北大《多元統(tǒng)計(jì)分析》答案78

1、第二章 多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)2-1 解：利用性質(zhì)2, 得二維隨機(jī)向量YN2(my,Sy)，其中：2-2(1)證明：記Y1X1 +X2(1,1)X,Y2X1X2 (1,1)X，利用性質(zhì)2可知Y1 , Y2為正態(tài)隨機(jī)變量. 又故X1 +X2和X1X2相互獨(dú)立.另證：記，則因故由定理2.3.1可得X1 +X2和X1X2相互獨(dú)立.（2）解：因?yàn)樗?-3 (1)證明：令，則. 因?yàn)橛啥ɡ砜芍猉(1) +X(2)和X(1) -X(2)相互獨(dú)立.（2）解：因?yàn)椋?-6 解：（1）記B=(3,-1,1), 由性質(zhì)2得，.(2)令, 顯然均服從正態(tài)分布, 故要使它們相互獨(dú)立，只需即可. 又因，故當(dāng)時(shí)滿(mǎn)

2、足條件.2-9 解：(1)A是正交矩陣.(2)由Y=AX知，且，所以由，Y=AX知：. 而，故由定理2.3.1的推論2知相互獨(dú)立.由知均服從正態(tài)分布，且方差均為，又 所以2-11解：比較上下式相應(yīng)的系數(shù),可得:設(shè)比較上下式相應(yīng)的系數(shù),可得:解得：，所以.2-13解：(1)(2)(3)，又，.2-18解：(1)(2)Z為p維正態(tài)隨機(jī)向量的線性組合，故Z也為正態(tài)隨機(jī)向量，又 ，結(jié)合(1)知 (3)，且為非負(fù)定矩陣對(duì)任意p維向量，有即時(shí)，Z的協(xié)方差陣在非負(fù)定意義下達(dá)到極小.第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3-1解：因?yàn)閷?duì)稱(chēng)冪等陣，而對(duì)稱(chēng)冪等陣的特征值非0即1，且只有個(gè)非0特征值，即存在正交陣（其列

3、向量為相應(yīng)特征向量），使，記，令（即），則，因?yàn)?，且相互?dú)立，所以，其中非中心參數(shù)為3-2解：記. 若，由，知，于是與相互獨(dú)立； 若時(shí)，則，則兩個(gè)二次型也是獨(dú)立的.以下設(shè).因?yàn)殡A對(duì)稱(chēng)陣，存在正交陣，使得其中為A的特征值.于是，令其中為r階方陣, 由于，故. 又因?yàn)闈M(mǎn)秩陣，故有.由于為對(duì)稱(chēng)陣，所以.于是令，則，且，由于相互獨(dú)立，故與相互獨(dú)立.3-11解：這是兩總體均值向量的檢驗(yàn)問(wèn)題. 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為(p=3,n=6,m=9):其中故檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為用觀測(cè)數(shù)據(jù)代入計(jì)算可得:顯著性概率值故H0相容.第五章 判別分析5-1 解：由題意，其錯(cuò)判概率為5-2 解：由題意（1）樣品與三個(gè)總體和的馬氏距離分別為顯

4、然，則，即樣品應(yīng)判歸總體.（2）樣品與三個(gè)總體和的貝葉斯距離分別為顯然，則，即樣品應(yīng)判歸總體.5-4解：(1)可取(組內(nèi))(組間)類(lèi)似于例的解法, A-1B的特征根就等于 取，則，且a滿(mǎn)足：判別效率：，F(xiàn)isher線性判別函數(shù)為： 判別準(zhǔn)則為，閾值為，其中故.當(dāng)時(shí)，因，判.當(dāng)時(shí)，因，判(2)故.(3),.5-5 解：.又有相同的特征值. 故； 以下驗(yàn)證a就是D2對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量：5-6 解：記是X的線性函數(shù)，其中其中第六章 聚類(lèi)分析6-2證明：設(shè)變量Xi和Xj是二值變量，它們的n次觀測(cè)值記為xti, xtj (t=1,n). xti, xtj 的值為0 or 1.由二值變量的列聯(lián)表（表6.5

5、）可知：變量Xi取值1的觀測(cè)次數(shù)為a+b,取值0的觀測(cè)次數(shù)為c+d;變量Xi和Xj取值均為1的觀測(cè)次數(shù)為a,取值均為0的觀測(cè)次數(shù)為d.利用兩定量變量相關(guān)系數(shù)的公式：又故二值變量的相關(guān)系數(shù)為：利用兩定量變量夾角余弦的公式：其中故有.6-3解：用最長(zhǎng)距離法: 合并X(1),X(4)=CL4,并類(lèi)距離 D1=1. 合并X(2),X(5)=CL3,并類(lèi)距離 D2=3.合并CL3,CL4=CL2,并類(lèi)距離 D3=8.所有樣品合并為一類(lèi)CL1,并類(lèi)距離 D4=10.最長(zhǎng)距離法的譜系聚類(lèi)圖如下:用類(lèi)平均聚類(lèi)法： 合并X(1),X(4)=CL4,并類(lèi)距離 D1=1. 合并X(2),X(5)=CL3,并類(lèi)距離

6、D2=3. 合并CL3,CL4=CL2,并類(lèi)距離 D3=(165/4)1/2. 所有樣品合并為一類(lèi)CL1,并類(lèi)距離 D4=(121/2)1/2.類(lèi)平均法的譜系聚類(lèi)圖如下:6-6解：按中間距離法,取=-1/4,將B和C合并為一類(lèi)后,并類(lèi)距離D1=1,而A與新類(lèi)Gr=B,C的類(lèi)間平方距離為當(dāng)把A與B，C并為一類(lèi)時(shí)，并類(lèi)距離故中間距離法不具有單調(diào)性。按重心法,將B和C合并為一類(lèi)后,并類(lèi)距離D1=1,而A與新類(lèi)Gr=B,C的類(lèi)間平方距離為：當(dāng)把A與B，C并為一類(lèi)時(shí)，并類(lèi)距離故重心法法不具有單調(diào)性。并類(lèi)過(guò)程如下： 6-7解：因樣品間的距離定義為歐氏距離,利用利用故有6-9解：計(jì)算樣品間的歐氏平方距離陣

7、合并 1,2 CL4,并類(lèi)距離D1=(0.5)1/2 =0.707 ，并利用遞推公式計(jì)算新類(lèi)與其它類(lèi)的平方距離得合并 5,7 CL3,并類(lèi)距離D2=(2)1/2 =1.414，并利用遞推公式計(jì)算新類(lèi)與其它類(lèi)的平方距離得 合并 CL3,10=5,7,10 CL2,并類(lèi)距離D3=(32/3)1/2 =3.266 ，并利用遞推公式計(jì)算新類(lèi)與其它類(lèi)的平方距離得 合并 CL4,CL2=1,2,5,7,10 CL1,并類(lèi)距離D4 =(245/6)1/2 =6.39 ，并利用遞推公式計(jì)算新類(lèi)與其它類(lèi)的平方距離得 分類(lèi)法bk及相應(yīng)的總離差平方和W(k):k=51,2,5,7,10W(5)=0k =41,2,

8、5,7,10W(4)=0.5k =31,2, 5,7,10W(3)=2.5k =21,2, 5,7,10W(2)=13.666k =11,2,5,7,10W(1)=54第七章 主成分分析7-1解：從協(xié)方差陣出發(fā)：由題意得，的特征值為，。相應(yīng)的單位正交特征向量為， .故主成分為，.從相關(guān)陣出發(fā)：由題意知，的相關(guān)陣為，其特征值為，. 相應(yīng)的單位正交特征向量為， .故主成分為，。兩者比較： 由或R出發(fā)所得主成分不同； 由出發(fā)時(shí)，第一主成分Z1解釋的總方差比例為100.1614/101=0.9917，由R出發(fā)時(shí)，第一主成分Z1*解釋的總方差比例為1.4/2=0.7; 由于X2的方差大，故Z1完全由X2

9、控制，而原變量標(biāo)準(zhǔn)化后，結(jié)論正好相反； 原始變量X1，X2與第一主成分Z1的相關(guān)系數(shù)不相等，標(biāo)準(zhǔn)化后的變量X1*，X2*與第一主成分Z1*相關(guān)系數(shù)相等.7-3 解：（1）因的最大特征值，而.且最大特征值對(duì)應(yīng)的單位特征向量為，故第一主成分為：.(2)第一主成分的貢獻(xiàn)率為：.7-4 解：等密度橢球?yàn)椋涸O(shè)的特征值為，相應(yīng)的單位特征向量為，則的譜分解式為：，故即 .因此橢球的第i個(gè)主軸方向在X的第i個(gè)主成分的方向上，且其半長(zhǎng)軸與成比例，系數(shù)為C.7-5 解：由題意得，的特征值為，. 相應(yīng)的單位正交特征向量為，.故主成分為，.7-6解：由題意得，的特征值為，。相應(yīng)的單位正交特征向量為， ，。故主成分為，

10、其解釋的方差比例為；，其解釋的方差比例為；，其解釋的方差比例為.7-7 解：見(jiàn)課本P406.第八章 因子分析8-1解： 容易驗(yàn)證，因而因子載荷矩陣A和特殊因子的協(xié)方差陣D分別為：，即的正交因子模型為誤差為8-2解：(1) 取得=誤差為即m=1的因子模型主成分分解為則(2) 取m=2得=誤差為即m=2的因子模型主成分分解為(3)因，所以的主成分分解符合要求.8-3證明：利用分塊矩陣求逆公式求以下分塊矩陣的逆：記利用附錄中分塊求逆的二個(gè)公式(4.1)和(4.2)有：由逆矩陣的對(duì)應(yīng)塊相等，即得：把B22·1和B11·2式代入以上各式，可得：由第三式和第二式即得8-5答：因子分析與主成分分析的不同點(diǎn)有: (1) 主成分分析不能作為一個(gè)模型來(lái)描述,它只是通常的變量變換,而因子分析需要構(gòu)造因子模型; (2) 主成分分析中主成分的個(gè)數(shù)和變量個(gè)數(shù)p相同,它是將一組具有相關(guān)關(guān)系的變量變換為一組互不相關(guān)的變量(注意應(yīng)用主成分分析解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),一般只選取前m(m<p)個(gè)主成分),而因子分析的目的是要用盡可能少的公共因子,以便構(gòu)造一個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的因子模型; (3) 主成分分析是將主成分表示為原變量的線性組合,而因子分