廈門大學至第一學期高等代數(shù)期末考試試題及答案

1、廈門大學2008至2009學年第一學期高等代數(shù)期末考試試題及答案一、     單選題（32分. 共8題, 每題4分）1.           下列說法錯誤的是_B_.A)     若向量組線性無關(guān)，則其中任意兩個向量線性無關(guān)；B)      若向量組中任意兩個向量線性無關(guān)，則線性無關(guān)；C) 

2、0;   向量組線性相關(guān)；D)     若向量組線性無關(guān)，則線性無關(guān).2.         設(shè)n維列向量線性無關(guān), 則n維列向量線性無關(guān)的充要條件是_D_.A)     向量組可由向量組線性表示；B)      向量組可由向量組線性表示；C)     向量組與

3、向量組等價；D)     矩陣與矩陣相抵.3.           設(shè)線性方程組的解都是線性方程組的解，則_C_.A) ；           B) ；       C) ；    

4、0;  D) .4.           設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣，非齊次線性方程組有無窮多組解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系_ B _.A) 不存在；                       

5、                 B) 僅含一個非零解向量；     C) 含有兩個線性無關(guān)的解向量；                D) 含有三個線性無關(guān)的解向量.5. 

6、0;         下列子集能構(gòu)成的子空間的是_B_.A) ；                   B) ；C) ；              &#

7、160;           D) .6.           設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間, V上的線性變換在基下的矩陣為A且，若在基下的矩陣為B, 則_B_.A) ；              

8、60;              B) 2；               C) ；                  &

9、#160;D) 不能確定.                         7.           設(shè)V是維向量空間，和是V上的線性變換，則的充分必要條件是_D  _.A) 和都是可逆變換；

10、0;                          B) Ker=Ker；                      

11、;   C) ；                            D) 和在任一組基下的表示矩陣的秩相同.8.           設(shè)是線性空間V到U的同

12、構(gòu)映射, 則下列命題中正確的有_D _個.() 為可逆線性映射；() 若W是V的s維子空間, 則是U的s維子空間；() 在給定基下的表示矩陣為可逆陣；() 若, 則.A) 1                             

13、;    B) 2                                    C) 3       

14、0;                            D) 4二、     填空題（32分. 共8題,每題4分）1.       若矩陣經(jīng)過行初等變換化為, 那么向量組的一個

15、極大無關(guān)組是 , 其余向量由此極大無關(guān)組線性表示的表示式為  .2.       設(shè)3維向量空間的一組基為，則向量在這組基下的坐標為 .3.       設(shè)，均為線性空間V的子空間，則.4.       數(shù)域上所有三階反對稱矩陣構(gòu)成的線性空間的維數(shù)是_3_.而是它的一組基.5.     &

16、#160; 已知上的線性變換定義如下：，則Ker=. Im=.6.       設(shè)是數(shù)域上維線性空間V到維線性空間U的線性映射, 則為滿射的充分必要條件是.（請寫出兩個）7.       設(shè)和是線性空間V的兩組基，從到的過渡矩陣為. 若是V上的線性變換且，則在基下的表示矩陣是_P_.8.       設(shè)是線性空間V上的線性變換，在基下的表示矩陣為，其中A為矩

17、陣，則存在V的一個非平凡-不變子空間.三、              (8分) 設(shè)線性空間V的向量組線性無關(guān)，考慮向量組.求證：或者該向量組線性無關(guān)，或者可由線性表示.證明：若線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù)使得我們斷言，事實上，若，則由線性無關(guān)知于是，這與不全為相矛盾因此，此時，從而，或者該向量組線性無關(guān)，或者可由線性表示四、          &#

18、160;   (10分) 設(shè),分別是數(shù)域上的齊次線性方程組與的解空間. 證明.證明：法一：一方面， ，有，則故另一方面， ，存在, ，使得即因此，法二：一方面， ，有，則故另一方面，由于為方程組的解空間，其中，為方程組的解空間，其中，所以故從而，法三：一方面，由于為方程組的解空間，其中，為方程組的解空間，其中，所以故另一方面， ，存在, ，使得即因此，五、              (10分) 設(shè). 證明：的充分必要條件是存在，使得且.證明： 充分性： 由于，滿足且，所以故必要性：由于，所以存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q使得令，則，滿足且 六、 &#