四邊形證明題及綜合題

1、四邊形證明題及綜合題1、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，BAE =DAF（1）求證：BE = DF；（2）聯(lián)結(jié)AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，使OM = OA，聯(lián)結(jié)EM、FM求證：四邊形AEMF是菱形 2、如圖8，已知梯形中， 、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié),若平分，求證：四邊形是矩形 3、如圖，在等腰梯形ABCD中，C=60°，ADBC，且AD=AB=DC，E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF，AF、BE交于點(diǎn)P。（1）求證：AF=BE；（2）請(qǐng)猜測(cè)BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論。 4、如圖，在矩形A

2、BCD中，BMAC，DNAC，M、N是垂足.（1）求證：AN=CM； （2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面積. 5.如圖.在平行四邊形中，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且.過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié).（1）求證：；（2）如果梯形是等腰梯形，判斷四邊形的形狀，并給出證明. 6、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，DE與CF相交于G，DE、CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，點(diǎn)M是CG的中點(diǎn) 求證：（1）BM/GH； （2）BMCF 7已知：如圖，AEBF，AC平分BAD，交BF于點(diǎn)C，BD平分ABC，交AE于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD.求證：四邊形ABCD是菱形 8如圖，在正方形中，

3、點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，與相交于，、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：（1） (2) 9已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，點(diǎn)E、F在邊BC上，BE=CF，EF=AD求證：四邊形AEFD是矩形 10如圖，在ABCD中，E、F分別為邊ABCD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)A點(diǎn)作AG/DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G（1）求證：DEBF；（2）若G，求證：四邊形DEBF是菱形 11已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=2AD，ACAB，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線與邊BC相交于點(diǎn)F求證：四邊形AFCD是菱形 12（本題共2小題，每小題6分，滿分12分）已知：如圖，在梯形ABCD中，

4、AD / BC，點(diǎn)E、F在邊BC上，DE / AB，AF / CD，且四邊形AEFD是平行四邊形（1）試判斷線段AD與BC的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論； （2）現(xiàn)有三個(gè)論斷：AD = AB；B +C= 90°；B = 2C請(qǐng)從上述三個(gè)論斷中選擇一個(gè)論斷作為條件，證明四邊形AEFD是菱形 13已知：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點(diǎn)P是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合，把這張矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P的位置上，折痕交邊AD與點(diǎn)M，折痕交邊BC于點(diǎn)N .（1）寫出圖中的全等三角形. 設(shè)CP=，AM=，寫出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）試判斷BMP是否可能等于90&#

5、176;. 如果可能，請(qǐng)求出此時(shí)CP的長(zhǎng)；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由. 14、已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中， P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作 PEPB ，PE交射線DC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EFAC，垂足為點(diǎn)F. （1）當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)（如圖10）， 求證：PB=PE； 在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變化，試說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長(zhǎng)，

6、如果不能，試說(shuō)明理由 15、如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn).(1) 求點(diǎn)的坐標(biāo).(2) 請(qǐng)判斷的形狀并說(shuō)明理由.(3) 動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著的路線向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)分別作軸于，軸于.設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，矩形與重疊部分的面積為.求與之間的函數(shù)關(guān)系式. 16已知：如圖，梯形中，是直線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)聯(lián)結(jié)（1）若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），（如圖1所示）求證：設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域（2）直線上是否存在一點(diǎn)，使是面積的3倍，若存在，直接寫出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 17已知： O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在

7、邊CB的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)EO，OFOE交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF（如圖4）。（1） 求證：EO=FO；（2） 若正方形的邊長(zhǎng)為2， OE=2OA，求BE的長(zhǎng)；（3） 當(dāng)OE=2OA時(shí)，將FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到F1OE1，使得BOE1=時(shí)，試猜想并證明AOE1是什么三角形。 18（本題滿分10分，第（1）小題3分，第（2）小題4分，第（3）小題3分） 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD的延長(zhǎng)線上，且EACF，垂足為H，AE與CD相交于點(diǎn)G（1）求證：AG=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），求證：FC=FE；（3）如果正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，當(dāng)EF=EC時(shí)（如圖2），

8、求DG的長(zhǎng) 答案1證明：（1）正方形ABCD，AB=AD，B =D=90°（2分）BAE = DAFABEADF（1分）BE = DF（2分）（2）正方形ABCD，BAC =DAC （1分） BAE =DAF EAO =FAO（1分）ABEADF AE = AF （1分）EO=FO ，AOEF（2分）OM = OA 四邊形AEMF是平行四邊形（1分）AOEF 四邊形AEMF是菱形（1分）2（1）證明：聯(lián)結(jié)EG， 梯形中，且、分別是、的中點(diǎn)， EG/BC，且，（2分）又 EG=BF（1分） 四邊形是平行四邊形（2分）（2）證明：設(shè)AF與EG交于點(diǎn)O， EG/AD，DAG=AGE平分，D

9、AG=GAO GAO=AGE AO=GO（2分） 四邊形是平行四邊形， AF=EG，四邊形是矩形（2分）3證明：（1）梯形ABCD是等腰梯形，ADBC BAE=ADF （1分） AD= DC AE=DF（1分）BA=AD BAEADF， （1分）BE=AF （1分）（2）猜想BPF=120°（1分）由（1）知BAEADF，ABE=DAF （1分）BPF=ABE+BAP=BAE（1分）而ADBC，C=ABC=60°，=120°BPF=BAE =120°（1分）4、證：（1）四邊形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC.DAC=BCA.又DNAC，BMAC，D

10、NA=BMC.DANBCM, -（3分） AN=CM. -（1分） （2）聯(lián)結(jié)BD交AC于點(diǎn)O， AN = NM=2,AC = BD =6,又四邊形ABCD是矩形，AO=DO=3，在ODN中，OD=3，ON=1，OND=,DN=,-（2分）矩形ABCD的面積=.-（1分）5.解：（1）方法1：延長(zhǎng)交于（如圖1）.1分在平行四邊形中，.，四邊形是平行四邊形. .1分又， .1分，.在和中，（）. .1分四邊形是平行四邊形，. 1分方法2：將線段的中點(diǎn)記為，聯(lián)結(jié)（如圖2）. 1分四邊形是平行四邊形，. 1分.，.，.在和中，（）. 1分.又，四邊形是平行四邊形. 1分. 1分 其他方法，請(qǐng)參照上述

11、標(biāo)準(zhǔn)酌情評(píng)分.（2）如果梯形是等腰梯形，那么四邊形是矩形. 1分，四邊形是平行四邊形.1分又梯形是等腰梯形，.（備注：使用方法2的同學(xué)也可能由找到解題方法；使用方法1的同學(xué)也可能由四邊形是平行四邊形找到解題方法）.四邊形是平行四邊形，.1分平行四邊形是矩形. 1分6證明：（1）在正方形ABCD中，AD/BC，A=HBE，ADE=H，（1分）AE=BE，ADEBHE（1分）BH=AD=BC（1分）CM=GM，BM/GH（1分） （2）在正方形ABCD中，AB=AD=CD，A=ADC=90º，又DF=AD，AE=AB，AE=DFAEDDFC（1分）ADE=DCF（1分）ADE+GDC=9

12、0º，DCF+GDC=90ºDGC=90º（1分）BM/GH，BMG=DGC=90º，即BMCF（1分）7、證明：AC平分BAD， BAC=CAD.又 AEBF， BCA=CAD. -1分 BAC=BCA. AB=BC. -1分 同理可證AB=AD. AD=BC. -1分又 ADBC， 四邊形ABCD是平行四邊形. -1分又AB=BC，ABCD是菱形. -1分8. 證明：（1）正方形 1是的中點(diǎn) 11 1是的中點(diǎn) 1(2)證 1 1 19證法一： 在梯形ABCD中，AD/BC，又EF=AD 四邊形AEFD是平行四邊形（1分） AD/DF，AEF=DFC（

13、1分）AB=CD，B=C（1分）又BE=CF，ABEDCF（1分）AEB=DFC，（1分）AEB=AEF（1分）AEB+AEF=180º，AEF=90º（1分）四邊形AEFD是矩形（1分） 證法二： 聯(lián)結(jié)AF、DE（1分）在梯形ABCD中，AD/BC，又EF=AD， 四邊形AEFD是平行四邊形（1分）AB=CD，B=C（1分）BE=CF，BE+EF=CF+EF，即BF=CE，（1分）ABFDCE（1分）AF=DE，（2分）四邊形AEFD是矩形（1分）10、證明：（1）ABCD ，ABCD，ABCD-1分E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，DFDC，BEAB DFBE，DFBE-1

14、分四邊形DEBF為平行四邊形DEBF-1分(2)證明：AGBD，GDBC90°，DBC為直角三角形-1分又F為邊CD的中點(diǎn)BFDCDF-1分又四邊形DEBF為平行四邊形，四邊形DEBF是菱形-1分11證明：在梯形ABCD中，AD/BC，DAE=FAE，ADE=CFE（1分）又AE=EC，ADECFE（1分）AD=FC，（1分）四邊形AFCD是平行四邊形（1分）BC=2AD，F(xiàn)C=AD=BC（1分）ACAB，AF=BC（1分）AF=FC，（1分）四邊形AFCD是菱形（1分）12（1）解：線段AD與BC的長(zhǎng)度之間的數(shù)量為：（1分）證明： AD / BC，DE / AB， 四邊形ABED是

15、平行四邊形 AD = BE（2分）同理可證，四邊形AFCD是平行四邊形即得 AD = FC（1分）又 四邊形AEFD是平行四邊形， AD = EF（1分） AD = BE = EF = FC （1分）（2）解：選擇論斷作為條件（1分）證明： DE / AB， B =DEC（1分） B +C = 90°， DEC +C = 90°即得 EDC = 90°（2分）又 EF = FC， DF = EF（1分） 四邊形AEFD是平行四邊形， 四邊形AEFD是菱形（1分） 13（1） MBNMPN 1MBNMPNMB=MP, 矩形ABCDAD=CD (矩形的對(duì)邊相等)A=D

16、=90°(矩形四個(gè)內(nèi)角都是直角) 1AD=3, CD=2, CP=x, AM=yDP=2-x, MD=3-y 1RtABM中， 同理 1 1 1（3） 1當(dāng)時(shí)，可證 1 AM=CP，AB=DM 1 1當(dāng)CM=1時(shí)，14（1） 證：過(guò)P作MNAB，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N正方形ABCD， PM=AM，MN=AB ，從而 MB=PN （2分） PMBPNE，從而 PB=PE （2分） 解：PF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，設(shè)O為AC中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PO，正方形ABCD， BOAC，（1分）從而PBO=EPF，（1分） POBPEF， 從而 PF=BO （2分）（2）圖略，上述（1）中的結(jié)論仍然成立；（

17、1分）（1分）（3）當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)，PEC是鈍角，從而要使PEC為等腰三角形，只能EP=EC，（1分） 這時(shí)，PF=FC， ，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，與已知不符。（1分）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，PCE是鈍角，從而要使PEC為等腰三角形，只能CP=CE，（1分） 設(shè)AP=x，則，又 ，解得x=1. （1分）綜上，AP=1時(shí)，PEC為等腰三角形15.解：（1） 解得： 1 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，） 1 （2）當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0） 1 1 是等邊三角形 1（3）當(dāng)04時(shí)， 1 1當(dāng)48時(shí)， 1116（1）證明：在上截取，聯(lián)結(jié). 又A90°，AAGEAEG180°.A

18、GE45°.BGE135°. CD180°.又C45°. D135°.BGED. 1分，. . 1分. BEF90°.又AABEAEB180°，AEBBEFDEF180°，A90°.ABEDEF. 1分BGEEDF. 1分. （1）關(guān)于的函數(shù)解析式為：.1分此函數(shù)的定義域?yàn)椋?1分（2）存在.1分 當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，（負(fù)值舍去）. 1分當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，（負(fù)值舍去）. 1分當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，. 1分 的長(zhǎng)為、或.17、（1）證明：ABCD是正方形，對(duì)角線交于點(diǎn)O，AO=BO，ACBD，-1分 OAB=OBA,OAF=OBE，-1分ACBD，OFOE，AOF=BOE，-1分AOFBOE，EO=FO.-1分（2）解：ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為2，AO=,OE=2OA= OFOE，EO=FO，EF=4，-1分 AOFBOE，AF=BE，-1分 設(shè)AF=BE=x， 在RtEFB中，,即 解得，x0，即BE=-2分（3）AOE1是直角三角形。-1分證明：取OE中點(diǎn)M，則OM=EM=,-1分OE=2OA，OA=，OA=OMEOB=,ACBD，AOE=,OAM是等邊三角形，-1分AM=OM=EM，MAE=MEA,MAO=MOA，MAE+MEA+MAO+MOA=，2MEA+2MOA=，ME