圓的方程例題

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類(lèi)型一：圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程 ，圓心，半徑為r；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：當(dāng) ，點(diǎn)在圓外當(dāng) ，點(diǎn)在圓上當(dāng) ，點(diǎn)在圓內(nèi)（2）一般方程當(dāng) 時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為 ，半徑為當(dāng) 時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng) 時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。1.若過(guò)點(diǎn)P(a,a)可作圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的兩條切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2圓x2y22x6y5a0關(guān)于

2、直線yx2b成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則ab的取值范圍是()A(，4)B(，0) C(4，)D(4，) 3. 求過(guò)兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)4. 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程5. 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程6.已知直線l:x+y-2=0和圓C:x2+y2-12x-12y+54=0,則與直線l和圓C都相切且半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.7、 設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程8.已知點(diǎn)P(2,2),點(diǎn)M是圓O1:x2+(y-1)2=上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是圓O2:(x-

3、2)2+y2=上的動(dòng)點(diǎn),則|PN|-|PM|的最大值是()A.-1B.-2 C.2-D.3-類(lèi)型二：直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有 三種情況：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為 ，則有（2）過(guò)圓外一點(diǎn)的切線：k不存在，驗(yàn)證是否成立k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程1、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.2：直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 3：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 .4圓x2y22x2y10上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線

4、3x4y80距離的最小值為 5. 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？6.、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.7. 已知圓,Q是軸上的動(dòng)點(diǎn),QA、QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），求切線QA、QB的方程；(2) 求四邊形QAMB的面積的最小值；(3)若，求直線MQ的方程.類(lèi)型三：圓與圓的位置關(guān)系通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng) 時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線 條；當(dāng) 時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng) 時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公

5、共弦，有兩條外公切線；當(dāng) 時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng) 時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)1、判斷圓與圓的位置關(guān)系，2：圓和圓的公切線共有 條。3圓x2y22x50與圓x2y22x4y40的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是( )Axy10B2xy10 Cx2y10Dxy104：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C

6、有公共點(diǎn),則k的最小值是()6. 已知圓，相互垂直的兩條直線、都過(guò)點(diǎn).（）若、都和圓相切，求直線、的方程；（）當(dāng)時(shí)，若圓心為的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程；（）當(dāng)時(shí)，求、被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值.類(lèi)型四：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程1.已知圓，求過(guò)點(diǎn)與圓相切的切線2. 兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程3、過(guò)圓外一點(diǎn)，作這個(gè)圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，求直線的方程。4求過(guò)點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程5、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為 類(lèi)型五：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題1、求直線被圓截得的弦的長(zhǎng).2、直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為 3、求兩圓和的公共弦長(zhǎng)4過(guò)點(diǎn)A(11,2)作

7、圓x2y22x4y1640的弦，其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有()A16條B17條C32條D34條類(lèi)型六：圓中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1、圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的方程是 2自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程類(lèi)型七：圓中的最值問(wèn)題1：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是 2(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)求的最大、最小值，求的最大、最小值3已知圓O：x2y2c(0<c1)，點(diǎn)P(a，b)是該圓面(包括O圓周及內(nèi)部)上一點(diǎn)，則abc的最小值等于_4、已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小

8、值.類(lèi)型八：軌跡問(wèn)題1設(shè)A為圓(x1)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|1，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A(x1)2y24 B(x1)2y22 Cy22x Dy22x2、已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.3. 如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡4. 已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，使，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，=600，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 .2、已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是 .3.已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為

9、鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.類(lèi)型九：圓的綜合應(yīng)用例25、 已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值例26、已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍例27 有一種大型商品，、兩地都有出售，且價(jià)格相同某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離地的運(yùn)費(fèi)是地的運(yùn)費(fèi)的3倍已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購(gòu)買(mǎi)這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn)分析：該題不論是問(wèn)題的背景或生活實(shí)際的貼近程度上都具有深刻的實(shí)際意義和較強(qiáng)的應(yīng)用意識(shí)，啟示我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實(shí)際，要重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用解題時(shí)要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法解：以、所確定的直線為軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)某地的坐標(biāo)為，且地居民選擇地購(gòu)買(mǎi)商品便宜，并設(shè)