆為零，并且， 只有當(dāng)量子數(shù)相差時(shí)矩陣元才不為零，即 于是得到算符、的矩陣形式如下 滿足的本征方程為 相應(yīng)的久期方程為 將其化為 得到三個(gè)本征值分別為 將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 滿足的本征方程為 相應(yīng)的久期方程為 將其化為 得到三個(gè)本征值分別為 將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 【分析】本題可在坐標(biāo)表象中用矩陣求解，利用與球諧函數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出它的矩陣形式，注意三

6、個(gè)本征函數(shù)的相關(guān)順序（因?yàn)轫樞虻牟煌矔?huì)導(dǎo)致矩陣的形式發(fā)生變化，一定要注意這點(diǎn)），然后利用升降算符對(duì)三個(gè)本征函數(shù)的作用求出與的矩陣形式，再通過(guò)久期方程得到它們各自的本征值和本征函數(shù)?！绢}目】四某力學(xué)量的算符A有兩個(gè)歸一化的本征函數(shù)和，相應(yīng)的本征值分別為和；另一力學(xué)量的算符B也有兩個(gè)歸一化的本征函數(shù)和，相應(yīng)的本征值分別為和，已知：在某種狀態(tài)下，測(cè)量力學(xué)量A后得到的結(jié)果為；若在此之后在測(cè)量力學(xué)量B，接著在測(cè)量力學(xué)量A,則第二次測(cè)量A得到的結(jié)果仍為的概率是多少？【解題】在某種狀態(tài)下，測(cè)量力學(xué)量A后得的結(jié)果為時(shí)，波函數(shù)為 由 可知：所以第二次測(cè)量A結(jié)果仍為的概率為【分析】此題主要看考生能否分析出每次測(cè)

7、量后它的態(tài)函數(shù)發(fā)生了什么樣的變化，倘若知道它以后的狀態(tài)那么問(wèn)題就迎刃而解了，我們可以這樣判定，只要測(cè)量某個(gè)力學(xué)量，那么波函數(shù)就往這個(gè)力學(xué)量的本征狀態(tài)坍塌，此時(shí)若要求其它力學(xué)量的某個(gè)值的概率，那就將已有的這個(gè)力學(xué)量的本征態(tài)向所求的力學(xué)量的本征函數(shù)作展開(kāi)，其系數(shù)的平方就是概率（另外記得乘以已有的這個(gè)力學(xué)量的本征態(tài)所出現(xiàn)的概率，因?yàn)槭撬鼮榍疤岫嬖诘模??！绢}目】五某體系的哈密頓量為（1）若，用微擾論求H本征值的近似結(jié)果（到二級(jí)修正）；（2）求H得精確本征值；（3）在什么條件下，（1）和（2）的結(jié)果一致【解題】 （1） 所以 （2） 解久期方程 可得到最后求得（3） 此時(shí)（1）與（2）的結(jié)果一致【分析】 此題主要是比較精確本征值與微擾論求得的近似值的方法差異和所得結(jié)果是否能一致，求精確本征值直接通過(guò)久期方程就能得到，也是最基本的，微擾論先將哈密頓量矩陣分解為兩項(xiàng)之和，其中微擾矩陣遠(yuǎn)小于另外一項(xiàng)的貢獻(xiàn)，然后直接利用微擾公式求出各階本征值【題目】六有一粒子處于確定的自旋態(tài)，已知在此自旋態(tài)中，取得概率是，取的概率是，而且的平均值小于零，求取的概率是多少【解題】在