向量的概念及表示

1、向量的概念及表示一、知識(shí)、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。【注：和量與數(shù)量的區(qū)別，表示向量的大小稱為向量的模（也就是用來表示向量的有向線段的長度）】ABAB向量 的大小稱為向量的長度（或稱為模），記作 。O（2）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作 。（3）單位向量：長度等于1的向量叫單位向量。baba（5）相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫做相等向量，若向量 和 相等，則記作 = 。2、共線向量共線向量（也稱平行向量），應(yīng)注意兩個(gè)向量共線但不一定相等，而兩個(gè)向量相等是一定共線。平面幾何的三點(diǎn)共線與兩個(gè)向量共線不同：首先共線向量不考慮起點(diǎn)，其次明確共線

2、向量分為如下五種情況：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共線。例：把平面一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是什么？OP解：因任一單位向量的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)O時(shí)，終點(diǎn)一定落在以O(shè)為圓心，半徑為1的單位圓上，反過來，單位圓上的任一點(diǎn)P都對(duì)應(yīng)一個(gè)單位向量 ，故構(gòu)成的圖形為一單位圓。（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。ababababc例：向量 、 平行，記作 / 。c 向量 、 、 平行，記作 / / 。（6）零向量與任一向量平行aa（7）相反向量：與向量 長度相等且方向相反

3、的向量叫做 的相反向量。aaa 記為- ， 與- 互為相反向量，且規(guī)定：零向量的相反向仍是零向量。ABDC例： 在平行四邊形ABCD中，向量 和向量 方向相同ABDABCDC且長度相等； = 。向量 和向量 長度相等但方向相反，是一對(duì)相反向量； =- 。BCDA3、向量的表示ABAB幾何法：用有向線段來表示，即用有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)來表示，如 用| |表示長度。例：如圖，四邊形ABCD與ABDE都是平行四邊形；AB 用有向線段表示與向量 相等的向量；AB用有向線段表示與向量 共線的向量；ECDCEDAB解：與 相等的向量是 、 、 。ECDCEDAB與 共線的向量是： 、 、 。二、能力、題型

4、設(shè)計(jì)bbac1、下面5個(gè)命題：向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；若 / ， / ，ca則 / ；兩個(gè)相等向量的方向一定是相同的；兩個(gè)相反向量的方向一定是相反的；兩個(gè)平行向量的方向一定是相同或相反的，其中正確的是（ D ）。A.0B.1 C.2D.3CDAB2、下列命題：兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，共終點(diǎn)可能不同；若非零向量 與 是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；若a/b且b/c；四邊形ABCD是平行四邊CDAB形的條件是 = ，真命題的個(gè)數(shù)為（C）。A.0 B.1C.2D.3EFCBDAbBEAEBEAEFDDAbAEFDbabFCaCBFDEFAEDABECBFC3、如圖所示，在矩形ABCD中，E、

5、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且AB邊長為4，AD邊長為2，圖中的7個(gè)向量： 、 、 、 、 、 、 ，設(shè) = 、 = ，則：（1）與 相等的向量有 ；（2）與 相等的向量有 ；（4）與 共線的向量有 、 、 ；（5）與 長度相等的向量有 、 、 、 、 、 。4、某人從A出發(fā)向西走了200m到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向向西偏北60°走了450m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)。DACDBCAB（1）作出向量 、 、 （1cm表示200m）；（2）求 的模。解：（1） （2）由題意知，ABCD為平行四邊形；DABC | |=| |=450（m）向量的線性運(yùn)算一、知識(shí)、能力聚焦

6、1、向量的加法（1）向量的加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。aOBABOAbOBaabABaOAab例： 已知向量 和 ，在平面內(nèi)任取一b點(diǎn)O，作 = ， = ，則向量b 叫做 與 的和，記作 + ，即 + = + = 。oaaaaaooaaa(2)根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。位移的合成可以看成向量加法三解形法則的物理模型，對(duì)于零向量和任一向量 ，有 + = + = ，對(duì)于相反向量有 +（- ）=（- ）+ =（3）數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，向量的加法也滿足交換律、結(jié)合律abba即： + = +c bc aba （ + ）+ = +（ +

7、）OAa例： 如圖所示，作平行四邊形OABC，使 = 、bOCABaOAOC = = ， = =abCBOCOBabABOAOB = + = + ， = + = +abab + = +baOBOCOAOCaOAbab（4）由上圖所知，對(duì)于兩個(gè)不共線的非零向量 、 ，還可以作平行四邊形求兩個(gè)向量的和，分別作 = ， = ，以 、 為鄰邊作平行四邊形OABC，則以O(shè)為起點(diǎn)的地角線 就是向量 與 的和，我們把這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則。二、能力、題型設(shè)計(jì)abcdAB1、用圖中的 、 、 、 表示向量 。解：邊結(jié)AC、ADbaEDAEAD在ADE中， = + = -cbaDCADAC在ADC

8、中， = + = - +dCBACABcba在ABC中， = + = - + +cbacACbBCaAB2、已知正方形ABCD的邊長為m， = ， = ， = ，求 + +的模BCABcbaACACACAC解： + + = + + = + =2cacb| + + |=2 =2m向量的線性運(yùn)算一、知識(shí)、能力聚焦1、向量的減法（1）向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算babaxaxb若 + = ，則向量 叫做 與 的差，記作 - ，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。（2）向量減法的作圖方法baOAOBOABOBAbOBaOA 在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 = ， = ，則 = + =- + = - ,abab即

9、 - 表示從向量 的終點(diǎn)指向被減向量 的終點(diǎn)的向量。（終點(diǎn)減起點(diǎn)）（3）關(guān)于向量的減法需注意以下幾點(diǎn)：BAAB向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算，利用相反向量的定義，- = ，就可以把減法化為加法，在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連結(jié)兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”即可。ACbADaAB以向量 = 、 = 為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對(duì)角形的向量為 =abDBbaBAab + ， = - , = - 。OAOBAB對(duì)于任意一點(diǎn)O， = - ，簡記為“終減起”。二、能力、題型設(shè)計(jì) CD1、如圖所示，D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量 =（A）.BABCBABCA.- + B.- -BABC

10、BCBAC. - D. +OCOBOAOH2、ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H， =m（ + + ），則實(shí)數(shù)為m= 1 。解：當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，O為AC的中點(diǎn)OHOB AB、BC邊上高的交點(diǎn)H與B重合OCOBOA + + = =m=19.2 向量的數(shù)乘aaa一般地，實(shí)數(shù)入與向量 的積是一個(gè)向量，記作入 ，它的長度和方向規(guī)定如下：oaaaa（1）| |=| |；aa（2）當(dāng)0時(shí)， 與 同向；當(dāng) 與 反向；當(dāng)=0時(shí)， = ，實(shí)數(shù)a與向量 相乘，叫做向量的數(shù)乘。a根據(jù)向量數(shù)乘的定義，可以驗(yàn)證向量數(shù)乘滿足下面的運(yùn)算律：aaa（1）（ ）=（） ；baba（2）（+） = + ；a

11、a（3）（ + ）= +baba例：已知向量 和向量 ，求作向量-3 和向量2 -3 。aa作法：aOAa向量-3 的長度是 的長度的3倍，方向與 相反。以O(shè)為起點(diǎn)，分別作 =2 ，baOBOABAbOB=3 ，連接BA，則 = - =2 -3 ，如果兩個(gè)向量共線，那么其中一個(gè)向量o 可以由另一個(gè)（非零）向量的數(shù)乘來表示。即線性表示。baa一般地，對(duì)于兩個(gè)向量 （ ）， ，有如下定理：ao aababo aab向量共線定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使 = （ ），那么 與 是共線向量；反之，如果 與 （ ）是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，OB+OAb 使 = 。CB1+OCAC例：如圖：OAB中C為

12、直線AB上一點(diǎn)， = （1），求證： =OCOBCBOAOCAC證明： = - ， = -CBAC 又 = （1）OCOBOAOC - =（ - ）OBOAOC即：（1+） = +OA+1+OB又1 即1+0OC =9.3 向量的坐標(biāo)表示1、平面向量基本定理aa設(shè)e1、e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量， 是平面內(nèi)的任一向量，我們通過作圖來研究 與e1、e2的關(guān)系。aONOMOCONOMaOCOBOA在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 = e1， = e2， = ，過點(diǎn)C作平行于OB的直線，交直線OA于M；過點(diǎn)C作平行于OA的直線，交直線OB于N，由向量共線原理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使得 =1e1， =

13、2e2，因?yàn)?= + ，所以 =1e1+2e2a平面向量基本定理，如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使得：a =1e1+2e2a我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，一個(gè)平面向量用一組基底e1、e2，表示成 =1e1+2e2的形成，我們稱它為向量的分解。ODOBOADCbADaABba例：如圖，平行四行邊ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O， = ， = 試用基底 、 ，表示 、 、 和 。baADABACACADABACDC分析：利用關(guān)系式 = + 和 = 求解解： = + = + 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平

14、分baOCOAbaACOC 所以 = = + =- =- +baADABDBOB = =( + )= -baODOB =- =- + 2、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在不共線的兩個(gè)向量中，垂直是一種常見的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，稱為向量的正交分解。a如圖，在平面直角坐標(biāo)，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量 ，由平面向量的基本定理所知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得：a = x i + y i這樣，平面內(nèi)任一向量都可由x、y唯一確定我們把有序數(shù)對(duì)（x、y）叫做向量的坐標(biāo)，a記?。?=（x、y）aa其中x叫做 在x軸上的坐標(biāo)，y叫做 在y軸上的坐標(biāo)OA

15、OAa若將向量 的起點(diǎn)移至原點(diǎn)o時(shí)，如圖，則向量 的坐標(biāo)（x、y）就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量 的坐標(biāo)。因此，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任一向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示。AA1dcba例：如圖，分別用基底i、j表示向量 、 、 、 ，并求出它們的坐標(biāo)。AA2a解：由圖所知： = + =2 i + 3 ja 所以 =（2，3）b 同理： =-2j+3j=(-2,3)c =-2j-3j=(-2,-3)d =2j-3j=(2,3)2、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算當(dāng)向量用坐標(biāo)表示時(shí)，向量的和、差以及向量數(shù)乘也都可以用相應(yīng)的坐標(biāo)來表示。ba設(shè) =（x1,y1） =(x2,y2)，那么ba + =（x

16、2,y2）+(x2,y2)=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j=(x1+x2,y1+y2)aab同理，得 - =(x1-x2,y1-y2)， =（x1, y1）ba已知向量 =（x1,y1）, =(x2,y2)和實(shí)數(shù)，那么ab + =(x1+x2,y1+y2)ab - =(x1-x2,y1-y2)a =(x1, y1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于此向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)babaabba例1：已知向量 =（2，1）， =（-3，4），求向量 + , - ，3 +4 的坐標(biāo)。ba解： + =(2,1)+(-3，4)=（-1，5） - ba=(2,1)-（-3，4

17、）=（5，-3）ba 3 +4 =3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）PP2P1P例2：已知P1（x1,y1），P2(x2,y2)，P是直線P1P2上一點(diǎn)，且 = (-1)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。x=y =PP2P1P解：設(shè)P（x,y） 則 =（x-x1,y-y1） =(x2-x,y2-y)x1-x1=(x2-x)y-y1=(y2-y)PP2P1P 由 = ，得（x-x1,y-y1）=(x2-x,y2-y)得 因?yàn)? 所以 因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）baaba設(shè) =（x1,y1）, =(x2,y2),且 0，我們知道， /ab當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使 =ba當(dāng)僅當(dāng)x1y

18、2-x2y1=0時(shí)，向量 /ACAB例：因?yàn)?=（2，4） =（3，6） 2×6-4×3=0ACAB 所以 / 又因?yàn)橹本€AB、AC有公共點(diǎn)A，所以A.B.C三點(diǎn)共線。1、向量的數(shù)量積數(shù)量積：已知非零向量a和b，它們的夾角是，我們把數(shù)量|a|、|b|、sin，叫數(shù)向量a和b的數(shù)量積。a·b=|a| |b| sin特殊：零向量與任一向量的數(shù)量積為0oaa0注： · = · =0不是圈向量ooa · = 是零向量ba 同向，a·b=|a| |b|babaab 反向， · =-| | | |·aaaaaa特別：

19、 · =| |²或| | =cba設(shè)向量 ， ， 和實(shí)數(shù)abab（1） · = ·bababa（2）（ ）· = ·（ ）=（ · ）cbaccba（3）（ + ）· = · + ·2、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。ab字母表示 · =x1x2+y1y2aaa =(x1y1) =x2+y2 | |=·aab兩個(gè)非零向量 =（x1y1） =(x2,y2) 夾角ba| |b| |·sin= =ab x1x2+y1y2=0向量的應(yīng)用（1）

20、解決幾何問題建立幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素（點(diǎn)，線段，夾角）將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離夾角。（2）解決物理問題相關(guān)物理量用幾何圖形表示；物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；最后將數(shù)學(xué)問題還原為物理問題。例題：dcbadbacba1.設(shè) =（1，2）， =（-2，-3）， =2 + ， = +m ，若 與 的夾角為45°，求實(shí)數(shù)m的值。baca解： =（1，2） =2 + =2（1，2）+（-2，-3）=（0，1）bab = +m =（1，2）+m（-2，-3）=（1-2m，2-3m）dc · =0

21、5;(1-2m)+1×(2-3m)=2-3md| |c =1 = 2-3m=1× cos45° 5m2-8m+3=0 m=1或m=2、已知ABC中，A（2，4），B（-1，-2），C（4，3），BC邊上的高為AD。AD（1）求證ABAC （2）求點(diǎn)D和向量 的坐標(biāo) （3）設(shè)ABC=，求cos （4）求證AD2=BD·CDACAB解：（1） =（-1，-2）-（2，4）=（-3，-6）， =（2，-1）ACAB · =-3×2+（-6）×（-1）=0 ABACBCAD （2）設(shè)D（x,y） =（x-2,y-4）, =（5，5）

22、BCAD ADBC · =5(x-2)+5(y-4)=0 BCBD BD=(x+a,y+2) 與 共線 5（x+1）-5(y+2)=0 聯(lián)立 x=,y= D(,)AD =(-2, -4)=(,)·| |BA| |BA·BDBD （3）cos= =DCBDAD （4） =（，）， =（，）， =（，）| |ADBD| | ²= =| |DCBD| | |AD| |DC = ²= · 即 AD²=BD·DC3、在ABC中，a=2,A=45°,B=60°，求b。解：作高CDACDCDCACBCABBC

23、ABACBCAB = + = + · =（ + ）· | |DC| |AC| | BC| |DC| |AB| |DC · cos（90°-A）= ·cos90°+ cos(90°-B)| |DC| |DC b sinA=a sinB b=4、已知點(diǎn)P（x,1） P1(-1,-5) P2(2,4)P1P2（1）求點(diǎn)P分 的比1及x的值P2P（2）求點(diǎn)P1分 的比2的值解：（1）y= 1= 1=2 x= 2= （2）x1= -1= 2=5、無彈性的細(xì)繩OA、OB的一端分別固定在A、B處同質(zhì)地的細(xì)繩OC下端系著一個(gè)物件，且使得OB

24、OC，試分析OA、OB、OC三根繩子受力的大小，判斷哪根繩子受力最大cba解：設(shè)OA、OB、OC三根繩子所受的力分別為 、 、 。cba 則 + + =0c| |c| |bac ba 、 的合力為 = + , =OABCOCOB 如圖，在平行四邊形OBCA中， =| |OC| |OA| |OB| |OA | |c| |a| |b| |a 細(xì)繩OA受力最大課后練習(xí)OCOB| |OB| |OA1、已知 =1, =, =0,點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且AOC=30°，設(shè) =m， OBOA+n （m,nR），則等于（ ）。A. B.3C. D. 2、已知向量a=(x-5,3),b(2,x)且aB，則由x的值構(gòu)成的集合是（C ）。A. B. C. D. ACAB3、在ABC中，C=90°， =（k,1）， =（2，3），則K的值是（A）。A.5B.-5C. D. PAPCPBPCPBPA4、P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若 · = · =