曲線積分與曲面積分(解題方法歸納)

1、第十一章解題方法歸納一、曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法1. 曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法歸納如下：（1） 利用性質(zhì)計(jì)算曲線積分和曲面積分.（2） 直接化為定積分或二重積分計(jì)算曲線或曲面積分（3） 利用積分與路徑無關(guān)計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分.（4） 利用格林公式計(jì)算平面閉曲線上的曲線積分.（5） 利用斯托克斯公式計(jì)算空間閉曲線上的曲線積分.（6） 利用高斯公式計(jì)算閉曲面上的曲面積分.2. 在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論：3. 1）若積分曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱，則0f奇函數(shù)Lf（x，y）ds2f（x,y）dsf對(duì)X為偶函數(shù)L10P對(duì)x為奇函數(shù)LP（x，y）dx2P（x,y）dyP對(duì)x為偶函數(shù)L10QXtx

2、*偶函數(shù)LQ（x，y）dy2Q（x,y）dyQ對(duì)x為奇函數(shù)L1其中L1是L在右半平面部分.若積分曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱，則0f又ty為奇函數(shù)Lf（x，y）ds2f（x,y）dsf對(duì)y為偶函數(shù)L10P對(duì)y為偶函數(shù)I P（x，y）dx2P（x,y）dyP對(duì)y為奇函數(shù)0QXty為奇函數(shù)LQ（x，y）dy2Q（x,y）dyQ對(duì)y為偶函數(shù)II其中L1是L在上半平面部分.（2）若空間積分曲線L關(guān)于平面yx對(duì)稱，則f（x）dsf（y）ds.(3)若積分曲面關(guān)于xOy面對(duì)稱，則f對(duì)劫奇函數(shù)f(x,y,z)dS 2 R(x, y,z)dS f對(duì)小偶函數(shù)1R對(duì)劫偶函數(shù)R(x, y,z)dxdy 2 R(x,y, z)

3、dxdy R寸小奇函數(shù)1其中i是 在xOy面上方部分.若積分曲面 關(guān)于yOz面對(duì)稱，則f(x，y，z)dS2 R(x, y,z)dS f對(duì)x為偶函數(shù)1p(x, y,z)dydz 2 P(x, y,z)dydz P對(duì)以奇函數(shù)1其中i是在yOz面前方部分.若積分曲面關(guān)于zOx面對(duì)稱，則f (x,y,z)dSf對(duì)y為奇函數(shù)R(x, y,z)dS f對(duì)y為偶函數(shù)Q(x, y, z)dzdxQ對(duì)y為偶函數(shù)Q(x, y, z)dzdx Q對(duì)y為奇函數(shù)其中1是 在zOx面右方部分. x(4)若曲線弧L: x yx(t)y(t)t )，則L f(x,y)dsx(t), y(t) ,x2(t)y 2(t)dt(

4、)若曲線弧L: r r()(極坐標(biāo))，則L f(x, y)dsf r( )cos,r( )sin . r2( ) r 2( )dx若空間曲線?。簓x(t) y(t) ( tz(t),則zf(x,y,z)dsfx(t),y(t),z(t)X2(t)y2(t)z2(t)dt()(5)若有向曲線弧L:xx(t:)，則yy(t)LP(x,y)dxQ(x,y)dyPx(t),y(t)x(t)Qx(t),y(t)y(t)dtxx(t)若空間有向曲線?。簓y(t)(t:)，則zz(t)P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzx(t), y(t), z(t) z(t) dtPx(t),y(

5、t),z(t)x(t)Qx(t),y(t),z(t)y(t)R22,zx (x, y) zy (x, y)dxdy(6)若曲面：zz(x,y)(x,y)Dxy),則f(x,y,z)dSfx,y,z(x,y)Dxy其中Dxy為曲面在xOy面上的投影域.若曲面：xx(y,z)(y,z)Dyz),則f(x,y,z)dSfx(y,z),y,z、1xy2(y,z)xz2(y,z)dydzDyz其中Dyz為曲面在yOz面上的投影域.若曲面：yy(x,z)(x,z)Dzx),則f(x,y,z)dSfx,y(x,z),z、,1yz2(y,z)yx2(y,z)dzdxDzx其中Dzx為曲面在zOx面上的投影域.

6、(7)若有向曲面：zz(x,y),則R(x,y,z)dxdy一.+ 下-)Dxy其中Dxy為在xOy面上的投影區(qū)域.若有向曲面：xx(y,z),則P(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz(前“+”后“-")Dyz其中Dyz為在yOz面上的投影區(qū)域.若有向曲面：yy(x,z),則一,、.,./-7-“力-f“力Q(x,y,z)dzdxQx,y(x,z),zdzdx(右+左-)Dzx其中Dzx為在zOx面上的投影區(qū)域.(8)PdxQdy與路徑無關(guān)口PdxQdy0(c為D內(nèi)任一閉曲線)LcUdu(x,y)PdxQdy(存在u(x,y)PQyx其中D是單連通區(qū)域，P(x,y),

7、Q(x,y)在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).(9)格林公式Q Pdxdy d x yP(x, y),Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)AP(x,y)dxQ(x,y)dy止其中L為有界閉區(qū)域D的邊界曲線的正向,偏導(dǎo)數(shù).(10)高斯公式i：；P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy(PcosQcos Rcos )dSdv其中為空間有界閉區(qū)域的邊界曲面的外側(cè)，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，cos,cos,cos為曲面在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦.(11)斯托克斯公式dydzdzdxdxdynI|PdxQdyRdzxxyzP

8、QR其中為曲面的邊界曲線，且的方向與的側(cè)(法向量的指向)符合右手螺旋法則，P,Q,R在包含在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).1.計(jì)算曲線積分或曲面積分的步驟:（1）計(jì)算曲線積分的步驟:1 ）判定所求曲線積分的類型（對(duì)弧長的曲線積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分）；2 ）對(duì)弧長的曲線積分，一般將其化為定積分直接計(jì)算；對(duì)坐標(biāo)的曲線積分： 判斷積分是否與路徑無關(guān)，若積分與路徑無關(guān)，重新選取特殊路徑積分； 判斷是否滿足或添加輔助線后滿足格林公式的條件，若滿足條件，利用格林公式計(jì)算（添加的輔助線要減掉）；將其化為定積分直接計(jì)算.對(duì)空間曲線上的曲線積分，判斷是否滿足斯托克斯公式的條件，若滿足條件，利用斯托克斯公式計(jì)算

9、；若不滿足，將其化為定積分直接計(jì)算.（2）計(jì)算曲面積分的步驟：1）判定所求曲線積分的類型（對(duì)面積的曲面積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分）；2）對(duì)面積的曲面積分，一般將其化為二重積分直接計(jì)算；對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：判斷是否滿足或添加輔助面后滿足高斯公式的條件，若滿足條件，利用高斯公式計(jì)算（添加的輔助面要減掉）；將其投影到相應(yīng)的坐標(biāo)面上，化為二重積分直接計(jì)算.例1計(jì)算曲線積分Idxdy2，其中L為x|y1取逆時(shí)針方向.I x|yxdxdydxdydxdyL|x|y|x2L1x2L1x2L1x2由于積分曲線L關(guān)于x軸、y軸均對(duì)稱，被積函數(shù)PQ對(duì)x、y均為偶1x函數(shù)，因此dyL1 x2dxII x2dxdyLW|y

10、|x2方法技巧對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的對(duì)稱性與對(duì)弧長的曲線積分對(duì)稱性不同，記清楚后再使用.事實(shí)上，本題還可應(yīng)用格林公式計(jì)算例2 計(jì)算曲面積分I2 (ax by cz n) dS ,其中 為球面R22a b c 22 2R2 dS 4 R2n2./、2,2 :(a x(axbyczn)dS2b2y2c2z2n22abxy2acxz2bcyz2anx2bny2cnz)dS由積分曲面的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性知xydSxzdS yzdS xdS ydS zdS 0又由輪換對(duì)稱性知22Ia2x2dS222、(abc)x2dSb2y2dS22xdSn2_2_ydSzdSdS2dSn2dSz2)dS2.22ab

11、c/22(xy_2R22224R2y(a2b2c2)n2方法技巧對(duì)面積的曲面積分的對(duì)稱性與對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的對(duì)稱性不同,理解起來更容易些.若碰到積分曲面是對(duì)稱曲面,做題時(shí)可先考慮一下對(duì)稱性.例3計(jì)算曲面積分C（x2為球面 x2 y2 z2 2ax.,-n 2Ux0c2c ca)dS 2ai |dSy2 z2)dS2 8 a4y2 z2)dS,其中方法技巧積分曲面是關(guān)于x a 0對(duì)稱的，被積函數(shù)奇函數(shù)，因此（ ；（xa)dS 0例4計(jì)算曲線積分：C xy2dy x2ydx，其中L為圓周x2 y2a2 (a 0)的逆時(shí)針方向.解法1直接計(jì)算.將積分曲線L表示為參數(shù)方程形式L:acos(:0asin

12、代入被積函數(shù)中得2.2,xyxydyxydxx2*20gs.2sincos2cossin(sin)d_3222asin02.cosdc322a0.2sin2(1sin)d8a3。加2sin4)d8a3412a解法2利用格林公式2.2.xydyxydx22,xy2.xydyydx-a(x22、，,y)dxdy其中D:xy2a2,故A xy2dy2.xydx方法技巧本題解法1用到了定積分的積分公式:n為奇數(shù)2.nn2sindn為偶數(shù)0n1解法2中，一定要先將積分曲線x2y2a2代入被積函數(shù)的分母中，才能應(yīng)用格林公式，否則不滿足P,Q在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件.例5計(jì)算曲線積分L(x y)dx (

13、x y)dy,其中L為沿y cosx由點(diǎn)A(,)到點(diǎn)B()的曲線弧.解直接計(jì)算比較困難.由于P 口 , Q x yx y22 cx y 2xy2 22、2(x y )因此在不包含原點(diǎn)0(0,0)的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無關(guān).取圓周x2 y2 2 2上從A(,)到點(diǎn)8()的弧段L代替原弧段L ,其參數(shù)方程為：L :x 、2 cos(:sin),代入被積函數(shù)中得4(x y)dx (x y)dyL(Xy)dx(xy)dy方法技巧證不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).54 (cos45Td4sin )( sin ) (cos sin )cos d本題的關(guān)鍵是選取積分弧段 L ,既要保證L簡單，又要保例6 計(jì)算曲面積分

14、xdydz ydzdx zdxdy其中為&亞丘1的法向量與各坐標(biāo)軸正向夾銳角的側(cè)面解 由于曲面 具有輪換對(duì)稱性,xdydz ydzdx zdxdy, 投影至 UxOy面的區(qū)域Dxy(x, y) Tx Vy1 ,故xdydz ydzdx zdxdy 3zdxdy 3 (1 、x y)2dxdy3 (1 .xDxyt 1.X、y)2dxdy 3 0 dxlx% A .?)2dy 葭 Wdx4111t)dt 30方法技巧由于積分曲面具有輪換對(duì)稱性，因此可以將dydz,dzdx直接轉(zhuǎn)換為dxdy,只要投影到xOy面即可.例7計(jì)算曲面積分(x y2)dydz (y z2)dzdx (z x2)d

15、xdy, 其中為錐面z2x2y2在0zh部分的上側(cè).解利用高斯公式.添加輔助面i：zh(x2y2h2),取下側(cè)，則/222、(xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdy/222、(xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdy222(xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdy22、3dxdydz(hx)dxdy3dxdydz(hx)dxdy1 Dxy其中為和1圍成的空間圓錐區(qū)域，Dxy為投影到xOy面的區(qū)域，即Dxy(x,y)x2y2h2,由Dxy的輪換對(duì)稱性，有2 122xdxdy-(xy)dxdyDxy2Dxy故(xy2)dydz(yz2)dzdx(zx2)dxdy3|1h2|hh

16、dxdy：(x2y2)dxdyDxyDxyh3 hh23dh4.本方法技巧添加輔助面時(shí)，既要滿足封閉性，又要滿足對(duì)側(cè)的要求A計(jì)算曲線積分j |L(z題由于積分錐面取上側(cè)(內(nèi)側(cè))，因此添加的平面要取下側(cè)，這樣才能保證封閉曲面取內(nèi)側(cè)，使用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分時(shí)，前面要添加負(fù)號(hào)y)dx(xz)dy(xy)dz,其中L:從z軸的正向往負(fù)向看，L的方向是順時(shí)針方向.解應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算.令：xyz2(x2y21)取下側(cè)，在xOy面的投影區(qū)域?yàn)镈xy(x,y)x2y21,則j L(z y)dx(x z)dy (x y)dzdydzdzdxdxdyxyzzyxzxy2dxdy2dxdy2Dxy方法技巧本

17、題用斯托克斯公式計(jì)算比直接寫出曲線L的參數(shù)方程代入要簡單，所有應(yīng)用斯托克斯公式的題目，曲面的選取都是關(guān)鍵，既要簡單,又要滿足斯托克斯的條件，需要大家多加練習(xí).二、曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用1.曲線積分與曲面積分的物理應(yīng)用歸納如下：(1)曲線或曲面形物體的質(zhì)量.曲線或曲面的質(zhì)心(形心).曲線或曲面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(4)變力沿曲線所作的功.(5)矢量場沿有向曲面的通量.(6)散度和旋度.2.在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論:(1)平面曲線形物體ML(x,y)ds空間曲線形物體ML(x,y,z)ds曲面形構(gòu)件M(x,y,z)dS Lx (x, y)ds L y (x, y)ds x , y (x,y)

18、ds(x,y)ds(2)質(zhì)心坐標(biāo)平面曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo):空間曲線形物體的質(zhì)心坐標(biāo): Lx (x,y,z)ds x , yL (x, y)dsLy(x,y,z)ds一Lz(x,y,z)ds,zL(x,y)dsL(x,y)ds曲面形物體的質(zhì)心坐標(biāo):_x(x,y,z)dS_x,y(x,y,z)dSy(x,y,z)dS(x,y,z)dSz(x,y,z)dS(x,y,z)dS當(dāng)密度均勻時(shí)，質(zhì)心也稱為形心.(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2Iy Lx (x,y)ds平面曲線形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：IxLy2Iz L(x y ) (x,y,z)ds(x,y)ds,空間曲線形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：IxL(y2z2)(x,y,z)ds22

19、IyL(zx)(x,y,z)ds曲面形物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Ix(y2z2)(x,y,z)dS,Iy(z2x2)(x,y,z)dSIz(x2y2)(x,y,z)dS其中(x,y)和(x,y,z)分別為平面物體的密度和空間物體的密度.(4)變力沿曲線所作的功平面上質(zhì)點(diǎn)在力FP(x,y)i+Q(x,y)j作用下，沿有向曲線弧L從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，F(xiàn)所做的功WABP(x,y)dxQ(x,y)dyAB空間質(zhì)點(diǎn)在力FP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k作用下，沿有向曲線弧L從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，F(xiàn)所做的功WARP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzAB(2)矢量場沿有向曲

20、面的通量矢量場AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k通過有向曲面指定側(cè)的通量P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy(3)散度和旋度矢量場AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度div AP _Q _Rx y z矢量場AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度RQPRQProtA(Q)i()j+()kyzzxxyijkxyzPQR1 .曲線積分或曲面積分應(yīng)用題的計(jì)算步驟：(1)根據(jù)所求物理量，代入相應(yīng)的公式中;(2)計(jì)算曲線積分或曲面積分.例9設(shè)質(zhì)點(diǎn)在場力F42-y,x的作用下，沿曲線L:ycosx由A(0,萬)移動(dòng)到B(-,0),求場力所做的功.(其中rJx2y V1 z (1 z 2)饒z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，其法向量與z軸正向的夾角為 x 0銳角，求單位時(shí)間內(nèi)流體流向曲面 正側(cè)的流量Q