雙曲線基礎(chǔ)知識點以及訓(xùn)練題

1、雙曲線知識點一雙曲線的定義及雙曲線的標準方程：1 雙曲線定義：(1) 第一定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長2a（|F1F2|）的點的軌跡（為常數(shù)）這兩個定點叫雙曲線的焦點 注意：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應(yīng)的一支；當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應(yīng)的一支； 當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當2a|F1F2|時，動點軌跡不存在.(2).第二定義：動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時，

2、這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線2.雙曲線的標準方程：和（a0，b0）. ，|=2c.3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.4.求雙曲線的標準方程，應(yīng)注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設(shè)出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.二雙曲線的內(nèi)外部： (1)點在雙曲線的內(nèi)部. (2)點在雙曲線的外部.三雙曲線的簡單幾何性質(zhì)=1（a0，b0） 范圍：|x|a，yR;對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱，關(guān)于原點中心對稱

3、;頂點：軸端點A1（a，0），A2（a，0）; 漸近線： 若雙曲線方程為漸近線方程 若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為 若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上） 與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是 與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是四雙曲線 與 的區(qū)別和聯(lián)系標準方程性質(zhì)焦點， 焦距范圍頂點對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱五.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則。通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點，則弦長。若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二

4、定義求解，例：直線與雙曲線相交于兩點，則=_六、焦半徑公式：雙曲線（a0，b0）上有一動點當在左支上時,當在右支上時,注：焦半徑公式是關(guān)于的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當在左支端點時，當在左支端點時，七、等軸雙曲線：（a0，b0）當時稱雙曲線為等軸雙曲線；則：1. ； 2.離心率； 3.兩漸近線互相垂直，分別為y=； 4.等軸雙曲線的方程，； 5. 等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。 八、共軛雙曲線： 1.定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線 2.方程; 3.性質(zhì)：(1)共軛雙曲線有共同的漸近線；(2) 共

5、軛雙曲線的四個焦點共圓(3)它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。 雙曲線知識點擴充1、 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.2、 PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3、 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交.4、 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）5、 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6、 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7、 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1

6、，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8、 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF.9、 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.10、 AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。11、 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.12、 （a>0;b>0）的焦點為與，且p為曲線上任意一點。則的面積，焦點三角

7、形面積公式：考點1 雙曲線的定義及標準方程題型1：運用雙曲線的定義1.設(shè)P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD242.如圖2所示，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關(guān)于軸對稱，則的值是（ ）A9 B16 C18 D27 題型2 求雙曲線的標準方程3.已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程4.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 5.以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為_.6.已知點，動圓與直線切于點，過、與圓相切的兩直線相交于

8、點，則點的軌跡方程為A BC（x > 0） D考點2 雙曲線的幾何性質(zhì) 題型1 與漸近線有關(guān)的問題1.焦點為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）A B C D2. 以橢圓的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 （A） （B） （C） （D）綜合練習(xí)1.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為，右頂點為.（）求雙曲線C的方程（）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B且（其中為原點），求k的取值范圍2已知直線與雙曲線交于、點。（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實數(shù)，使、兩點關(guān)于直線對稱？若存在，請求出的值；若不存在，說明理由。3(1)橢圓C:(ab0)上的點A(1,)到兩焦點的距離之和為4,求橢圓的方程; (2)設(shè)K是(1)中橢圓上的動點, F1是左焦點, 求線段F1K的中點的軌跡方程;(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點, 當直線PM、PN的斜率都存在并記為kPM、kPN時，那么是與點P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。4.已知兩定點滿足條件