參賽教案東芝杯

1、東芝杯·中國師范大學師范專業(yè)理科大學生教學技能創(chuàng)新實踐大賽參 賽 教 案 選用教材：普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學 選修2-3（人教A版）第29-31頁授課對象：高中二年級學生參賽選手：*選手專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學（師范）指導教師：*教育不在于使人知其所未知， 而在于按其所未行而行。【主題】 二項式定理的發(fā)現(xiàn)【教材內(nèi)容】 1.3.1二項式定理【教學對象】 高中二年級學生【教學目標】² 知識與技能：識記二項式定理，能夠正確寫出簡單情況下的二項式的展開式；掌握二項展開式的特征（項數(shù)，結構，系數(shù)等）；了解二項展開式系數(shù)的幾何排列規(guī)律（楊輝三角）；理解二項式定理是乘法公式的推廣。&

2、#178; 過程與方法：經(jīng)歷二項式定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握特殊化的分析方法，發(fā)展觀察、歸納、猜想的能力，發(fā)展數(shù)學交流的能力，發(fā)展抽象概括的數(shù)學思維能力，掌握二項式展開的基本方法，領悟從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學思想方法。² 情感態(tài)度價值觀：積極參與二項式定理的發(fā)現(xiàn)過程，養(yǎng)成獨立思考、合作探究、數(shù)學表達的學習習慣，體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣，享受成功的喜悅。欣賞二項式定理內(nèi)在的結構之美，體驗楊輝三角獨特的文化魅力，增強民族自豪感。【教學重點】分析的展開式，歸納得出二項式定理。了解二項展開式的通項公式以及二項式系數(shù)的性質(zhì)。【教學難點】根據(jù)展開式的特征，得出展開式猜想?！窘虒W過程設計】一、設計理念觀察

3、歸納形成猜想引導探究數(shù)學交流創(chuàng)設情境問題驅(qū)動理念之一：基于情境的數(shù)學認知。情境是認知的基礎，一個“好”的情境能夠引致有意義的數(shù)學學習。在情境中認知，對情境中的新信息進行意義建構，并超越具體的情境，理解情境所蘊含的數(shù)學知識。在學生感興趣的情境中提出問題，不僅能夠滿足學生的探究欲望，而且能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學思考能力。思起于疑，通過問題驅(qū)動學生的思維，才能使得學生學得更主動，學得更扎實，在數(shù)學學習過程中有更多的發(fā)現(xiàn)、更多的收獲。理念之三：突出數(shù)學的思想方法。數(shù)學教學要讓學生掌握所學的知識內(nèi)容，形成一定的數(shù)學能力，也要讓學生掌握、領會數(shù)學的思想方法。在直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、符號表示、反

4、思建構等思維過程中，學會分析數(shù)學問題的方式方法，形成并掌握解決數(shù)學的策略，不斷優(yōu)化問題解決的過程，讓學生具有一個善于思考的“數(shù)學頭腦”，一雙善于發(fā)現(xiàn)的“數(shù)學眼睛”，不斷提高數(shù)學認知水平，提升數(shù)學思維層次。理念之二：關注過程的教學策略。形式化是數(shù)學的重要特征。教學的重要任務應該把數(shù)學的學術形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，在“火熱的思考”之中欣賞數(shù)學知識“冰涼的美麗”，領悟數(shù)學知識的本質(zhì)。在教學活動中，教師應該引導學生探究知識產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程，探究問題解決的策略與方式。在數(shù)學交流中組織各種觀念，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高思維能力，掌握并理解所學知識，并促進數(shù)學參與的意識，豐富數(shù)學學習的情感體驗。二、教學過程教學

5、環(huán)節(jié)教 學 任 務教師行為學生活動媒體呈現(xiàn)（一）創(chuàng)設情境，問題驅(qū)動1.從棋之魂到棋之旅（40秒）問題1 從O點出發(fā)沿著棋盤網(wǎng)格，一格一格走，到達A點共有幾種走法？游戲規(guī)則：只能向上走或向右走！圖1激發(fā)興趣引入課題欣賞棋之魂思考棋之 旅PPT展示幻燈 片1設計意圖：創(chuàng)設情境，讓學生欣賞棋之魂，吸引學生的注意力，并借助棋盤自然引出問題1，激發(fā)學生的學習興趣，啟動學生的數(shù)學思考。2.把復雜問題簡單化（1分10秒）問題2 如圖，從O點出發(fā)，到達N點共有幾種走法？（只能向上走或向右走）、 圖2引 導學 生體 會復 雜問 題簡 單化 的數(shù) 學思 維策 略掌握解決數(shù)學問題的一種方法以退 求進PPT展示棋旅問

6、題2設計意圖：從問題1過渡到問題2，引導學生將復雜問題簡單化，理解處理該類問題的基本策略：特殊 一般。（二）引導探究，數(shù)學交流3.合作學習，填一填（2分40秒）如圖2，從O出發(fā)走到N，如果只能向上走或向右走，把具體的走法路線以及相應的走法數(shù)填入下表：表1教師巡視學生填表情況輔導學生按照要求完成表格小組合 作共 同探究從O到 N的行走路線 以及相應的方法數(shù)并完成表格PPT展示表格內(nèi)容設計意圖：生生合作，培養(yǎng)學生獨立思考以及溝通、協(xié)作的能力。4.師生交流，議一議（50秒）如圖2，從O出發(fā)走到N（只能向上走或向右走），則具體的走法路線以及相應的走法數(shù)分別是：表2引導學生尋找具體的行走路線計算相應的走

7、法數(shù)匯報表格完成的情況PPT展示具體的行走路線及相應的走法數(shù)設計意圖：師生互動交流，加深對所得結果的直觀感受，讓學生體會到成功的喜悅，為后面的數(shù)學探究奠定良好的心理基礎。5.尋找規(guī)律，想一想（55秒）問題3 如圖3，其中行與行的數(shù)字之間有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？ 結論：中間交叉點的數(shù)字等于上面兩個交叉點數(shù)字之和。 圖3把圖2 旋轉(zhuǎn)90度提出問題3引導得出 結論探索規(guī)律匯報結果PPT展示圖3設計意圖：尋找規(guī)律，引出數(shù)字在三角形中的幾何排列，為后面介紹楊輝三角的預埋伏筆。（三）觀察歸納，形成猜想6.聯(lián)系舊知，算一算（1分20秒）問題4 圖中的數(shù)字能否用組合數(shù)表示出來？ 圖4（a） 圖4（b）結論：左圖中的

8、數(shù)字都可以用右圖中的組合數(shù)表示。啟發(fā)學生計算計算PPT展示聯(lián)系圖設計意圖：引導學生利用所學知識組合數(shù)來表示圖4（a）中的數(shù)字，為順利過渡到用組合數(shù)表示乘法公式中的系數(shù)搭建一個溝通的橋梁。7.復習公式，說一說（50秒）初中學過的乘法公式，可以表示為：表示出二項式定理（n=1,2,3）初步感知特殊情況下的二項式定理PPT展示三個乘法公式設計意圖：將乘法公式的系數(shù)用對應的組合數(shù)表示出來，為學生觀察、歸納、猜想二項式定理的一般結構奠定認知基礎。8.觀察思考，議一議（2分30秒）問題5 觀察下列展開式，它們具有怎樣的共同規(guī)律？師生共同歸納出：1） 結構特征：共n+1項，各項都是的形式；2）系數(shù)特征：3）

9、次數(shù)特征： a的次數(shù)由n依次遞減到0（降冪）；b的次數(shù)由0依次遞增到n（升冪），而且a與b的次數(shù)和為n。啟發(fā)學生思考展開式中項的結構系數(shù)與次數(shù)的特征自主探究互動交流PPT展示乘法公式的展開式設計意圖：觀察并歸納出展開式的共同規(guī)律，有助于學生形成合理的猜想。（三）觀察歸納，形成猜想9.從特殊到一般，形成猜想（2分30秒）問題6 猜想結論：這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫的二項展開式。它有項，各項的系數(shù)叫二項式系數(shù)。叫二項展開式的通項，用表示，即通項。說明：展開式中的是由個中選，個中選得到的。由于選定后，的選法也隨之確定，因此出現(xiàn)的次數(shù)相當于從個中取個的組合數(shù)。其實，在棋盤問題1中

10、，要考察走到棋盤某點的走法數(shù)，就要知道按規(guī)則需向右走幾步，向上走幾步。假設向右走用表示，向上走用表示，那么前面的系數(shù)也就是走到棋盤第列、第行的走法數(shù)。鼓勵學生大膽猜想然后解釋說明交流猜想結果理解二項式定理PPT展示二項式定理等內(nèi)容設計意圖：采取說理的方式說明猜想的合理性，并結合情境問題進行解釋，通俗易懂。同時，幫助學生超越具體的情境，形成對猜想結論的新的理解。10.滲透數(shù)學史，寓教于學（35秒）南宋數(shù)學家楊輝1261年就給出了二項式系數(shù)的幾何排列規(guī)律（即楊輝三角），它的發(fā)現(xiàn)比歐洲數(shù)學家帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)的發(fā)現(xiàn)要早五百年左右。中國古代數(shù)學史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而

11、楊輝三角就是十分精彩的一頁。介紹楊輝三角體驗數(shù)學文化PPT展示楊輝三角設計意圖：結合二項式定理介紹“楊輝三角”，對學生進行進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感。三、設計說明在多項式的運算中，把二項式展開成單項式之和的公式，即二項式定理有著非常重要的地位，它是帶領我們進入微積分學領域大門的一把金鑰匙。將本小節(jié)內(nèi)容安排在計數(shù)原理之后來學習，一方面表明的展開式與分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理以及排列、組合的知識具有密切的聯(lián)系，同時它的證明要用到計數(shù)原理，可以把它作為計數(shù)原理的一個應用；另一方面也為下一章進一步學習隨機變量及其分布作準備。另外，由于二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，在推導出二項式定理

12、的過程中，也可以深化學生對組合數(shù)的認識，體會其本質(zhì)。總之，二項式定理是綜合性較強的、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識。二項式定理研究的是的展開式。教科書設計了如下過程：（1）將二項式的展開式與“計數(shù)問題”聯(lián)系在一起是不容易的，因此教科書首先采用合情推理的方法，在“探究”中提出如何利用兩個計數(shù)原理得出的展開式問題；（2）詳細寫出用多項式乘法法則得到展開式的過程，并從兩個計數(shù)原理的角度對展開式進行分析，概括出系數(shù)以及項的形式。用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數(shù)，從而得到用組合數(shù)表示的的展開式；（3）讓學生模仿上述過程推導的展開式；并在此基礎上，得出關于的展開式的猜想，最后給出說理性的證明。在上述過程中，第（2）步是關鍵，并且也是難點。其中，既要利用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，也要發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律。課程標準要求，二項式定理的教學應通過揭示二項式定理是代數(shù)中乘法公式的推廣，了解二項式定理的推導過程，理解從特