雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)以及訓(xùn)練題

1、雙曲線知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1 雙曲線定義：(1) 第一定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)2a（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（為常數(shù)）這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn) 注意：（1）距離之差的絕對(duì)值.（2）2a|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支； 當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.(2).第二定義：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時(shí)，

2、這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）. ，|=2c.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.二雙曲線的內(nèi)外部： (1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部. (2)點(diǎn)在雙曲線的外部.三雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)=1（a0，b0） 范圍：|x|a，yR;對(duì)稱性：關(guān)于x、y軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

3、;頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)A1（a，0），A2（a，0）; 漸近線： 若雙曲線方程為漸近線方程 若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為 若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上） 與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是 與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是四雙曲線 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)焦點(diǎn)， 焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱五.弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則。通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)。若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二

4、定義求解，例：直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則=_六、焦半徑公式：雙曲線（a0，b0）上有一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)在左支上時(shí),當(dāng)在右支上時(shí),注：焦半徑公式是關(guān)于的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí)，當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí)，七、等軸雙曲線：（a0，b0）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線；則：1. ； 2.離心率； 3.兩漸近線互相垂直，分別為y=； 4.等軸雙曲線的方程，； 5. 等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)。 八、共軛雙曲線： 1.定義：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線 2.方程; 3.性質(zhì)：(1)共軛雙曲線有共同的漸近線；(2) 共

5、軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)共圓(3)它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。 雙曲線知識(shí)點(diǎn)擴(kuò)充1、 點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、 PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4、 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）5、 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6、 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7、 雙曲線（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為F1

6、，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.8、 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.9、 過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.10、 AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。11、 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.12、 （a>0;b>0）的焦點(diǎn)為與，且p為曲線上任意一點(diǎn)。則的面積，焦點(diǎn)三角

7、形面積公式：考點(diǎn)1 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型1：運(yùn)用雙曲線的定義1.設(shè)P為雙曲線上的一點(diǎn)F1、F2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD242.如圖2所示，為雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是（ ）A9 B16 C18 D27 題型2 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程3.已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3，2）.求雙曲線C的方程4.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 5.以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是的雙曲線方程為_.6.已知點(diǎn)，動(dòng)圓與直線切于點(diǎn)，過、與圓相切的兩直線相交于

8、點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為A BC（x > 0） D考點(diǎn)2 雙曲線的幾何性質(zhì) 題型1 與漸近線有關(guān)的問題1.焦點(diǎn)為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）A B C D2. 以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 （A） （B） （C） （D）綜合練習(xí)1.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.（）求雙曲線C的方程（）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B且（其中為原點(diǎn)），求k的取值范圍2已知直線與雙曲線交于、點(diǎn)。（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，說明理由。3(1)橢圓C:(ab0)上的點(diǎn)A(1,)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,求橢圓的方程; (2)設(shè)K是(1)中橢圓上的動(dòng)點(diǎn), F1是左焦點(diǎn), 求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn), 當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在并記為kPM、kPN時(shí)，那么是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值。試對(duì)雙曲線 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。4.已知兩定點(diǎn)滿足條件