四年級奧數(shù)講義教案庫第6講提高教師

1、第六講 數(shù)陣圖教學(xué)目標(biāo)數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，一般沒有特定的解法，往往需要綜合運(yùn)用掌握的各種數(shù)學(xué)知識來解決問題. 本講出了要講授填數(shù)陣圖的主要技巧，還有以下注意點(diǎn)：1.引導(dǎo)學(xué)生從整體到局部對問題進(jìn)行觀察和判斷；2.教授巧妙利用容斥原理、余數(shù)的性質(zhì)、整除性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法；3.鍛煉學(xué)生利用已知信息枚舉，嘗試的能力；4.培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識，分析問題，找問題關(guān)鍵，解決問題的能力. 有座一長方形城堡，四周有10個掩體（如下圖）.守城的士兵有10件武器，各種武器的威力系數(shù)如下表.為了使每一面武器威力系數(shù)都相同，并且盡量大，應(yīng)如何在10個掩體中配備武器？ 想 挑 戰(zhàn) 嗎？答案（右圖）：分析：因?yàn)槊總€角都

2、屬于兩面，所以四面的武器的威力系數(shù)之和，等于所有武器的威力系數(shù)之和，再加上四個角的武器威力系數(shù).推知四個角的武器威力系數(shù)應(yīng)盡量大.因?yàn)?+2+10=55，當(dāng)四個角的威力系數(shù)為10，9，8，7時，55+10+9+8+7=89，89不是4倍數(shù)，所以四個角只能是10，9，8，6，由此可得每一面的威力系數(shù)應(yīng)是（55+10+9+8+6）÷4=22.分配如下圖：專題精講數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，這一類問題要求數(shù)陣中填入了一些數(shù)以后，能保證數(shù)陣中特定關(guān)系線（或關(guān)系區(qū)域）上的數(shù)的和相等，解決這一類問題可以按以下步驟解決問題：第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)（或方格），和交叉點(diǎn)（方格）第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵

3、點(diǎn)（一般是交叉點(diǎn)）上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算各個點(diǎn)與該點(diǎn)被重復(fù)計(jì)算次數(shù)之積的和的代數(shù)式，即數(shù)陣圖關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）上和的總和，這個和是關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）的個數(shù)的整數(shù)倍.第三步：判斷少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)上可以填入的數(shù)的余數(shù)性質(zhì)，并得出相應(yīng)的數(shù)陣圖關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）和.第四步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試：數(shù)陣圖還有一類題型比較少見，解決這一類問題需要理清數(shù)陣中數(shù)與數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，找出問題關(guān)鍵.（一）封閉型數(shù)陣問題【例1】 （）小青蛙不小心爬到一個正方形數(shù)陣圖中，必須把1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)字填入下圖中的內(nèi)，使正方形每條邊上三個數(shù)的和都等于13才能通過這個數(shù)陣圖，你能幫它嗎？ 或分析：因?yàn)槊窟吷系暮蜑?/p>

4、13，那么四條邊上的數(shù)字之和為13×4=52，而1+2+7+8=36，所以四個角上的四個數(shù)之和等于52-36=16在18中選四個數(shù)，四數(shù)之和等于16，且其中相鄰兩個的和與任意三個的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6經(jīng)試驗(yàn)，只有右上圖的兩種填法亮點(diǎn)設(shè)計(jì)：(1)求數(shù)陣問題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵數(shù)，也就是重復(fù)數(shù)，教會學(xué)生學(xué)會找關(guān)鍵數(shù)的方法是最重要的.（2）設(shè)計(jì)問題：正方形每條邊之和是13，13×4=52，但是所有數(shù)的和是：1+2+7+8=36，為什么會出現(xiàn)結(jié)果不同的問題呢？仔細(xì)觀察這個數(shù)陣，四條邊上所有數(shù)相加的過程中四個角上的數(shù)都被重復(fù)加了一次，也

5、就是四個角上的數(shù)是重復(fù)數(shù)，52-36=16即為這四個重復(fù)數(shù)的和.（3）強(qiáng)調(diào)分組法與試驗(yàn)法：知道了四個數(shù)的和之后，下一步就要先確定這四個數(shù)，采用分組法和試驗(yàn)法.分組法是將這個和根據(jù)要求拆成四個數(shù)，例如本題中要求其中相鄰兩個的和與任意三個的和不等于13，根據(jù)要求將16分成4個數(shù)的和：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6，但是未必每一組都是合適的，這就需要采用試驗(yàn)法，將它們一一進(jìn)行試驗(yàn).（4）小結(jié)：對于封閉型的數(shù)陣，重復(fù)數(shù)基本上都是兩條線相交的點(diǎn)，這在后面的例題中有大量體現(xiàn).前鋪將16六個自然數(shù)分別填入下圖的內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于11 分析：因?yàn)槊窟吷系暮蜑?1，那么三條

6、邊上的數(shù)字之和為11×3=33，而1+2+5+6=21，所以三個角的三個數(shù)之和等于33-21=12，在16中選3個和為12的數(shù)，且其中任意兩個的和不等于11，這樣的組合有：12=2+4+6=3+4+5，經(jīng)試驗(yàn)，填法見右上圖.拓展將16填入左下圖的六個中，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于k，請指出k的取值范圍. k=9 k=10 k=11 k=12分析：設(shè)三角形三個頂點(diǎn)的數(shù)字之和為s.因?yàn)槊總€頂點(diǎn)屬于兩條邊公有，所以把三條邊的數(shù)字和加起來，等于將1至6加一遍，同時將三個頂點(diǎn)數(shù)字多加一遍.于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化簡后為s+21=3k.由于s是三個數(shù)之和，故最小為1

7、+2+3=6，最大為4+5+6=15，由此求出9k12.s和k有四組取值：通過試驗(yàn)，每組取值都對應(yīng)一種填數(shù)方法（見右上圖）.【例2】 （）小烏龜被困在五個圓里面（如下圖），五圓相連，每個位置的數(shù)字都是按一定規(guī)律填寫的，它必須找出規(guī)律，并求出x所代表的數(shù)才能脫困，你知道該怎么辦嗎？分析：經(jīng)觀察，圖中所填數(shù)的規(guī)律為兩個圓相交部分的數(shù)等于與它相鄰兩部分里的數(shù)的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x=16.經(jīng)檢驗(yàn)，16和24相加除以2，也恰好等于20. 拓展找規(guī)律求x分析：經(jīng)觀察，

8、圖中所填數(shù)的規(guī)律為兩個圓相交部分的數(shù)等于與它相鄰兩部分里的數(shù)的差的2倍.比如：（26-18）×2=16.（30-26）×2=8.（30-24）×2=12.因?yàn)?2÷2=26>24，所以x=26+24=50.經(jīng)檢驗(yàn)，（50-18）×2=64.【例3】 （）19分別填入小三角形內(nèi)(每個小三角形內(nèi)只填一個數(shù))，要求靠近大三角形三條邊的每五個數(shù)相加和相等想一想，怎樣填這些數(shù)才能使五個數(shù)的和盡可能大一些? 分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用s表示靠近大三角形三條邊的五個數(shù)的和因?yàn)橛腥齻€小三角形所填的數(shù)在求和時只用了一次(用a，b，c

9、來表示這三個數(shù))，其余均用了兩次于是，45×2-(a+b+c)=3 s要使s盡可能大，只要a+b+c盡可能小所以a+b+c=1+2+3=6，于是90-6=3 s，s=28剩下的六個數(shù)分成三組，并且每組中兩數(shù)的和是三個連續(xù)自然數(shù)，那么：4+8=12；6+7=13；5 +9=14經(jīng)過調(diào)配可得到幾十種填法，右上圖是填法之一拓展一如圖是奧林匹克的五環(huán)標(biāo)志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i處分別填入整數(shù)1至9，如果每一個圓環(huán)內(nèi)所填的各數(shù)之和都相等，那么這個相等的和最大是多少，最小是多少?分析：計(jì)算五個圈內(nèi)各數(shù)之和的和，其中b，d，f，h被計(jì)算了兩遍，所以這個和是1+2+3+4+5+6+7

10、+8+9+b+d+f+h，而這個和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入大數(shù)時能使這個和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圓圈內(nèi)的和也取得15，由于15=6+9=7+8，所以滿足條件的所有數(shù)無法配成15，當(dāng)和為14時可以找出滿足條件的填法，所以和最大為14，當(dāng)b，d，f，h取1、2、3、4時這個和取得最小值，各圓圈內(nèi)的和也取得最小值11.拓展二有10個連續(xù)的自然數(shù)，9是其中第三大的數(shù)現(xiàn)在把這10個數(shù)填到下圖的10個方格中，每格內(nèi)填一個數(shù)，要求圖中3個2×2的正方形中的4個數(shù)之和相等那么，這個和數(shù)的最小值是多少? 分析：9是其中第三大的數(shù)，所以這10個連續(xù)自然數(shù)是2、3、4、59、

11、10、11，計(jì)算三個正方形中的和的和，這個和能被3整除，其中a和b被重復(fù)計(jì)算了兩次，所以2+3+11+a+b=65+a+b=3s，當(dāng)a+b=1，4，7時，65+a+b可以被3整除，因?yàn)橐∽钚≈担詀+b的值越小越好，但是不可能取1與4，所以，a+b=7時，這個和取得最小值，每個正方形中的和也取得最小值（65+7）÷3=24.【例4】 （）能否將數(shù)0，1，2，9分別填人下圖的各個圓圈內(nèi)，使得各陰影三角形的3個頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等?分析：0+9=45，45-中心數(shù)=3個陰影三角形的3個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和，所以中心數(shù)必須是3的倍數(shù)，只能是0，3，6，9.枚舉法實(shí)驗(yàn)，中心數(shù)只能是3，6，答案

12、如右上圖.拓展一將110分別填入圖中，使得每個小三角形3個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和為圖中所表示的數(shù)值.分析：先確定中間5個重復(fù)數(shù)，它們的和為（20+16+12+13+10）-（1+2+10）=16，所以中間5個重復(fù)數(shù)只能是1，2，3，4，6的組合.又因?yàn)橛?個和為20，相應(yīng)三角形上的三個數(shù)只能是4，6，10，逐一試驗(yàn)，答案如右上圖.拓展二圖中有大、中、小3個正方形，組成了8個三角形現(xiàn)在先把1，2，3，4分別填在大正方形的4個頂點(diǎn)上，再把1，2，3，4分別填在中正方形的4個頂點(diǎn)上，最后把1，2，3，4分別填在小正方形的4個頂點(diǎn)上(1)能否使8個三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等?如果能，請給出填數(shù)方法；如果不能

13、，請說明理由(2)能否使8個三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和各不相同?如果能，給出填數(shù)方法；如果不能，請說明理由分析：（1）不能，如果能，則8個三角形頂點(diǎn)和的總和應(yīng)該是8的倍數(shù)，但是這個總和有三組1、2、3、4組成，其中一組數(shù)被重復(fù)計(jì)算三次，一組數(shù)被重復(fù)計(jì)算兩次，一組數(shù)僅被計(jì)算一次，因此該總和的值為6×（1+2+3+4）=60，不是8的倍數(shù)，產(chǎn)生矛盾，因此沒有任何填法使8個三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等. （2）能，見右上圖.【例5】 （），小熊和媽媽去外婆家要過一條河，必須要按照下面的要求填數(shù)才可以順利通過，要求如下：20以內(nèi)共有10個奇數(shù)，去掉9和15還剩八個奇數(shù)，將這八個奇數(shù)填入右圖的八個中（

14、其中3已經(jīng)填好），使得圖中用箭頭連接起來的四個數(shù)之和都相等. 分析：3組數(shù)都包括左右兩端的數(shù)，所以每組數(shù)的中間兩數(shù)之和必然相等.現(xiàn)在還有1、5、7、11、13、17、19七個數(shù)供選擇，兩兩之和相等的有119713，只有兩組，淘汰這一組；還有1+17=5+13+7+11，于是得到右上圖的填法.（二）輻射型數(shù)陣【例6】 （）將17這七個數(shù)字，分別填人圖中各個內(nèi)，使每條線段上的三個內(nèi)數(shù)的和相等 （1） （2） （3）分析：設(shè)中心內(nèi)填a，由于三條線上的數(shù)字和相加應(yīng)是3的倍數(shù)，其中a一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a一定是3的倍數(shù)而28÷39余1，那么2a÷

15、;3的余數(shù)應(yīng)該是2，因此，a=1，4或7 (1)當(dāng)a=1時，28+2=30，30÷3=10，10-1=9，除中心外，其他兩數(shù)的和應(yīng)是9，只要把2，3，4，5，6，7六個數(shù)按“和”是9分成三組填入相應(yīng)的內(nèi)就可以了填法如圖（1） (2)當(dāng)a=4時，28+8=36，36÷3=12填法如圖（2）(3)當(dāng)a=7時，28+14=42，42÷3=14填法如圖(3)亮點(diǎn)設(shè)計(jì)：（1）建議教師首先讓學(xué)生進(jìn)行試做，并讓學(xué)生嘗試多種填法。（2）當(dāng)要求將2、4、6、8、10、12、14七個數(shù)字填入數(shù)陣，應(yīng)該怎么填？（3）拓展將這個數(shù)陣進(jìn)行變形，變?yōu)槿缦滦问剑喝鐖D “學(xué)、而、思、未、來、命、

16、運(yùn)”這7個漢字分別代表1至7這7個數(shù)字已知3條直線上的3個數(shù)相加、2個圓周上的3個數(shù)相加，所得的5個和相同那么，“學(xué)”字代表多少?分析：計(jì)算5個和的和，這個和一定是5的倍數(shù)，其中“學(xué)”字計(jì)算了三遍，其它數(shù)只是被計(jì)算了2遍，因此這個和等于（1+2+3+4+5+6+7）×2“學(xué)”=56+“學(xué)”，這個“學(xué)”只能是4才能保證這個和能被5整除.【例7】 （）把10至20這11個數(shù)分別填入下圖的各圓圈內(nèi)，使每條線段上3個圓內(nèi)所填數(shù)的和都相等如果中心圓內(nèi)填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法請寫出所有可能的填法分析：將五條邊上的和相加，得數(shù)一定是5的倍數(shù)，其中中間的數(shù)被重復(fù)計(jì)算了5次，而10+11+12

17、+20=165，所以中間的數(shù)必須是5的倍數(shù)，才能使在中間的數(shù)多被計(jì)算了4次后，總和仍能被5整除.所以中間的數(shù)只能是10、15、20.【例8】 （）左圖中有三個正三角形，將19填入它們頂點(diǎn)處的九個中，要求每個正三角形頂點(diǎn)的三數(shù)之和都相等，并且通過四個的每條直線上的四數(shù)之和也相等. 分析：每個正三角形頂點(diǎn)的三數(shù)之和為（129）÷315，每條直線上的三數(shù)之和為（45+15）÷3=20.將19九個數(shù)分為三個一組，且每組三個數(shù)的和為15只有如下兩種分法：（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7.對于（1），中心小正三角形三個頂點(diǎn)數(shù)為1，5，9

18、時，可得中間圖的解；對于（2），中心小三角形三個頂點(diǎn)數(shù)為3，5，7時，可得右上圖的解. 鞏固將19填入右上圖的九個內(nèi)，使得每個圓周和每條直線上的三數(shù)之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圓周上. 分析：每個圓周和每條直線上三數(shù)之和應(yīng)為15，其中有9的只有915和924，分別對應(yīng)右上圖的兩個解.【例9】 （）在下圖的七個圓圈內(nèi)各填上一個數(shù)，要求每條線上的三個數(shù)中，當(dāng)中的數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)，現(xiàn)在已填好兩個數(shù)，求x是多少？ 分析： 為了便于說明問題，我們用字母表示各個圓圈內(nèi)所表示的數(shù)，如上右圖所示：根據(jù)題意，我們觀察：因?yàn)槊恳粭l直線上的三個數(shù)中，當(dāng)中的數(shù)是兩邊的兩個數(shù)的平均數(shù).所以可以得出

19、：D=（13+17）÷2=15.還可以得出以下三式：C=（B+15）÷2 （1），A=（13+B）÷2 （2），C=（A+17）÷2 （3）將上述三個算式進(jìn)行變形，成下面三個算式：2C=B+15 （4），2A=13+B（5），2C=A+17（6）用（4）式減去（5）式得出：2C-2A=2，C-A=1，C=A+1，將C=A+1代入（6）式得到：2（A+1）=A+17，A=15.則C=16，因此，16=（13+x）×，所以x=19. 拓展將l，2，3，9，10這10個數(shù)分別填人下圖中的圓圈內(nèi)，使得每條線段兩端的數(shù)相乘的積，除以13都余2問這5個商數(shù)

20、的和是多少?分析：這10個數(shù)兩兩相乘除以13余2的數(shù)對有（1，2）、（3、5）、（4，7）、（8，10）、（6，9），將他們成對分別填入圓圈即可滿足條件，這五個商數(shù)的和為13.（三）其它類型的數(shù)陣圖【例10】 （）在下圖中的10個內(nèi)填入09這10個數(shù)字，使得按順時針循環(huán)式成立： 分析：五個等式中有四個減式，設(shè)四個減數(shù)為a，b，c，d，五個等式的值為k，則有（0129）2（abcd）5k，即9-2×（a+b+c+d）÷5=k，所以（abcd）必能被5整除，故k為奇數(shù).又abcd012365，所以k的可能取值為1，3或5.經(jīng)試算，當(dāng)k1或5時有如右上圖兩解.拓展 在下圖中的10

21、個內(nèi)填入09這10個數(shù)字，使得循環(huán)式成立： 分析：共有五個和式，其中兩式的和大于另三式的和.設(shè)較大的和為a，較小的和為b，則有2a3b012945，由上式知b必為奇數(shù)，又由b最小為5，最大為7，可得如右上圖兩解.【例11】 （）將18這八個自然數(shù)填入左下圖的空格內(nèi)，使四邊形組成的四個等式都成立： 分析：（方法一）除式只有四種可能：8÷42，6÷32，8÷24和6÷23，其中后兩種情況乘法式子將無法滿足，前兩種情況對應(yīng)著如右上圖兩種填法.（方法二）小于10且能表示成兩個不同的數(shù)的乘積的數(shù)只有6和8，如此可確定左下角的數(shù)為2，左上角和右下角的數(shù)可以是6或8,

22、左邊和下邊對應(yīng)填上3和6，剩下1、5、7如此即可試出結(jié)果.前鋪在下列各圖中，分別從18中選擇六個數(shù)填入內(nèi)，使得按順時針方向計(jì)算的各關(guān)系式成立： 分析：能被2和4整除的數(shù)有4與8，左上角的數(shù)為4或8，如果為8，為一種情況，如果是4是另一種情況，答案見右上圖.【例12】 （）下圖包括6個加法算式，要在圓圈里填上不同的自然數(shù)，使6個算式都成立那么最右邊的圓圈中的數(shù)最少是多少?分析：仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，最右邊的數(shù)等于最左邊三個數(shù)以及中間的數(shù)的和，當(dāng)這四個數(shù)分別取1、3、6、2時可以不出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字，而且和最小，等于1+2+3+6=12.拓展在左下圖的七個中填入互不相同的自然數(shù)，要求所填的自然數(shù)中最小的是1

23、，并且相鄰兩個內(nèi)的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于這兩個之間標(biāo)出的數(shù)字. 分析：從某個內(nèi)的數(shù)開始，順時針依次加或減兩個之間標(biāo)出的數(shù)，最后回到這個時，還要等于內(nèi)的數(shù)，所以加上的數(shù)之和與減去的數(shù)之和應(yīng)相等.將17分為和相等的兩組，有四種分法：（1）1247356；（2）1256347；（3）1346257；（4）1672345.經(jīng)試驗(yàn)，由（4）可得符合題意的兩種填法：專題展望數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，在下一講中我們還將對數(shù)陣圖中經(jīng)典而又古老的形式幻方進(jìn)行深入一步的研究和了解.練習(xí)六1. （例2）請分別將1，2，4，6這4個數(shù)填在下圖的各空白區(qū)域內(nèi)，使得每個圓圈里4個數(shù)的和都等于15分析：三個圓中數(shù)的和與1

24、5的差分別是3、5、7，只有1和其他三個數(shù)的和分別是3、5、7，所以中間數(shù)一定是1.2. （例6） 把15這五個數(shù)填入下圖中的里，使每條直線上的三個數(shù)之和相等. （1） （2） （3） 分析：知道每條直線上的三數(shù)之和，不知道重疊數(shù)；知道重疊數(shù)，不知道兩條直線上的三個數(shù)之和.本例是這兩樣什么都不知道，(1+2+3+4+5)+重疊數(shù)=每條直線上三數(shù)之和×2，所以，每條直線上三數(shù)之和(15+重疊數(shù))÷2.因?yàn)槊織l直線上的三數(shù)之和是整數(shù)，所以“15+重疊數(shù)”只能是偶數(shù)，重疊數(shù)只可能是1，3或5.若“重疊數(shù)”=1，則兩條直線上三數(shù)之和為 (15+1)÷2=8.填法見右上圖（1）；若“重疊數(shù)”=3，則兩條直線上三數(shù)之和為 (15+3)÷2=9.填法見右上圖（2）；若“重疊數(shù)”=5，則兩條直線上三數(shù)之和為 (15+5)÷2=10.填法見右上圖（3）.3. （例6）把1至6分別填入下圖的各方格中，使得橫行3個數(shù)的和與豎列4個數(shù)的和相等分析：數(shù)陣中左右兩個數(shù)與下邊三個數(shù)的和相等，所以這5個數(shù)和是偶數(shù)，第一行最中間的數(shù)是奇數(shù)，確定中間的數(shù)后經(jīng)過