單調有界定理求極限

1、一類用單調有界定理求解的數(shù)列的極限劉麗 01211209（徐州師范大學 數(shù)學系 徐州221116）摘要 文中對某些具有特殊形式的數(shù)列作了一般性的推廣,應用單調有界定理證明其極限的存在.關鍵詞 數(shù)列;極限;單調有界定理.1 引言求數(shù)列極限是數(shù)學中的一類基本問題,在考研中常見.求極限的方法很多,如定義法、反正法、兩邊夾、單調有界定理、柯西準則等.就一類能運用單調有界定理證明的考研題中有關求數(shù)列極限的問題在形式上進行了推廣,并加以證明.另外還討論了一類與積分有關的數(shù)列的極限問題.2 主要內容本節(jié)主要針對考研的一些特殊類型數(shù)列通過觀察、猜想對其進行一般化的推廣,并加以證明.例 (2002年全國碩士研究

2、生入學考試數(shù)學二試題)設,.證明:數(shù)列的極限存在并求出此極限.例1可以作如下推廣:命題 1 若,則數(shù)列的極限存在且為.證明 由知.由算術幾何平均不等式知,假設,再次用算術幾何平均不等式知,由數(shù)學歸納法知,對任意正整數(shù)均有,因而數(shù)列有界.又當時,故,即數(shù)列單調遞增.由數(shù)列的單調有界定理知存在,設為,對兩邊同時取極限得:,可解得或（舍去）.故.注 由命題1立得例1的極限存在且為.例 證明數(shù)列收斂,其中,并求極限.通過觀察、猜想、分析可將例2推廣為以下更一般的形式:命題 2 若,定義,則數(shù)列存在極限且為.證明 由可知,當且僅當時取等號.設,則=,當且僅當時取等號.由數(shù)學歸納法知,對任意自然數(shù)都有:.

3、故數(shù)列有界.又當時,因為,所以.又因為,所以,即.所以數(shù)列是單調遞增的. 由數(shù)列的單調有界定理知: 存在,設為,對兩邊同時取極限得:,可解得.所以說數(shù)列極限存在且為. 注 由以上命題2易得例2中的數(shù)列極限存在且為. 推論 當,時,數(shù)列極限存在且為1. 利用這個推論很容易便可知對于數(shù)列: 的極限存在且為1. 例 （廣西師范大學研究生入學試題） 若,試證明數(shù)列收斂于方程的一個正根. 首先可以通過觀察,將參量一般化便可推廣得到如下結論: 命題 3 若,則數(shù)列為單調有界數(shù)列,必存在極限. 證明 分兩種情況: （i）當, 因為, ,即, ,所以,即,故有.假設當時,均有 ,則當 時,有, 即,所以,由.

4、由數(shù)學歸納法可知,對任意自然數(shù)均有.所以數(shù)列是單調遞增的數(shù)列. 下證數(shù)列有界. 令,因為, ,由根的存在原理知內必有一正根,而在上無根,設最大的正根.由,即,所以.又,所以,但是, ,即 ; 假設當時均有,則當時,有,即.由及數(shù)學歸納法可知,對一切自然數(shù)均有成立.所以數(shù)列是單調遞增且有上界的數(shù)列. （ii） 當時,同理可證數(shù)列是單調遞減且有下界的數(shù)列.由（i）（ii）可知數(shù)列是單調有界數(shù)列,從而命題3得證.注 由以上的命題3可知例3中的數(shù)列是單調有界數(shù)列,則必收斂,設,對兩邊同時取極限的得: 即 .所以是方程的一個正根,從而例3得證.例 （中國科技大學、北京郵電學院考研試題） 已知,.證明存在

5、并求其值.例4可以作如下推廣:命題 4 若,則數(shù)列極限存在且為的正根.證明 由得.又,則.由遞推關系知.因函數(shù)是遞增函數(shù),則由知 與 的符號相同.而 的符號又與 的符號相同,故依次下去便知最終與 的符號相同.而,即,所以 ,從而 ,于是便有,故數(shù)列是單調遞增數(shù)列.又,假設當時都有 成立,則當 時,由數(shù)學歸納法知,對一切自然樹都有 ,即數(shù)列有界.由數(shù)列的單調有界定理知數(shù)列必存在極限,設,對兩邊同時取極限的得 即 .所以數(shù)列收斂于方程的正根.推論 若, ,則數(shù)列的極限存在且收斂于方程的一個正根,即 .注 利用該推論易知例4中的數(shù)列的極限存在且為3.文4、5中的一些題也可由此推論直接得出.例 設,數(shù)列、分別定義為, ,證明.例5可以作如下推廣:命題 5 設,數(shù)列、分別定義為, ,則仍有 成立.證明 由已知 可得 ,.假設當 時均有,則當時有, ,由數(shù)學歸納法知,對任意自然數(shù)都有,成立.由算術幾何平均不等式知,當且僅當時取等號.而當時, 即,即.故有.而當時,由于,所以就有, ,因此對任意自然數(shù)都有下式成立,所以數(shù)列、均為單調有界數(shù)列.故由數(shù)列的單調有界定理知、存在,分別設為、,對兩邊同時