十字相乘法進行因式分解詳案

1、十字相乘法進行因式分解【基礎知識精講】（1）理解二次三項式的意義；（2）理解十字相乘法的根據(jù)；（3）能用十字相乘法分解二次三項式；（4）重點是掌握十字相乘法，難點是首項系數(shù)不為1的二次三項式的十字相乘法【重點難點解析】1二次三項式多項式，稱為字母x的二次三項式，其中稱為二次項，bx為一次項，c為常數(shù)項例如，和都是關于x的二次三項式在多項式中，如果把y看作常數(shù)，就是關于x的二次三項式；如果把x看作常數(shù)，就是關于y的二次三項式在多項式中，把ab看作一個整體，即，就是關于ab的二次三項式同樣，多項式，把xy看作一個整體，就是關于xy的二次三項式十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法2十字相乘法

2、的依據(jù)和具體內容利用十字相乘法分解因式，實質上是逆用(axb)(cxd)豎式乘法法則它的一般規(guī)律是：（1）對于二次項系數(shù)為1的二次三項式，如果能把常數(shù)項q分解成兩個因數(shù)a，b的積，并且ab為一次項系數(shù)p，那么它就可以運用公式分解因式這種方法的特征是“拆常數(shù)項，湊一次項”公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，當常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常數(shù)項為負數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同（2）對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式(a，b，c都是整數(shù)且a0)來說，如果存在四個整數(shù)，使，且，那么它的特征是

3、“拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1的情況復雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的辦法來確定學習時要注意符號的規(guī)律為了減少嘗試次數(shù)，使符號問題簡單化，當二次項系數(shù)為負數(shù)時，先提出負號，使二次項系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項；常數(shù)項為正數(shù)時，應分解為兩同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同；常數(shù)項為負數(shù)時，應將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項系數(shù)的符號相同用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母如：3因式分解一般要遵循的步驟多項式因

4、式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復試，結果應是乘積式”【典型熱點考題】例1 把下列各式分解因式：（1）；（2）點悟：（1）常數(shù)項15可分為3 (5)，且3(5)2恰為一次項系數(shù)；（2）將y看作常數(shù)，轉化為關于x的二次三項式，常數(shù)項可分為(2y)(3y)，而(2y)(3y)(5y)恰為一次項系數(shù)解：（1）；（2）例2 把下列各式分解因式：（1）；（2）點悟：我們要把多項式分解成形如的形式

5、，這里，而解：（1）；（2）點撥：二次項系數(shù)不等于1的二次三項式應用十字相乘法分解時，二次項系數(shù)的分解和常數(shù)項的分解隨機性較大，往往要試驗多次，這是用十字相乘法分解的難點，要適當增加練習，積累經驗，才能提高速度和準確性例3 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）點悟：（1）把看作一整體，從而轉化為關于的二次三項式；（2）提取公因式(xy)后，原式可轉化為關于(xy)的二次三項式；（3）以為整體，轉化為關于的二次三項式解：（1） (x1)(x1)(x3)(x3)（2） (xy)(xy)17(xy)2(xy)(xy1)(7x7y2)（3） 點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準確地

6、發(fā)現(xiàn)多項式中究竟把哪一個看成整體，才能構成二次三項式，以順利地進行分解同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止例4 分解因式：點悟：把看作一個變量，利用換元法解之解：設，則原式(y3)(y24)90(y18)(y9)點撥：本題中將視為一個整體大大簡化了解題過程，體現(xiàn)了換元法化簡求解的良好效果此外，一步，我們用了“十字相乘法”進行分解例5 分解因式點悟：可考慮換元法及變形降次來解之解：原式，令，則原式點撥：本題連續(xù)應用了“十字相乘法”分解因式的同時，還應用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂但是，品味之余應想到對換元后得出的結論一定要“還原”，這是一個重要環(huán)節(jié)例6

7、分解因式點悟：方法1：依次按三項，兩項，一項分為三組，轉化為關于(xy)的二次三項式方法2：把字母y看作是常數(shù)，轉化為關于x的二次三項式解法1： 解法2： (xy6)(xy1)例7 分解因式：ca(ca)bc(bc)ab(ab)點悟：先將前面的兩個括號展開，再將展開的部分重新分組解：ca(ca)bc(bc)ab(ab)(ab)(ca)(cb)點撥：因式分解，有時需要把多項式去括號、展開、整理、重新分組，有時僅需要把某幾項展開再分組此題展開四項后，根據(jù)字母c的次數(shù)分組，出現(xiàn)了含ab的因式，從而能提公因式隨后又出現(xiàn)了關于c的二次三項式能再次分解例8 已知有一個因式是，求a值和這個多項式的其他因式點

8、悟：因為是四次多項式，有一個因式是，根據(jù)多項式的乘法原則可知道另一個因式是（a、b是待定常數(shù)），故有根據(jù)此恒等關系式，可求出a，b的值解：設另一個多項式為，則， 與是同一個多項式，所以其對應項系數(shù)分別相等即有由、解得，a1，b1，代入，等式成立 a1，另一個因式為點撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數(shù)學知識的學習中也經常運用希望讀者不可輕視【易錯例題分析】例9 分解因式：錯解： 105(2)，515，551(2)23， 原式(5ab5y)(2ab5y)警示：錯在沒有掌握十字相乘法的含義和步驟正解： 515，105(2)，551(

9、2)23 原式(ab5y)(5ab2y)【同步練習】一、選擇題1如果，那么p等于 ()Aab Bab Cab D(ab)2如果，則b為 ()A5 B6 C5 D63多項式可分解為(x5)(xb)，則a，b的值分別為 ()A10和2 B10和2 C10和2 D10和24不能用十字相乘法分解的是 ()A BC D5分解結果等于(xy4)(2x2y5)的多項式是 ()ABCD6將下述多項式分解后，有相同因式x1的多項式有 ()； ； ； ； A2個 B3個 C4個 D5個二、填空題7_8(ma)(mb) a_，b_9(x3)(_)10_(xy)(_)1112當k_時，多項式有一個因式為(_)13若xy6，則代數(shù)式的值為_三、解答題14把下列各式分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）15把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）16把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）17已知有因式2x5，把它分解因式18已知xy2，xya4，求a的值參考答案【同步練習】1D 2B 3D 4C 5A 6C7(x5)(x2) 81或6，6或1 92x110xy，x2y 11，a