四面體外接球的球心半徑求法

1、四面體外接球的球心、半徑求法 在立體幾何中，幾何體外接球是一個?？嫉闹R點，對于學(xué)生來說這是一個難點，一方面圖形不會畫，另一方面在畫出圖形的情況下無從下手，不知道球心在什么位置，半徑是多少而無法解題。本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。1、 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，則體對角線長為，幾何體的外接球直徑為體對角線長 即【例題】：在四面體中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。解：因為：長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長所以：四面體外接球的直徑為的長即： 所

2、以球的表面積為2、 出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點。【例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，,求球的體積。解：且，, 因為 所以知所以 所以可得圖形為：在中斜邊為在中斜邊為取斜邊的中點，在中在中所以在幾何體中，即為該四面體的外接球的球心 所以該外接球的體積為【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。3、 出現(xiàn)多個垂直關(guān)系時建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識求解【例題】：已知在三棱錐中，求該棱錐的外接球半徑。解：由已知建立空間直角坐標(biāo)系 由平面知識得 設(shè)球心坐標(biāo)為 則,由空間兩點間距離公式知 解得 所

3、以半徑為【結(jié)論】：空間兩點間距離公式：4、 四面體是正四面體 處理球的“內(nèi)切”“外接”問題 與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。作為這種特殊的位置關(guān)系在高考中也是考查的重點，但同學(xué)們又因缺乏較強的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置及球心的位置，畫好截面圖是關(guān)鍵，可使這類問題迎刃而解。 一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題圖1例1.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？ 分析：運用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為由圖形的對稱性知，點也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為正四

4、面體的表面積正四面體的體積， 在中，即，得，得【點評】由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即內(nèi)切球的半徑為 ( 為正四面體的高)，且外接球的半徑，從而可以通過截面圖中建立棱長與半徑之間的關(guān)系。例2設(shè)棱錐的底面是正方形，且，如果的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.圖2解： 平面，由此，面面.記是的中點，從而.平面，設(shè)球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖2，得截面圖及內(nèi)切圓不妨設(shè)平面，于是是的內(nèi)心.設(shè)球的半徑為，則，設(shè),.,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.當(dāng)時，滿足條件的球最大半徑為. 練習(xí)：一個正四面體內(nèi)切球的表面積為，求正四

5、面體的棱長。（答案為：）【點評】根據(jù)棱錐的對稱性確定內(nèi)切球與各面的切點位置，作出截面圖是解題的關(guān)鍵。圖3圖4圖5二、球與棱柱的組合體問題1 正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個面都相切，切點為每個面的中心，顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長為，球半徑為。如圖3，截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；2 與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，如圖4作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。3 正方體的外接球：正方體的八個頂點都在球面上，如圖5，以對角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。例3.在球面上有四個點、.如果、兩兩互相垂直，且,那么這個球的表面積是_.解：由已知可得、實際上就是球

6、內(nèi)接正方體中交于一點的三條棱，正方體的對角線長就是球的直徑，連結(jié)過點的一條對角線，則過球心，對角線 練習(xí)：一棱長為的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時的球的體積。（答案為）4構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點處，由球心、底面中心及底面一頂點構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例4.已知三棱柱的六個頂點在球上，又知球與此正三棱柱的5個面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。圖6解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱的高為，由中，得， ，練習(xí)：正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，求正四棱柱的側(cè)面積的最大值。（答案為：）【點評】“內(nèi)切”和“外接”等有關(guān)問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系